Transformación multidimensional

Análisis matemático del contenido de frecuencia de las señales

En el análisis y aplicaciones matemáticas , las transformadas multidimensionales se utilizan para analizar el contenido de frecuencia de las señales en un dominio de dos o más dimensiones.

Transformada de Fourier multidimensional

Una de las transformadas multidimensionales más populares es la transformada de Fourier , que convierte una señal de una representación en el dominio del tiempo/espacio a una representación en el dominio de la frecuencia. ^[1] La transformada de Fourier (FT) multidimensional de dominio discreto se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle F(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})e^{-iw_{1}n_{1}-iw_{2}n_{2}\cdots -iw_{m}n_{m}}}$

donde F representa la transformada de Fourier multidimensional, m representa la dimensión multidimensional. Defina f como una señal multidimensional de dominio discreto. La transformada de Fourier multidimensional inversa viene dada por

${\displaystyle f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{m}\int _{-\pi }^{\pi }\cdots \int _{-\pi }^{\pi }F(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m})e^{iw_{1}n_{1}+iw_{2}n_{2}+\cdots +iw_{m}n_{m}}\,dw_{1}\cdots \,dw_{m}}$

La transformada de Fourier multidimensional para señales de dominio continuo se define de la siguiente manera: ^[1]

${\displaystyle F(\Omega _{1},\Omega _{2},\ldots ,\Omega _{m})=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m})e^{-i\Omega _{1}t_{1}-i\Omega _{2}t_{2}\cdots -i\Omega _{m}t_{m}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{m}}$

Propiedades de la transformada de Fourier

Se aplican propiedades similares a las de la transformada FT unidimensional, pero en lugar de que el parámetro de entrada sea una sola entrada, se trata de una matriz o vector multidimensional (MD). Por lo tanto, es x(n ₁ ,…,n _M ) en lugar de x(n).

Linealidad

si , y entonces, ${\displaystyle x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}$ ${\displaystyle x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}$

${\displaystyle ax_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})+bx_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}aX_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})+bX_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}$

Cambio

Si , entonces ${\displaystyle x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})}$
${\displaystyle x(n_{1}-a_{1},...,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}e^{-i(\omega _{1}a_{1}+,...,+\omega _{M}a_{M})}X(\omega _{1},...,\omega _{M})}$

Modulación

Si , entonces ${\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}$

${\displaystyle e^{i(\theta _{1}n_{1}+\cdots +\theta _{M}n_{M})}x(n_{1}-a_{1},\ldots ,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})}$

Multiplicación

Si , y ${\displaystyle x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}$ ${\displaystyle x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}$

entonces,

o,

Diferenciación

Si , entonces ${\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}$

${\displaystyle -in_{1}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{1})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),}$

${\displaystyle -in_{2}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{2})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),}$

${\displaystyle (-i)^{M}(n_{1}n_{2}\cdots n_{M})x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {(\partial )^{M}}{(\partial \omega _{1}\partial \omega _{2}\cdots \partial \omega _{M})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),}$

Transposición

Si , entonces ${\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}$

${\displaystyle x(n_{M},\ldots ,n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{M},\ldots ,\omega _{1})}$

Reflexión

Si , entonces ${\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}$

${\displaystyle x(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\pm \omega _{1},\ldots ,\pm \omega _{M})}$

Conjugación compleja

Si , entonces ${\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}$

${\displaystyle x^{*}(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X^{*}(\mp \omega _{1},\ldots ,\mp \omega _{M})}$

Teorema de Parseval (MD)

si , y entonces, ${\displaystyle x_{1}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})}$ ${\displaystyle x_{2}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},...,\omega _{M})}$

${\displaystyle \sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }x_{1}(n_{1},...,n_{M})x_{2}^{*}(n_{1},...,n_{M}){=}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }...\int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})X_{2}^{*}(\omega _{1},...,\omega _{M})d\omega _{1}...d\omega _{M}}$

Si , entonces ${\displaystyle x_{1}(n_{1},...,n_{M}){=}x_{2}(n_{1},...,n_{M})}$

${\displaystyle \sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }|x_{1}(n_{1},...,n_{M})|^{2}{=}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }...\int \limits _{-\pi }^{\pi }|X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})|^{2}d\omega _{1}...d\omega _{M}}$

Un caso especial del teorema de Parseval es cuando las dos señales multidimensionales son iguales. En este caso, el teorema representa la conservación de la energía de la señal y el término en la suma o integral es la densidad de energía de la señal.

