Curva del dragón

Fractal construible con sistemas L

Curva del dragón de Heighway

Una curva de dragón es cualquier miembro de una familia de curvas fractales autosimilares , que se pueden aproximar mediante métodos recursivos como los sistemas de Lindenmayer . La curva de dragón es probablemente la forma que se genera al doblar repetidamente una tira de papel por la mitad, aunque existen otras curvas llamadas curvas de dragón que se generan de manera diferente.

Dragón de Heighway

El dragón de Heighway (también conocido como dragón de Harter-Heighway o dragón de Jurassic Park ) fue investigado por primera vez por los físicos de la NASA John Heighway, Bruce Banks y William Harter. Fue descrito por Martin Gardner en su columna Mathematical Games de Scientific American en 1967. Muchas de sus propiedades fueron publicadas por primera vez por Chandler Davis y Donald Knuth . Apareció en las páginas de título de la novela de Michael Crichton Jurassic Park . ^[1]

Construcción

Construcción recursiva de la curva

Construcción recursiva de la curva

El dragón de Heighway se puede construir a partir de un segmento de línea base reemplazando repetidamente cada segmento por dos segmentos con un ángulo recto y con una rotación de 45° alternativamente hacia la derecha y hacia la izquierda: ^[2]

Las primeras 5 iteraciones y la 9ª

El dragón de Heighway también es el conjunto límite del siguiente sistema de funciones iteradas en el plano complejo:

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}}$

con el conjunto inicial de puntos . ${\displaystyle S_{0}=\{0,1\}}$

Si utilizamos pares de números reales, esto es lo mismo que las dos funciones que constan de

${\displaystyle f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

Doblando el dragón

La curva del dragón de Heighway se puede construir doblando una tira de papel , que es como se descubrió originalmente. ^[1] Tome una tira de papel y dóblela por la mitad hacia la derecha. Dóblela por la mitad nuevamente hacia la derecha. Si la tira se abriera ahora, desenrollando cada pliegue para convertirse en un giro de 90 grados, la secuencia de giro sería RRL, es decir, la segunda iteración del dragón de Heighway. Doble la tira por la mitad nuevamente hacia la derecha, y la secuencia de giro de la tira desplegada ahora es RRLRRLL, la tercera iteración del dragón de Heighway. Continúe doblando la tira por la mitad hacia la derecha para crear más iteraciones del dragón de Heighway (en la práctica, la tira se vuelve demasiado gruesa para doblarse bruscamente después de cuatro o cinco iteraciones).

Los patrones de plegado de esta secuencia de tiras de papel, como secuencias de pliegues derecho (R) e izquierdo (L), son:

• 1ª iteración: R
• 2da iteración: R R L
• 3ra iteración: R R L R R L L
• 4ta iteración: R R L R R L L R R R L L R L L .

Cada iteración se puede encontrar copiando la iteración anterior, luego una R, luego una segunda copia de la iteración anterior en orden inverso con las letras L y R intercambiadas. ^[1]

Propiedades

• En la curva del dragón de Heighway se pueden observar muchas autosimilitudes . La más obvia es la repetición del mismo patrón inclinado 45° y con una razón de reducción de . En base a estas autosimilitudes, muchas de sus longitudes son números racionales simples. ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$

Teselación del plano mediante curvas de dragón

• La curva del dragón puede teselar el plano . Un posible teselado reemplaza cada borde de un teselado cuadrado con una curva de dragón, utilizando la definición recursiva del dragón comenzando desde un segmento de línea. La dirección inicial para expandir cada segmento se puede determinar a partir de una coloración de tablero de ajedrez de un teselado cuadrado, expandiendo los segmentos verticales en teselas negras y fuera de teselas blancas, y expandiendo los segmentos horizontales en teselas blancas y fuera de teselas negras. ^[3]
• Como curva que llena el espacio , la curva del dragón tiene una dimensión fractal exactamente 2. Para una curva de dragón con una longitud de segmento inicial de 1, su área es 1/2, como se puede ver a partir de sus teselaciones del plano. ^[1]
• El límite del conjunto cubierto por la curva del dragón tiene longitud infinita, con dimensión fractal donde es la solución real de la ecuación ^[4] $${\displaystyle 2\log _{2}\lambda \approx 1.523627086202492,}$$ $${\displaystyle \lambda ={\frac {1+(28-3{\sqrt {87}})^{1/3}+(28+3{\sqrt {87}})^{1/3}}{3}}\approx 1.69562076956}$$ ${\displaystyle \lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.}$

Dragón gemelo

Curva Twindragon construida a partir de dos dragones Heighway

El dragón gemelo (también conocido como dragón Davis-Knuth ) se puede construir colocando dos curvas de dragón de Heighway una detrás de otra (después de invertir la curva de dragón original vertical y horizontalmente). También es el conjunto límite del siguiente sistema de funciones iteradas:

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}}}$

donde la forma inicial está definida por el siguiente conjunto . ${\displaystyle S_{0}=\{0,1,1-i\}}$

También se puede escribir como un sistema Lindenmayer : solo es necesario agregar otra sección en la cadena inicial:

• ángulo 90°
• cadena inicial FX+FX+
• reglas de reescritura de cadenas
  • X ↦ X + YF
  • Y ↦ FX − Y .

