Gráfica de una función

Representación de una función matemática

Gráfica de la función ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}.}$

En matemáticas , la gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados , donde En el caso común donde y son números reales , estos pares son coordenadas cartesianas de puntos en un plano y a menudo forman una curva . La representación gráfica de la gráfica de una función también se conoce como diagrama . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

En el caso de funciones de dos variables –es decir, funciones cuyo dominio está formado por pares– , el gráfico suele hacer referencia al conjunto de ternas ordenadas donde . Este es un subconjunto del espacio tridimensional ; para una función continua de valores reales de dos variables reales, su gráfico forma una superficie , que puede visualizarse como un diagrama de superficie . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)=z}$

En ciencia , ingeniería , tecnología , finanzas y otras áreas, los gráficos son herramientas que se utilizan para muchos propósitos. En el caso más simple, una variable se representa gráficamente como una función de otra, generalmente utilizando ejes rectangulares ; consulte Trazado (gráficos) para obtener más detalles.

Un gráfico de una función es un caso especial de una relación . En los fundamentos modernos de las matemáticas y, típicamente, en la teoría de conjuntos , una función es en realidad igual a su gráfico. ^[1] Sin embargo, a menudo es útil ver las funciones como aplicaciones , ^[2] que consisten no solo en la relación entre la entrada y la salida, sino también qué conjunto es el dominio y qué conjunto es el codominio . Por ejemplo, para decir que una función es sobreyectiva o no, se debe tener en cuenta el codominio. El gráfico de una función por sí solo no determina el codominio. Es común ^[3] usar ambos términos función y gráfico de una función ya que incluso si se consideran el mismo objeto, indican verlo desde una perspectiva diferente.

Gráfica de la función en el intervalo [−2,+3]. También se muestran las dos raíces reales y el mínimo local que se encuentran en el intervalo. ${\displaystyle f(x)=x^{4}-4^{x}}$

Definición

Dada una función de un conjunto X (el dominio ) a un conjunto Y (el codominio ), el gráfico de la función es el conjunto ^[4] que es un subconjunto del producto cartesiano . En la definición de una función en términos de la teoría de conjuntos , es común identificar una función con su gráfico, aunque, formalmente, una función está formada por la terna formada por su dominio, su codominio y su gráfico. ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},}$$ ${\displaystyle X\times Y}$

Ejemplos

Funciones de una variable

Gráfica de la función ${\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right).}$

La gráfica de la función definida por es el subconjunto del conjunto ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}$ $${\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.}$$

A partir del gráfico, el dominio se recupera como el conjunto del primer componente de cada par en el gráfico . De manera similar, el rango se puede recuperar como . Sin embargo, el codominio no se puede determinar a partir del gráfico únicamente. ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ \exists y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$ ${\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:\exists x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$ ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$

La gráfica del polinomio cúbico en la recta real es $${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$$ $${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.}$$

Si este conjunto se traza en un plano cartesiano , el resultado es una curva (ver figura).

Funciones de dos variables

Trazado de la gráfica de mostrando también su gradiente proyectado sobre el plano inferior. ${\displaystyle f(x,y)=-\left(\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(y^{2}\right)\right)^{2},}$

La gráfica de la función trigonométrica es $${\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})}$$ $${\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.}$$

Si este conjunto se traza en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional , el resultado es una superficie (ver figura).

A menudo resulta útil representar gráficamente la pendiente de la función y varias curvas de nivel. Las curvas de nivel se pueden representar en la superficie de la función o se pueden proyectar en el plano inferior. La segunda figura muestra un dibujo de la gráfica de la función: $${\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.}$$

Véase también

• Asíntota
• Cuadro
• Trama
• Función cóncava
• Función convexa
• Trazado de contorno
• Punto crítico
• Derivado
• Epígrafe
• Normal a un gráfico
• Pendiente
• Punto estacionario
• Tetravista
• Traducción vertical
• intersección con el eje y

Referencias

1. Charles C Pinter (2014) [1971]. Un libro de teoría de conjuntos. Publicaciones de Dover. pág. 49. ISBN 978-0-486-79549-2.
2. TM Apostol (1981). Análisis matemático . Addison-Wesley. pág. 35.
3. PR Halmos (1982). Un libro de problemas espaciales de Hilbert . Springer-Verlag. pag. 31.ISBN​ 0-387-90685-1.
4. DS Bridges (1991). Fundamentos del análisis real y abstracto. Springer. pág. 285. ISBN 0-387-98239-6.

Lectura adicional

• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – vía Internet Archive .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Gráfico de funciones". De MathWorld, un recurso web de Wolfram.