Posibilidad de separación

Se dice que una señal o un sistema es separable si se puede expresar como un producto de funciones unidimensionales con diferentes variables independientes. Este fenómeno permite calcular la transformada de FT como un producto de funciones unidimensionales en lugar de una FT multidimensional.

si , , ... , y si , entonces ${\displaystyle x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})}$ ${\displaystyle a(n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})}$ ${\displaystyle b(n_{2}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}B(\omega _{2})}$ ${\displaystyle y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}Y(\omega _{M})}$ ${\displaystyle x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M})}$

${\displaystyle X(\omega _{1},...,\omega _{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})B(\omega _{2})...Y(\omega _{M})}$, entonces

${\displaystyle X(\omega _{1},...,\omega _{M}){=}A(\omega _{1})B(\omega _{2})...Y(\omega _{M})}$

Transformación de frecuencia cardíaca MD

Una transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la transformada discreta de Fourier (DFT) y su inversa. Una FFT calcula la DFT y produce exactamente el mismo resultado que evaluar la definición de la DFT directamente; la única diferencia es que una FFT es mucho más rápida. (En presencia de un error de redondeo, muchos algoritmos de FFT también son mucho más precisos que evaluar la definición de la DFT directamente). Existen muchos algoritmos de FFT diferentes que involucran una amplia gama de matemáticas, desde la aritmética simple de números complejos hasta la teoría de grupos y la teoría de números. Ver más en FFT .

Doctor en Filosofía y Teoría de la Fuerza Laboral

La transformada de Fourier discreta multidimensional (DFT) es una versión muestreada de la FT de dominio discreto al evaluarla en frecuencias de muestra que están espaciadas uniformemente. ^[2] La DFT N ₁ × N ₂ × ... N _m viene dada por:

${\displaystyle Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{n_{m}=0}^{N_{m}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})e^{-i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}-i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots -i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}}$

para 0 ≤ K _i ≤ N _i − 1 , i = 1, 2, ..., m .

La ecuación DFT multidimensional inversa es

${\displaystyle fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})={\frac {1}{N_{1}\cdots N_{m}}}\sum _{K_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{K_{m}=0}^{N_{m}-1}Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})e^{i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}+i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots +i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}}$

para 0 ≤ n ₁ , n ₂ , ... , n _m ≤ N _{(1, 2, ... , m )} – 1 .

Transformada de coseno discreta multidimensional

La transformada discreta del coseno (DCT) se utiliza en una amplia gama de aplicaciones, como la compresión de datos , la extracción de características , la reconstrucción de imágenes , la detección de múltiples cuadros , etc. La DCT multidimensional se obtiene de la siguiente manera:

${\displaystyle Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\cdots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})\cos {\frac {\pi (2n_{1}+1)K_{1}}{2N_{1}}}\cdots \cos {\frac {\pi (2n_{r}+1)K_{r}}{2N_{r}}}}$

para k _i = 0, 1, ..., N _i − 1 , i = 1, 2, ..., r .

Transformada de Laplace multidimensional

La transformada de Laplace multidimensional es útil para la solución de problemas de valores en la frontera. Los problemas de valores en la frontera en dos o más variables caracterizados por ecuaciones diferenciales parciales se pueden resolver mediante un uso directo de la transformada de Laplace. ^[3] La transformada de Laplace para un caso M-dimensional se define ^[3] como

${\displaystyle F(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})e^{-s_{n}t_{n}-s_{n-1}t_{n-1}\cdots \cdots s_{1}t_{1}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{n}}$

donde F representa la representación del dominio s de la señal f(t).

Un caso especial (a lo largo de 2 dimensiones) de la transformada de Laplace multidimensional de la función f(x,y) se define ^[4] como

$${\displaystyle F(s_{1},s_{2})=\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }\ f(x,y)e^{-s_{1}x-s_{2}y}\,dxdy}$$

${\displaystyle F(s_{1},s_{2})}$se llama la imagen de y se conoce como el original de . ^{[ cita requerida ]} Este caso especial se puede utilizar para resolver las ecuaciones del Telegrapher . ^{[ cita requerida ]} } ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle F(s_{1},s_{2})}$

Transformación Z multidimensional[5]

La transformada Z multidimensional se utiliza para mapear la señal multidimensional del dominio del tiempo discreto al dominio Z. Esto se puede utilizar para verificar la estabilidad de los filtros. La ecuación de la transformada Z multidimensional está dada por

Figura 1.1a

${\displaystyle F(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}\ldots z_{m}^{-n_{m}}}$

donde F representa la representación del dominio z de la señal f(n).

