Triangulación (geometría)

Subdivisión de un objeto plano en triángulos.

En geometría , una triangulación es una subdivisión de un objeto plano en triángulos y, por extensión, la subdivisión de un objeto geométrico de dimensiones superiores en símplices . Las triangulaciones de un volumen tridimensional implicarían subdividirlo en tetraedros agrupados.

En la mayoría de los casos, se requiere que los triángulos de una triangulación se encuentren de borde a borde y de vértice a vértice.

Tipos

Se pueden definir diferentes tipos de triangulaciones, dependiendo tanto de qué objeto geométrico se quiere subdividir como de cómo se determina la subdivisión.

• Una triangulación de es una subdivisión de simples en dimensiones tales que dos simples en se cruzan en una cara común (un simplex de cualquier dimensión inferior) o no se cruzan en absoluto, y cualquier conjunto acotado en se cruza solo con un número finito de simples en . Es decir, es un complejo simplicial localmente finito que cubre todo el espacio. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle T}$
• Una triangulación de conjuntos de puntos , es decir, una triangulación de un conjunto discreto de puntos , es una subdivisión de la estructura convexa de los puntos en símplices de modo que dos simples cualesquiera se intersequen en una cara común de cualquier dimensión o no se crucen en absoluto y de manera que los El conjunto de vértices de los simples está contenido en . ^[1] Las triangulaciones de conjuntos de puntos utilizadas y estudiadas con frecuencia incluyen la triangulación de Delaunay (para puntos en posición general, el conjunto de simples que están circunscritos por una bola abierta que no contiene puntos de entrada) y la triangulación de peso mínimo (la triangulación de conjuntos de puntos que minimiza la suma de las longitudes de los bordes). ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$
• En cartografía , una red irregular triangulada es una triangulación de un conjunto de puntos bidimensionales junto con elevaciones para cada punto. Al elevar cada punto del plano a su altura elevada, se elevan los triángulos de la triangulación a superficies tridimensionales, que forman una aproximación de un relieve tridimensional.
• Una triangulación de polígonos es una subdivisión de un polígono dado en triángulos que se encuentran de borde a borde, nuevamente con la propiedad de que el conjunto de vértices del triángulo coincide con el conjunto de vértices del polígono. ^[2] Las triangulaciones de polígonos se pueden encontrar en tiempo lineal y forman la base de varios algoritmos geométricos importantes, incluida una solución aproximada simple al problema de la galería de arte . La triangulación de Delaunay restringida es una adaptación de la triangulación de Delaunay desde conjuntos de puntos a polígonos o, más generalmente, a gráficos planos de líneas rectas .
• Una triangulación euclidiana de una superficie es un conjunto de subconjuntos de espacios compactos homeomórficos a un triángulo no degenerado en una vía tal que cubren toda la superficie, la intersección en cualquier par de subconjuntos es vacía, una arista o un vértice y si la intersección la intersección no está vacía entonces es una isometría del plano en esa intersección. ^[3] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle T_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{\alpha }\cap T_{\beta }}$ ${\displaystyle f_{\alpha }f_{\beta }^{-1}}$
• En el método de elementos finitos , las triangulaciones se utilizan a menudo como malla (en este caso, una malla triangular ) subyacente a un cálculo. En este caso, los triángulos deben formar una subdivisión del dominio a simular, pero en lugar de restringir los vértices a puntos de entrada, se permite agregar puntos Steiner adicionales como vértices. Para que una triangulación sea adecuada como mallas de elementos finitos debe tener triángulos bien formados, según criterios que dependen de los detalles de la simulación de elementos finitos (ver calidad de la malla ); por ejemplo, algunos métodos requieren que todos los triángulos sean rectos o agudos, formando mallas no obtusas . Se conocen muchas técnicas de mallado, incluidos los algoritmos de refinamiento de Delaunay, como el segundo algoritmo de Chew y el algoritmo de Ruppert .
• En espacios topológicos más generales, las triangulaciones de un espacio generalmente se refieren a complejos simpliciales que son homeomorfos al espacio. ^[4]

Generalización

El concepto de triangulación también puede generalizarse un poco a subdivisiones en formas relacionadas con triángulos. En particular, una pseudotriangulación de un conjunto de puntos es una partición de la capa convexa de los puntos en pseudotriangulación: polígonos que, como los triángulos, tienen exactamente tres vértices convexos. Al igual que en las triangulaciones de conjuntos de puntos, las pseudotriangulaciones deben tener sus vértices en los puntos de entrada dados.

Referencias

1. De Loera, Jesús A .; Rambau, Jörg; Santos, Francisco (2010). Triangulaciones, Estructuras para Algoritmos y Aplicaciones . vol. 25. Saltador. ISBN 9783642129711.
2. Berg, Mark Theodoor de; Kreveld, Marc van; Overmars, Mark H.; Schwarzkopf, Otfried (2000). Geometría computacional: algoritmos y aplicaciones (2 ed.). Berlín Heidelberg: Springer. págs. 45–61. ISBN 978-3-540-65620-3.
3. Papadopoulos, Athanase (2007). Manual de teoría de Teichmüller . Sociedad Matemática Europea. pag. 510.ISBN​ 9783037190296.
4. Basener, William F. (20 de octubre de 2006). Topología y sus aplicaciones. Wiley. págs. 3-14. ISBN 978-0-471-68755-9.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Triangulación". MundoMatemático .