Flujo bidimensional

Tipo de movimiento de fluido donde todas las velocidades del flujo son paralelas a un plano fijo

En mecánica de fluidos , un flujo bidimensional es una forma de flujo de fluido en la que la velocidad del flujo en cada punto es paralela a un plano fijo. La velocidad en cualquier punto de una normal dada a ese plano fijo debe ser constante.

Velocidad de flujo en flujos bidimensionales

Velocidad de flujo en coordenadas cartesianas

Considerando un flujo bidimensional en el plano, la velocidad del flujo en cualquier punto del tiempo se puede expresar como: ${\displaystyle X-Y}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {i}}}+v_{y}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {j}}}.}$

Velocidad en coordenadas cilíndricas

Considerando un flujo bidimensional en el plano, la velocidad del flujo en un punto en un momento se puede expresar como: ${\displaystyle r-\theta }$ ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}(r,\theta ,z,t)=v_{r}(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {r}}}+v_{\theta }(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}$

Vorticidad en flujos bidimensionales

Vorticidad en coordenadas cartesianas

La vorticidad en flujos bidimensionales en el plano se puede expresar como: ${\displaystyle X-Y}$

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}},}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}.}$

Vorticidad en coordenadas cilíndricas

La vorticidad en flujos bidimensionales en el plano se puede expresar como: ${\displaystyle r-\theta }$

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}}}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}.}$

Fuentes y sumideros bidimensionales

Fuente lineal/puntual

Una fuente lineal es una línea desde la cual aparece un fluido y fluye hacia afuera en planos perpendiculares a la línea. Cuando consideramos flujos 2-D en el plano perpendicular, una fuente lineal aparece como una fuente puntual. Por simetría, podemos suponer que el fluido fluye radialmente hacia afuera desde la fuente. La intensidad de una fuente puede darse por el caudal volumétrico que genera. ${\displaystyle Q}$

Fig. 1 – Líneas de corriente de flujo generadas por la fuente lineal coincidentes conel eje ${\displaystyle Z}$

Fregadero de línea/punto

De manera similar a una fuente lineal, un sumidero lineal es una línea que absorbe el fluido que fluye hacia ella, desde planos perpendiculares a ella. Cuando consideramos flujos 2-D en el plano perpendicular, aparece como un sumidero puntual. Por simetría, asumimos que el fluido fluye radialmente hacia adentro, hacia el sumidero. La fuerza de un sumidero está dada por el caudal volumétrico del fluido que absorbe. ${\displaystyle Q}$

Tipos de flujos bidimensionales

Flujo de fuente uniforme

Un campo de flujo radialmente simétrico dirigido hacia afuera desde un punto común se denomina flujo de fuente. El punto común central es la fuente lineal descrita anteriormente. El fluido se suministra a una velocidad constante desde la fuente. A medida que el fluido fluye hacia afuera, el área de flujo aumenta. Como resultado, para satisfacer la ecuación de continuidad , la velocidad disminuye y las líneas de corriente se extienden. La velocidad en todos los puntos a una distancia dada de la fuente es la misma. ${\displaystyle Q}$

Fig. 2 – Líneas de corriente y líneas potenciales para el flujo fuente

La velocidad del flujo de fluido se puede expresar como:

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}=v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}.}$

Podemos derivar la relación entre el caudal y la velocidad del flujo. Consideremos un cilindro de altura unitaria, coaxial con la fuente. La velocidad a la que la fuente emite fluido debe ser igual a la velocidad a la que el fluido sale de la superficie del cilindro.

${\displaystyle \int \limits _{S}{\bar {\boldsymbol {v}}}\cdot {d{\bar {\boldsymbol {S}}}}=2\pi rv_{r}(r)=Q,}$

${\displaystyle \therefore \;\;v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.}$

La función de flujo asociada con el flujo fuente es:

${\displaystyle \psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta .}$

El flujo constante de una fuente puntual es irrotacional y se puede derivar del potencial de velocidad . El potencial de velocidad se da por:

${\displaystyle \phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r.}$

Flujo de sumidero uniforme

El flujo sumidero es lo opuesto al flujo fuente. Las líneas de corriente son radiales y se dirigen hacia el interior de la línea fuente. A medida que nos acercamos al sumidero, el área de flujo disminuye. Para satisfacer la ecuación de continuidad , las líneas de corriente se agrupan y la velocidad aumenta a medida que nos acercamos a la fuente. Al igual que con el flujo fuente, la velocidad en todos los puntos equidistantes del sumidero es igual.

Fig. 3 – Líneas de corriente y líneas potenciales para el flujo de hundimiento

La velocidad del flujo alrededor del fregadero se puede dar por:

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}=-v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r},}$

${\displaystyle v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.}$

La función de flujo asociada con el flujo de sumidero es:

${\displaystyle \psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta .}$

El flujo alrededor de un sumidero lineal es irrotacional y se puede derivar del potencial de velocidad. El potencial de velocidad alrededor de un sumidero se puede obtener mediante:

${\displaystyle \phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r.}$

Vórtice irrotacional

Un vórtice es una región donde el fluido fluye alrededor de un eje imaginario. En el caso de un vórtice irrotacional, el flujo en cada punto es tal que una pequeña partícula colocada allí experimenta una traslación pura y no gira. La velocidad varía inversamente con el radio en este caso. La velocidad tenderá a , por lo que el centro es un punto singular. La velocidad se expresa matemáticamente como: ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle r=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {K}{2\pi r}}.}$

Dado que el fluido fluye alrededor de un eje,

${\displaystyle v_{r}=0.}$

La función de corriente para vórtices irrotacionales está dada por:

${\displaystyle \psi =-{\frac {K}{2\pi }}\ln r.}$

Mientras que el potencial de velocidad se expresa como –

${\displaystyle \phi =-{\frac {K}{2\pi }}\theta .}$

Para la curva cerrada que encierra el origen, la circulación (integral de línea del campo de velocidad) y para cualquier otra curva cerrada, ${\displaystyle \Gamma =K}$ ${\displaystyle \Gamma =0}$

Fig. 4 – Líneas de corriente y líneas de potencial para un vórtice irrotacional

Doblete

Un doblete puede considerarse como una combinación de una fuente y un sumidero de intensidades iguales que se mantienen a una distancia infinitesimalmente pequeña. De este modo, se puede ver que las líneas de corriente comienzan y terminan en el mismo punto. La intensidad de un doblete formado por una fuente y un sumidero de intensidad que se mantienen a una distancia determinada se expresa mediante: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle \Lambda =Q{\frac {ds}{2\pi }}.}$

La velocidad del flujo de fluido se puede expresar como:

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{r}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}+v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },}$

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\cos \theta ,}$

${\displaystyle v_{\theta }=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\sin \theta .}$

Fig. 5 - Líneas de corriente y líneas de potencial para un doblete

Las ecuaciones y la gráfica son para la condición límite de ${\displaystyle ds\rightarrow 0}$

El concepto de doblete es muy similar al de dipolos eléctricos y dipolos magnéticos en electrodinámica .

Referencias

• Kothandaraman, CP; Rudramoorthy, R. (2006), Mecánica de fluidos y maquinaria (2.ª ed.), New Age International, ISBN 978-1906574789

Enlaces externos

• Fuentes y sumideros bidimensionales