Un caso especial de la transformada Z multidimensional es la transformada Z 2D que se da como

${\displaystyle F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}}$

La transformada de Fourier es un caso especial de la transformada Z evaluada a lo largo del círculo unitario (en 1D) y el bicírculo unitario (en 2D), es decir, en

${\textstyle z=e^{iw}}$donde z y w son vectores.

Región de convergencia

Figura 1.1b

Puntos ( z ₁ , z ₂ ) que se encuentran en el ROC. ${\displaystyle F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }|f(n_{1},n_{2})||z_{1}|^{-n_{1}}|z_{2}|^{-n_{2}}}$ ${\displaystyle <\infty }$

Un ejemplo:

Si una secuencia tiene un soporte como se muestra en la Figura 1.1a, entonces su ROC se muestra en la Figura 1.1b. De esto se deduce que | F ( z ₁ , z ₂ )| < ∞ .

${\displaystyle (z_{01},z_{02})}$se encuentra en la ROC, entonces todos los puntos que satisfacen |z1|≥|z01| y |z2|≥|z02 se encuentran en la ROC. ${\displaystyle (z_{1},z_{2})}$

Por lo tanto, para las figuras 1.1a y 1.1b, el ROC sería

${\displaystyle \ln |z_{1}|\geq \ln |z_{01}|{\text{ and }}\ln |z_{2}|\geq L\ln |z_{1}|+\{\ln |z_{02}|-L\ln |z_{01}|\}}$

donde L es la pendiente.

La transformada Z 2D , similar a la transformada Z, se utiliza en el procesamiento de señales multidimensionales para relacionar una señal de tiempo discreto bidimensional con el dominio de frecuencia complejo en el que la superficie 2D en el espacio 4D en la que se encuentra la transformada de Fourier se conoce como superficie unitaria o bicírculo unitario.

Aplicaciones

La DCT y la DFT se utilizan a menudo en el procesamiento de señales ^[6] y en el procesamiento de imágenes, y también se utilizan para resolver de manera eficiente ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos espectrales. La DFT también se puede utilizar para realizar otras operaciones, como convoluciones o multiplicaciones de números enteros grandes. La DFT y la DCT se han utilizado ampliamente en una gran cantidad de campos; a continuación, solo esbozamos algunos ejemplos.

Procesamiento de imágenes

Frecuencias DCT bidimensionales de la DCT JPEG

La DCT se utiliza en la compresión de imágenes JPEG , MJPEG , MPEG , DV , Daala y compresión de vídeo Theora . Allí, se calcula la DCT-II bidimensional de bloques N x N y los resultados se cuantifican y se codifican por entropía . En este caso, N es típicamente 8 y la fórmula DCT-II se aplica a cada fila y columna del bloque. El resultado es una matriz de coeficientes de transformación de 8x8 en la que el elemento (0,0) (arriba a la izquierda) es el componente DC (frecuencia cero) y las entradas con valores de índice verticales y horizontales crecientes representan frecuencias espaciales verticales y horizontales más altas, como se muestra en la imagen de la derecha.

En el procesamiento de imágenes, también se pueden analizar y describir métodos criptográficos no convencionales basados ​​en DCT 2D, para insertar marcas de agua binarias no visibles en el plano de imagen 2D, ^[7] y de acuerdo con diferentes orientaciones, la transformación híbrida DCT-DWT direccional 2-D se puede aplicar para eliminar el ruido de las imágenes de ultrasonido. ^[8] La DCT 3-D también se puede utilizar para transformar datos de video o datos de imágenes 3-D en esquemas de incrustación de marcas de agua en el dominio de la transformación. ^{[9] [10]}

