En matemáticas , una relación binaria R en un conjunto X es transitiva si, para todos los elementos a , b , c en X , siempre que R relaciona a con b y b con c , entonces R también relaciona a con c .
Como ejemplo no matemático, la relación "es un antepasado de" es transitiva. Por ejemplo, si Amy es un antepasado de Becky y Becky es un antepasado de Carrie, entonces Amy también es un antepasado de Carrie.
Por otro lado, "es la madre biológica de" no es una relación transitiva, porque si Alice es la madre biológica de Brenda y Brenda es la madre biológica de Claire, entonces no se sigue que Alice sea la madre biológica de Claire. . De hecho, esta relación es antitransitiva : Alice nunca podrá ser la madre biológica de Claire.
Las relaciones no transitivas y no antitransitivas incluyen partidos deportivos (calendarios de playoffs), "sabe" y "habla con".
Los ejemplos "es mayor que", "es al menos tan grande como" y "es igual a" ( igualdad ) son relaciones transitivas en varios conjuntos. Como lo son el conjunto de los números reales o el conjunto de los números naturales:
siempre que x > y y y > z , entonces también x > z
siempre que x ≥ y y y ≥ z , entonces también x ≥ z
siempre que x = y y y = z , entonces también x = z .
Más ejemplos de relaciones transitivas:
"es un subconjunto de" (inclusión de conjuntos, una relación en conjuntos)
"divide" ( divisibilidad , una relación entre números naturales)
La relación vacía en cualquier conjunto es transitiva [3] porque no hay elementos tales que y y , por lo tanto, la condición de transitividad es vagamente verdadera . Una relación R que contiene sólo un par ordenado también es transitiva: si el par ordenado es de la forma, para algunos los únicos elementos son , y de hecho en este caso , mientras que si el par ordenado no es de la forma entonces no existen tales elementos y por tanto es vacíamente transitivo.
Propiedades
Propiedades de cierre
Lo inverso (inverso) de una relación transitiva es siempre transitivo. Por ejemplo, sabiendo que "es un subconjunto de" es transitivo y "es un superconjunto de" es su recíproco, se puede concluir que este último también es transitivo.
La intersección de dos relaciones transitivas es siempre transitiva. [4] Por ejemplo, sabiendo que "nació antes" y "tiene el mismo nombre que" son transitivos, se puede concluir que "nació antes y también tiene el mismo nombre que" también es transitivo.
La unión de dos relaciones transitivas no tiene por qué ser transitiva. Por ejemplo, "nació antes o tiene el mismo nombre que" no es una relación transitiva, ya que, por ejemplo, Herbert Hoover está relacionado con Franklin D. Roosevelt , quien a su vez está relacionado con Franklin Pierce , mientras que Hoover no está relacionado con Franklin Pierce. .
El complemento de una relación transitiva no tiene por qué ser transitivo. [5] Por ejemplo, mientras que "igual a" es transitivo, "no igual a" sólo es transitivo en conjuntos con como máximo un elemento.
Una relación transitiva no tiene por qué ser reflexiva . Cuando es así, se llama reserva . Por ejemplo, en el conjunto X = {1,2,3}:
R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,2) } es reflexivo, pero no transitivo, ya que el par (1,2) está ausente ,
R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3) } es reflexivo además de transitivo, por lo que es un preorden,
R = {(1,1), (2,2), (3,3)} es tanto reflexivo como transitivo, otro preorden.
Extensiones transitivas y cierre transitivo.
Sea R una relación binaria en el conjunto X. La extensión transitiva de R , denotada como R 1 , es la relación binaria más pequeña en X tal que R 1 contiene a R , y si ( a , b ) ∈ R y ( b , c ) ∈ R entonces ( a , c ) ∈ R 1 . [7] Por ejemplo, supongamos que X es un conjunto de pueblos, algunos de los cuales están conectados por carreteras. Sea R la relación entre pueblos donde ( A , B ) ∈ R si hay una carretera que une directamente el pueblo A y el pueblo B. Esta relación no tiene por qué ser transitiva. La extensión transitiva de esta relación se puede definir por ( A , C ) ∈ R 1 si se puede viajar entre los pueblos A y C utilizando como máximo dos carreteras.
Si una relación es transitiva entonces su extensión transitiva es ella misma, es decir, si R es una relación transitiva entonces R 1 = R .
La extensión transitiva de R 1 se denotaría por R 2 , y siguiendo así, en general, la extensión transitiva de R i sería R i + 1 . La clausura transitiva de R , denotada por R * o R ∞ es la unión conjunto de R , R 1 , R 2 , .... [8]
El cierre transitivo de una relación es una relación transitiva. [8]
La relación "es el padre biológico de" en un conjunto de personas no es una relación transitiva. Sin embargo, en biología a menudo surge la necesidad de considerar la paternidad biológica a lo largo de un número arbitrario de generaciones: la relación "es un antepasado biológico de" es una relación transitiva y es la clausura transitiva de la relación "es el padre biológico de".
Para el ejemplo de ciudades y carreteras anteriores, ( A , C ) ∈ R * siempre que pueda viajar entre las ciudades A y C utilizando cualquier cantidad de carreteras.