También es el lugar geométrico de los puntos en el plano complejo con la misma parte entera cuando se escribe en base ${\displaystyle (-1\pm i)}$ . ^[5]

Terdragón

Curva de Terdragon.

Una escultura que representa múltiples iteraciones del sistema Lindenmayer que genera la curva del terdragón.
Por Henry Segerman

El terdragón puede escribirse como un sistema de Lindenmayer :

• ángulo 120°
• cadena inicial F
• reglas de reescritura de cadenas
  • F ↦ F+F−F .

Es el conjunto límite del siguiente sistema de funciones iteradas:

${\displaystyle f_{1}(z)=\lambda z}$

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda }$

${\displaystyle f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}}$

${\displaystyle {\mbox{where }}\lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ and }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.}$

Dragón de Lévy

La curva C de Lévy a veces se conoce como el dragón de Lévy . ^[6]

Apariciones de la curva del dragón en conjuntos de soluciones

Una vez obtenido el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal, cualquier combinación lineal de las soluciones también obedecerá, debido al principio de superposición , a la ecuación original. En otras palabras, se obtienen nuevas soluciones aplicando una función al conjunto de soluciones existentes. Esto es similar a cómo un sistema de funciones iterado produce nuevos puntos en un conjunto, aunque no todos los SI son funciones lineales. En una línea conceptualmente similar, se puede llegar a un conjunto de polinomios de Littlewood mediante dichas aplicaciones iteradas de un conjunto de funciones.

Un polinomio de Littlewood es un polinomio: donde todos los . ${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,}$ ${\displaystyle a_{i}=\pm 1}$

Para algunos definimos las siguientes funciones: ${\displaystyle |w|<1}$

${\displaystyle f_{+}(z)=1+wz}$

${\displaystyle f_{-}(z)=1-wz}$

A partir de z=0 podemos generar todos los polinomios de Littlewood de grado d utilizando estas funciones iterativamente d+1 veces. ^[7] Por ejemplo: ${\displaystyle f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}}$

Se puede observar que para , el par de funciones anterior es equivalente a la formulación IFS del dragón de Heighway. Es decir, el dragón de Heighway, iterado hasta una cierta iteración, describe el conjunto de todos los polinomios de Littlewood hasta un cierto grado, evaluado en el punto . De hecho, al trazar un número suficientemente alto de raíces de los polinomios de Littlewood, aparecen estructuras similares a la curva del dragón en puntos cercanos a estas coordenadas. ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle w=(1+i)/2}$ ${\displaystyle w=(1+i)/2}$

Véase también

• Lista de fractales según la dimensión de Hausdorff
• Sistema de base compleja

Referencias

1. Tabachnikov, Sergei (2014), "Revisitando las curvas del dragón", The Mathematical Intelligencer , 36 (1): 13–17, doi :10.1007/s00283-013-9428-y, MR  3166985, S2CID  14420269
2. Edgar, Gerald (2008), "El dragón de Heighway", en Edgar, Gerald (ed.), Medida, topología y geometría fractal , Textos de pregrado en matemáticas (2.ª ed.), Nueva York: Springer, págs. 20-22, doi :10.1007/978-0-387-74749-1, ISBN 978-0-387-74748-4, Sr.  2356043
3. Edgar (2008), "El dragón de Heighway cubre el plano", págs. 74-75.
4. Edgar (2008), "Límite del dragón de Heighway", págs. 194-195.
5. Knuth, Donald (1998). "Sistemas de números posicionales". El arte de la programación informática . Vol. 2 (3.ª ed.). Boston: Addison-Wesley. pág. 206. ISBN 0-201-89684-2.OCLC 48246681  .
6. Bailey, Scott; Kim, Theodore; Strichartz, Robert S. (2002), "Dentro del dragón de Lévy", The American Mathematical Monthly , 109 (8): 689–703, doi :10.2307/3072395, JSTOR  3072395, MR  1927621.
7. "El Café de la Categoría n".
8. "Semana285".
9. "La belleza de las raíces". 11-12-2011.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Curva del dragón", MathWorld
• Knuth en la curva del dragón