Análisis espectral

Cuando la DFT se utiliza para el análisis espectral , la secuencia { x _n } suele representar un conjunto finito de muestras de tiempo uniformemente espaciadas de alguna señal x ( t ) donde t representa el tiempo. La conversión de tiempo continuo a muestras (tiempo discreto) cambia la transformada de Fourier subyacente de x ( t ) en una transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), que generalmente implica un tipo de distorsión llamada aliasing . La elección de una frecuencia de muestreo adecuada (consulte la frecuencia de Nyquist ) es la clave para minimizar esa distorsión. De manera similar, la conversión de una secuencia muy larga (o infinita) a un tamaño manejable implica un tipo de distorsión llamada fuga , que se manifiesta como una pérdida de detalle (también conocida como resolución) en la DTFT. La elección de una longitud de subsecuencia adecuada es la clave principal para minimizar ese efecto. Cuando los datos disponibles (y el tiempo para procesarlos) son mayores que la cantidad necesaria para alcanzar la resolución de frecuencia deseada, una técnica estándar es realizar múltiples DFT, por ejemplo para crear un espectrograma . Si el resultado deseado es un espectro de potencia y hay ruido o aleatoriedad en los datos, promediar los componentes de magnitud de las múltiples DFT es un procedimiento útil para reducir la varianza del espectro (también llamado periodograma en este contexto); dos ejemplos de tales técnicas son el método Welch y el método Bartlett ; el tema general de la estimación del espectro de potencia de una señal ruidosa se llama estimación espectral .

Una última fuente de distorsión (o quizás ilusión ) es la propia DFT, porque es simplemente un muestreo discreto de la DTFT, que es una función de un dominio de frecuencia continuo. Esto se puede mitigar aumentando la resolución de la DFT. Ese procedimiento se ilustra en § Muestreo de la DTFT .

• El procedimiento se conoce a veces como relleno de ceros , que es una implementación particular que se utiliza junto con el algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT). La ineficiencia de realizar multiplicaciones y sumas con "muestras" de valor cero se ve más que compensada por la eficiencia inherente de la FFT.
• Como ya se ha señalado, la fuga impone un límite a la resolución inherente de la DTFT, por lo que existe un límite práctico al beneficio que se puede obtener de una DFT de grano fino.

Ecuaciones diferenciales parciales

Las transformadas de Fourier discretas se utilizan a menudo para resolver ecuaciones diferenciales parciales , donde nuevamente la DFT se utiliza como una aproximación para la serie de Fourier (que se recupera en el límite de infinito N ). La ventaja de este enfoque es que expande la señal en exponenciales complejas e ^inx , que son funciones propias de la diferenciación: d / dx e ^inx = in e ^inx . Por lo tanto, en la representación de Fourier, la diferenciación es simple: simplemente multiplicamos por in . (Observe, sin embargo, que la elección de n no es única debido al aliasing; para que el método sea convergente, se debe utilizar una elección similar a la de la sección de interpolación trigonométrica anterior). Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una ecuación algebraica fácilmente solucionable. Luego, se utiliza la DFT inversa para transformar el resultado nuevamente en la representación espacial ordinaria. Este enfoque se denomina método espectral .

Las DCT también se emplean ampliamente para resolver ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos espectrales, donde las diferentes variantes de la DCT corresponden a condiciones de contorno pares/impares ligeramente diferentes en los dos extremos de la matriz.

Las transformadas de Laplace se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales parciales. La teoría general para obtener soluciones en esta técnica se desarrolla mediante teoremas sobre la transformada de Laplace en n dimensiones. ^[3]

La transformada Z multidimensional también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales parciales. ^[11]

Procesamiento de imágenes para análisis de superficies artísticas mediante FFT

Un factor muy importante es que debemos aplicar un método no destructivo para obtener esa información valiosa y poco común (desde el punto de vista del HVS, se centra en toda la información colorimétrica y espacial) sobre las obras de arte y su daño cero. Podemos entender las obras de arte observando un cambio de color o midiendo el cambio de uniformidad de la superficie. Dado que la imagen completa será muy grande, utilizamos una ventana de coseno elevado doble para truncar la imagen: ^[12]

${\displaystyle w(x,y)={\frac {1}{4}}\left(1+\cos {\frac {x\pi }{N}}\right)\left(1+\cos {\frac {y\pi }{N}}\right)}$

donde N es la dimensión de la imagen y x , y son las coordenadas desde el centro de la imagen que abarca desde 0 hasta N /2. El autor quería calcular un valor igual para la frecuencia espacial como: ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{m}(f)^{2}=\left[\sum _{i=-f}^{f}\right.&\operatorname {FFT} (-f,i)^{2}+\sum _{i=-f}^{f}\operatorname {FFT} (f,i)^{2}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,-f)^{2}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,f)^{2}\right]\end{aligned}}}$

donde "FFT" denota la transformada rápida de Fourier y f es la frecuencia espacial que abarca de 0 a N /2 – 1. El enfoque de imágenes basado en FFT propuesto es una tecnología de diagnóstico para garantizar una larga vida útil y estabilidad a las obras de arte culturales. Se trata de un método simple y económico que se puede utilizar en museos sin afectar su uso diario. Pero este método no permite una medida cuantitativa de la tasa de corrosión.