Ordenamiento débil estricto : un orden parcial estricto en el que la incomparabilidad es una relación de equivalencia
Ordenamiento total : una relación conectada (total), antisimétrica y transitiva
Contando relaciones transitivas
No se conoce ninguna fórmula general que cuente el número de relaciones transitivas en un conjunto finito (secuencia A006905 en la OEIS ). [9] Sin embargo, existe una fórmula para encontrar el número de relaciones que son simultáneamente reflexivas, simétricas y transitivas –es decir, relaciones de equivalencia- (secuencia A000110 en la OEIS ), las que son simétricas y transitivas, las que son simétricos, transitivos y antisimétricos, y los totales, transitivos y antisimétricos. Pfeiffer [10] ha hecho algunos avances en esta dirección, expresando relaciones con combinaciones de estas propiedades en términos de cada una de otras, pero aún así es difícil calcular cualquiera de ellas. Véase también Brinkmann y McKay (2005). [11]
Dado que la reflexivización de cualquier relación transitiva es un preorden , el número de relaciones transitivas en un conjunto de n elementos es como máximo 2 n veces mayor que el número de preordenes, por lo que es asintóticamente según los resultados de Kleitman y Rothschild. [12]
El juego piedra, papel y tijera se basa en una relación intransitiva y antitransitiva " x vence a y ".
Una relación R se llama intransitiva si no es transitiva, es decir, si xRy y yRz , pero no xRz , para algunos x , y , z . Por el contrario, una relación R se llama antitransitiva si xRy e yRz siempre implican que xRz no se cumple. Por ejemplo, la relación definida por xRy si xy es un número par es intransitiva [13] pero no antitransitiva. [14] La relación definida por xRy si x es par e y es impar es transitiva y antitransitiva. [15]
La relación definida por xRy si x es el número sucesor de y es a la vez intransitiva [16] y antitransitiva. [17] Surgen ejemplos inesperados de intransitividad en situaciones como cuestiones políticas o preferencias de grupo. [18]
Proposición: Si R es un univalente , entonces R;R T es transitivo.
prueba: Supongamos que entonces hay a y b tales que Dado que R es univalente, yRb y aR T y implican a = b . Por lo tanto x R a R T z , por lo tanto x R;R T z y R;R T es transitivo.
Corolario : Si R es univalente, entonces R;R T es una relación de equivalencia en el dominio de R.
prueba: R;R T es simétrico y reflexivo en su dominio. Con univalencia de R , se cumple el requisito transitivo de equivalencia.
^ Sin embargo, la clase de ordinales de von Neumann se construye de tal manera que ∈ es transitivo cuando se restringe a esa clase.
^ Smith, Eggen y St. Andre 2006, pág. 146
^ Bianchi, Mariagrazia; Mauri, Anna Gilio Berta; Herzog, Marcel; Verardi, Líbero (12 de enero de 2000). "Sobre grupos finitos resolubles en los que la normalidad es una relación transitiva". Revista de teoría de grupos . 3 (2). doi :10.1515/jgth.2000.012. ISSN 1433-5883. Archivado desde el original el 4 de febrero de 2023 . Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
^ ab Robinson, Derek JS (enero de 1964). "Grupos en los que la normalidad es una relación transitiva". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 60 (1): 21–38. Código Bib : 1964PCPS...60...21R. doi :10.1017/S0305004100037403. ISSN 0305-0041. S2CID 119707269. Archivado desde el original el 4 de febrero de 2023 . Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
^ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Cierres Transitivos de Relaciones Binarias I (PDF) . Praga: Escuela de Matemáticas - Universidad Carolina de Física. pag. 1. Archivado desde el original (PDF) el 2 de noviembre de 2013.Lema 1.1 (iv). Tenga en cuenta que esta fuente se refiere a las relaciones asimétricas como "estrictamente antisimétricas".
^ Liu 1985, pág. 111
^ ab Liu 1985, pág. 112
^ Steven R. Finch, "Relaciones transitivas, topologías y órdenes parciales" Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , 2003.
^ Götz Pfeiffer, "Contando relaciones transitivas archivado el 4 de febrero de 2023 en la Wayback Machine ", Journal of Integer Sequences , vol. 7 (2004), Artículo 04.3.2.
^ Gunnar Brinkmann y Brendan D. McKay, "Contando topologías sin etiquetar y relaciones transitivas Archivado el 20 de julio de 2005 en Wayback Machine "
^ Kleitman, D.; Rothschild, B. (1970), "El número de topologías finitas", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 25 (2): 276–282, JSTOR 2037205
^ desde, por ejemplo, 3 R 4 y 4 R 5, pero no 3 R 5
^ desde, por ejemplo, 2 R 3 y 3 R 4 y 2 R 4
^ dado que xRy y yRz nunca pueden suceder
^ desde, por ejemplo, 3 R 2 y 2 R 1, pero no 3 R 1
^ ya que, de manera más general, xRy e yRz implican x = y +1= z +2≠ z +1, es decir, no xRz , para todo x , y , z
^ Tambor, Kevin (noviembre de 2018). "Las preferencias no son transitivas". Madre Jones . Archivado desde el original el 29 de noviembre de 2018 . Consultado el 29 de noviembre de 2018 .
^ Oliveira, IFD; Zehavi, S.; Davidov, O. (agosto de 2018). "Transitividad estocástica: axiomas y modelos". Revista de Psicología Matemática . 85 : 25–35. doi :10.1016/j.jmp.2018.06.002. ISSN 0022-2496.
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