La transformación de Dyson

Freeman Dyson en 2005

La transformada de Dyson es una técnica fundamental en la teoría de números aditivos . ^[1] Fue desarrollada por Freeman Dyson como parte de su prueba del teorema de Mann , ^{[2] : 17} se utiliza para demostrar resultados fundamentales de la teoría de números aditivos como el teorema de Cauchy-Davenport , ^[1] y fue utilizada por Olivier Ramaré en su trabajo sobre la conjetura de Goldbach que demostró que todo entero par es la suma de como máximo 6 primos. ^{[3] : 700–701} El término transformada de Dyson para esta técnica es utilizado por Ramaré. ^{[3] : 700–701} Halberstam y Roth la llaman la transformación τ. ^{[2] : 58}

Esta formulación de la transformada es de Ramaré. ^{[3] : 700–701} Sea A una sucesión de números naturales y x un número real cualquiera. Escriba A ( x ) para el número de elementos de A que se encuentran en [1,  x ]. Supongamos que y son dos sucesiones de números naturales. Escribimos A  +  B para el conjunto suma , es decir, el conjunto de todos los elementos a  +  b donde a está en A y b está en B; y de manera similar A  −  B para el conjunto de diferencias a  −  b . Para cualquier elemento e en A , la transformada de Dyson consiste en formar las sucesiones y . Las sucesiones transformadas tienen las propiedades: ${\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\cdots \}}$ ${\displaystyle B=\{0=b_{1}<b_{2}<\cdots \}}$ ${\displaystyle A'=A\cup (B+\{e\})}$ ${\displaystyle \,B'=B\cap (A-\{e\})}$

• ${\displaystyle A'+B'\subset A+B}$
• ${\displaystyle \{e\}+B'\subset A'}$
• ${\displaystyle 0\in B'}$
• ${\displaystyle A'(m)+B'(m-e)=A(m)+B(m-e)}$

Otras transformaciones estrechamente relacionadas se denominan a veces transformadas de Dyson. Esto incluye la transformada definida por , , , para conjuntos en un grupo (no necesariamente abeliano). Esta transformación tiene la propiedad de que ${\displaystyle A_{1}=A\cap (A+\{e\})}$ ${\displaystyle A_{2}=A\cup (A+\{e\})}$ ${\displaystyle B_{1}=B\cap (-\{e\}+B)}$ ${\displaystyle B_{2}=B\cup (-\{e\}+B)}$ ${\displaystyle A,B}$

• ${\displaystyle A_{1}+B_{1}\subset A+B,A_{2}+B_{2}\subset A+B}$
• ${\displaystyle |A_{1}|+|A_{2}|=2|A|}$, ${\displaystyle |B_{1}|+|B_{2}|=2|B|}$

Se puede utilizar para demostrar una generalización del teorema de Cauchy-Davenport . ^[4]

Referencias

1. Nathanson, Melvyn B. (22 de agosto de 1996). Teoría de números aditivos: problemas inversos y geometría de conjuntos de sumas. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94655-9.
2. Halberstam, H .; Roth, KF (1983). Secuencias (ed. revisada). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90801-4.
3. O. Ramaré (1995). "Sobre la constante de šnirel'man". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Clase de ciencia. Serie IV . 22 (4): 645–706 . Consultado el 13 de marzo de 2009 .
4. DeVos, Matt (2016). "Sobre una generalización del teorema de Cauchy-Davenport". Enteros . 16 .