Aplicación a la simulación de circuitos débilmente no lineales[13]

Un ejemplo de un circuito débilmente no lineal

La transformada de Laplace multidimensional inversa se puede aplicar para simular circuitos no lineales. Para ello, se formula un circuito como un espacio de estados y se expande la transformada de Laplace inversa basándose en la expansión de la función de Laguerre .

El método de Laguerre se puede utilizar para simular un circuito débilmente no lineal y puede invertir una transformada de Laplace multidimensional de manera eficiente y con alta precisión.

Se observa que se puede lograr una alta precisión y una aceleración significativa al simular circuitos no lineales grandes utilizando transformadas de Laplace multidimensionales.

Véase también

• Transformada de coseno discreta
• Lista de transformadas relacionadas con Fourier
• Lista de temas de análisis de Fourier
• Convolución discreta multidimensional
• Transformada Z 2D
• Descomposición modal empírica multidimensional
• Reconstrucción de señales multidimensionales

Referencias

1. Smith, W. Manual de transformadas rápidas de Fourier en tiempo real: algoritmos para pruebas de productos, Wiley_IEEE Press, edición 1, páginas 73–80, 1995
2. Dudgeon y Mersereau, Procesamiento de señales digitales multidimensionales, 2.ª edición, 1995
3. Debnath, Joyati; Dahiya, RS (1 de enero de 1989). "Teoremas sobre la transformada de Laplace multidimensional para la solución de problemas de valores en la frontera". Computers & Mathematics with Applications . 18 (12): 1033–1056. doi : 10.1016/0898-1221(89)90031-X .
4. Cálculo operacional en dos variables y su aplicación (1.ª edición en inglés) - traducido por DMG Wishart (Calcul opérationnel) .
5. "Libro del Narod" (PDF) .
6. Tan Xiao, Shao-hai Hu, Yang Xiao. Aplicación de DFT-DWT 2-D al procesamiento de señales multidimensionales. Actas de ICSP2006, IEEE 2006
7. Peter KULLAI, Pavol SABAKAI, JozefHUSKAI. Posibilidades simples de aplicación de DCT 2D en criptografía de imágenes monocromáticas digitales. Radioelektronika, 17.ª Conferencia Internacional, IEEE, 2007, págs. 1–6
8. Xin-ling Wen, Yang Xiao. La transformada híbrida DCT-DWT direccional 2-D y su aplicación en la eliminación de ruido de imágenes ultrasónicas. Procesamiento de señales. ICSP 2008. Novena conferencia internacional, página(s): 946–949
9. Jinwei Wang, Shiguo Lian, Zhongxuan Liu, Zhen Ren, Yuewei Dai, Haila Wang. Esquema de marca de agua de imagen basado en 3-D DCT. Electrónica y aplicaciones industriales, 1.ª conferencia del IEEE de 2006, págs. 1–6
10. Jin Li, Moncef Gabbouj, Jarmo Takala, Hexin Chen. Algoritmo de cambio de tamaño directo de DCT a DCT 3-D para codificación de vídeo. Procesamiento y análisis de imágenes y señales, 2009. ISPA 2009. Actas del 6.º Simposio internacional, págs. 105-110
11. Gregor, Jiří (1998). "Kybernetika" (PDF) . Kybernética . 24 .
12. Angelini, E., Grassin, S.; Piantanida, M.; Corbellini, S.; Ferraris, F.; Neri, A.; Parvis, M. Procesamiento de imágenes basado en FFT para el monitoreo del patrimonio cultural Conferencia sobre tecnología de medición e instrumentación (I2MTC), 2010 IEEE
13. Wang, Tingting (2012). "Análisis de circuitos débilmente no lineales basado en la transformada de Laplace inversa multidimensional rápida". 17.ª Conferencia de automatización de diseño de Asia y el Pacífico Sur . págs. 547–552. doi :10.1109/ASPDAC.2012.6165013. ISBN 978-1-4673-0772-7.S2CID 15427178  .