Triangulación (geometría)

Subdivisión de un objeto plano en triángulos

En geometría , una triangulación es una subdivisión de un objeto plano en triángulos y, por extensión, la subdivisión de un objeto geométrico de mayor dimensión en símplices . Las triangulaciones de un volumen tridimensional implicarían subdividirlo en tetraedros empaquetados juntos.

En la mayoría de los casos, se requiere que los triángulos de una triangulación se encuentren borde con borde y vértice con vértice.

Tipos

Se pueden definir diferentes tipos de triangulaciones, dependiendo tanto de qué objeto geométrico se va a subdividir como de cómo se determina la subdivisión.

• Una triangulación de es una subdivisión de símplices en -dimensionales de modo que dos símplices cualesquiera en se intersecan en una cara común (un símplice de cualquier dimensión inferior) o no se intersecan en absoluto, y cualquier conjunto acotado en interseca solo un número finito de símplices en . Es decir, es un complejo simplicial localmente finito que cubre todo el espacio. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle T}$
• Una triangulación de conjuntos de puntos , es decir, una triangulación de un conjunto discreto de puntos , es una subdivisión de la envoltura convexa de los puntos en símplices tales que dos símplices cualesquiera se intersecan en una cara común de cualquier dimensión o no se intersecan en absoluto y tales que el conjunto de vértices de los símplices está contenido en . ^[1] Las triangulaciones de conjuntos de puntos estudiadas y utilizadas con frecuencia incluyen la triangulación de Delaunay (para puntos en posición general, el conjunto de símplices que están circunscritos por una bola abierta que no contiene puntos de entrada) y la triangulación de peso mínimo (la triangulación de conjuntos de puntos que minimiza la suma de las longitudes de los bordes). ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$
• En cartografía , una red irregular triangulada es una triangulación de un conjunto de puntos bidimensionales junto con las elevaciones de cada punto. Al elevar cada punto desde el plano hasta su altura elevada, los triángulos de la triangulación se convierten en superficies tridimensionales, que forman una aproximación de una forma de relieve tridimensional.
• Una triangulación de polígonos es una subdivisión de un polígono dado en triángulos que se encuentran borde con borde, nuevamente con la propiedad de que el conjunto de vértices del triángulo coincide con el conjunto de vértices del polígono. ^[2] Las triangulaciones de polígonos se pueden encontrar en tiempo lineal y forman la base de varios algoritmos geométricos importantes, incluida una solución aproximada simple al problema de la galería de arte . La triangulación de Delaunay restringida es una adaptación de la triangulación de Delaunay de conjuntos de puntos a polígonos o, más generalmente, a gráficos de líneas rectas planas .
• Una triangulación euclidiana de una superficie es un conjunto de subconjuntos de espacios compactos de homeomorfos a un triángulo no degenerado en vía tales que cubren toda la superficie, la intersección en cualquier par de subconjuntos es vacía, una arista o un vértice y si la intersección la intersección no está vacía entonces es una isometría del plano en esa intersección. ^[3] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle T_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{\alpha }\cap T_{\beta }}$ ${\displaystyle f_{\alpha }f_{\beta }^{-1}}$
• En el método de elementos finitos , las triangulaciones se utilizan a menudo como la malla (en este caso, una malla de triángulos ) subyacente a un cálculo. En este caso, los triángulos deben formar una subdivisión del dominio a simular, pero en lugar de restringir los vértices a los puntos de entrada, se permite agregar puntos de Steiner adicionales como vértices. Para ser adecuada como malla de elementos finitos, una triangulación debe tener triángulos bien formados, de acuerdo con criterios que dependen de los detalles de la simulación de elementos finitos (ver calidad de la malla ); por ejemplo, algunos métodos requieren que todos los triángulos sean rectos o agudos, formando mallas no obtusas . Se conocen muchas técnicas de mallado, incluidos los algoritmos de refinamiento de Delaunay, como el segundo algoritmo de Chew y el algoritmo de Ruppert .
• En espacios topológicos más generales, las triangulaciones de un espacio generalmente se refieren a complejos simpliciales que son homeomorfos al espacio. ^[4]

Generalización

El concepto de triangulación también se puede generalizar en cierta medida a subdivisiones en formas relacionadas con los triángulos. En particular, una pseudotriangulación de un conjunto de puntos es una partición de la envoltura convexa de los puntos en pseudotriángulos (polígonos que, como los triángulos, tienen exactamente tres vértices convexos). Al igual que en las triangulaciones de conjuntos de puntos, se requiere que las pseudotriangulaciones tengan sus vértices en los puntos de entrada dados.

Referencias

1. De Loera, Jesús A .; Rambau, Jörg; Santos, Francisco (2010). Triangulaciones, Estructuras para Algoritmos y Aplicaciones . vol. 25. Saltador. ISBN 9783642129711.
2. Berg, Mark Theodoor de; Kreveld, Marc van; Overmars, Mark H.; Schwarzkopf, Otfried (2000). Geometría computacional: algoritmos y aplicaciones (2 ed.). Berlín Heidelberg: Springer. págs. 45–61. ISBN 978-3-540-65620-3.
3. Papadopoulos, Athanase (2007). Manual de teoría de Teichmüller . Sociedad Matemática Europea. p. 510. ISBN 9783037190296.
4. Basener, William F. (20 de octubre de 2006). Topología y sus aplicaciones. Wiley. pp. 3–14. ISBN 978-0-471-68755-9.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Triangulación". MathWorld .