En matemáticas, la dualidad de Poincaré torcida es un teorema que elimina la restricción de la dualidad de Poincaré a las variedades orientadas . La existencia de una orientación global se reemplaza por la incorporación de información local, mediante un sistema de coeficientes locales .
Otra versión del teorema con coeficientes reales presenta una cohomología de De Rham con valores en el fibrado de orientación . Este es el fibrado lineal real plano denotado , que se trivializa mediante gráficos de coordenadas de la variedad , con funciones de transición el signo del determinante jacobiano de las funciones de transición de los gráficos. Como fibrado lineal plano , tiene una cohomología de De Rham, denotada por
Para una variedad compacta M , la cohomología de grado superior está equipada con un llamado morfismo de traza.
Esto debe interpretarse como integración en M , es decir , evaluar contra la clase fundamental .
La dualidad de Poincaré para formas diferenciales es entonces la conjunción, para M conexo, de los dos enunciados siguientes:
no es degenerado.
La dualidad de Poincaré orientada está contenida en este enunciado, tal como se entiende a partir del hecho de que el fibrado de orientación o(M) es trivial si la variedad está orientada, siendo una orientación una trivialización global, es decir , una sección paralela que no desaparece en ninguna parte.
