Transformación de Hartley

Transformada integral estrechamente relacionada con la transformada de Fourier

En matemáticas , la transformada de Hartley ( HT ) es una transformada integral estrechamente relacionada con la transformada de Fourier (FT), pero que transforma funciones de valores reales en funciones de valores reales. Fue propuesta como una alternativa a la transformada de Fourier por Ralph VL Hartley en 1942, ^[1] y es una de las muchas transformadas de Fourier relacionadas conocidas . En comparación con la transformada de Fourier, la transformada de Hartley tiene las ventajas de transformar funciones reales en funciones reales (en lugar de requerir números complejos ) y de ser su propia inversa.

La versión discreta de la transformación, la transformada Hartley discreta (DHT), fue introducida por Ronald N. Bracewell en 1983. ^[2]

La transformada Hartley bidimensional se puede calcular mediante un proceso óptico analógico similar a una transformada óptica de Fourier (OFT), con la ventaja propuesta de que solo es necesario determinar su amplitud y signo en lugar de su fase compleja. ^[3] Sin embargo, las transformadas ópticas de Hartley no parecen haber tenido un uso generalizado.

Definición

La transformada de Hartley de una función se define por: ${\displaystyle f(t)}$

$${\displaystyle H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\operatorname {cas} (\omega t)\,\mathrm {d} t\,,}$$

¿Dónde puede haber en las aplicaciones una frecuencia angular y ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \operatorname {cas} (t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)\,,}$$

es el núcleo de Hartley o coseno y seno (cas) . En términos de ingeniería, esta transformación lleva una señal (función) del dominio del tiempo al dominio espectral de Hartley (dominio de la frecuencia).

Transformada inversa

La transformada de Hartley tiene la conveniente propiedad de ser su propia inversa (una involución ):

$${\displaystyle f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}\,.}$$

Convenciones

Lo anterior concuerda con la definición original de Hartley, pero (como con la transformada de Fourier) varios detalles menores son cuestiones de convención y se pueden cambiar sin alterar las propiedades esenciales:

• En lugar de utilizar la misma transformación para la directa y la inversa, se puede eliminar de la transformación directa y utilizar para la inversa, o, de hecho, cualquier par de normalizaciones cuyo producto sea . (Estas normalizaciones asimétricas a veces se encuentran tanto en contextos puramente matemáticos como de ingeniería). ${\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle {1}/{2\pi }}$ ${\displaystyle {1}/{2\pi }}$
• También se puede utilizar en lugar de (es decir, frecuencia en lugar de frecuencia angular), en cuyo caso el coeficiente se omite por completo. ${\displaystyle 2\pi \nu t}$ ${\displaystyle \omega t}$ ${\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}}$
• Se puede utilizar en lugar de como núcleo. ${\displaystyle \cos -\sin }$ ${\displaystyle \cos +\sin }$

Relación con la transformada de Fourier

Esta transformación se diferencia de la transformación clásica de Fourier en la elección del núcleo. En la transformación de Fourier, tenemos el núcleo exponencial, , donde es la unidad imaginaria . ${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )}$ ${\displaystyle \exp \left({-\mathrm {i} \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {i} \sin(\omega t)}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$

Sin embargo, las dos transformaciones están estrechamente relacionadas y la transformada de Fourier (suponiendo que utiliza la misma convención de normalización) se puede calcular a partir de la transformada de Hartley mediante: ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

$${\displaystyle F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-\mathrm {i} {\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}\,.}$$

Es decir, las partes reales e imaginarias de la transformada de Fourier están dadas simplemente por las partes pares e impares de la transformada de Hartley, respectivamente.

Por el contrario, para funciones de valores reales , la transformada de Hartley se obtiene a partir de las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier: ${\displaystyle f(t)}$

$${\displaystyle \{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+\mathrm {i} )\}\,,}$$

donde y denotan las partes reales e imaginarias. ${\displaystyle \Re }$ ${\displaystyle \Im }$

Propiedades

La transformada de Hartley es un operador lineal real y es simétrica (y hermítica ). De las propiedades simétrica y autoinversa se deduce que la transformada es un operador unitario (de hecho, ortogonal ).

La convolución utilizando transformadas de Hartley es ^[4] donde y $${\displaystyle f(x)*g(x)={\frac {F(\omega )G(\omega )+F(-\omega )G(\omega )+F(\omega )G(-\omega )-F(-\omega )G(-\omega )}{2}}}$$ ${\displaystyle F(\omega )=\{{\mathcal {H}}f\}(\omega )}$ ${\displaystyle G(\omega )=\{{\mathcal {H}}g\}(\omega )}$

Similar a la transformada de Fourier, la transformada de Hartley de una función par/impar es par/impar, respectivamente.

caso

Las propiedades del núcleo de Hartley , para el cual Hartley introdujo el nombre cas para la función (de coseno y seno ) en 1942, ^{[1] [5]} se derivan directamente de la trigonometría y su definición como una función trigonométrica desfasada . Por ejemplo, tiene una identidad de adición de ángulos de: ${\displaystyle \operatorname {cas} (t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)=\sin(t)+\cos(t)}$

$${\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b)\,.}$$

Además:

$${\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,,}$$

y su derivada viene dada por:

$${\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {d}{da}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a)\,.}$$

Véase también

• cis (matemáticas)
• Transformada de Fourier fraccionaria

Referencias

1. Hartley, Ralph VL (marzo de 1942). "Un análisis de Fourier más simétrico aplicado a problemas de transmisión". Actas del IRE . 30 (3): 144–150. doi :10.1109/JRPROC.1942.234333. S2CID  51644127.
2. Bracewell, Ronald N. (1983). "Transformada discreta de Hartley". Revista de la Sociedad Óptica de América . 73 (12): 1832–1835. doi :10.1364/JOSA.73.001832. S2CID  120611904.
3. Villasenor, John D. (1994). "Transformadas ópticas de Hartley". Actas del IEEE . 82 (3): 391–399. doi :10.1109/5.272144.
4. Olejniczak (2010). "Transformada de Hartley". En Poularikas (ed.). Manual de transformadas y aplicaciones (3.ª ed.). CRC Press.Ecuación (4.54)
5. Bracewell, Ronald N. (junio de 1999) [1985, 1978, 1965]. La transformada de Fourier y sus aplicaciones (3.ª ed.). McGraw-Hill . ISBN 978-0-07303938-1.(NB. Segunda edición también traducida al japonés y al polaco.)

• Bracewell, Ronald N. (1986). Escrito en Stanford, California, EE. UU. The Hartley Transform . Oxford Engineering Science Series. Vol. 19 (1.ª ed.). Nueva York, NY, EE. UU.: Oxford University Press, Inc. ISBN 0-19-503969-6.(NB. También traducido al alemán y al ruso.)
• Bracewell, Ronald N. (1994). "Aspectos de la transformada de Hartley". Actas del IEEE . 82 (3): 381–387. doi :10.1109/5.272142.
• Millane, Rick P. (1994). "Propiedades analíticas de la transformada de Hartley". Actas del IEEE . 82 (3): 413–428. doi :10.1109/5.272146.

Lectura adicional

• Olnejniczak, Kraig J.; Heydt, Gerald T., eds. (marzo de 1994). "Explorando la sección especial sobre la transformada de Hartley". Número especial sobre la transformada de Hartley . Vol. 82. Actas del IEEE . págs. 372–380 . Consultado el 31 de octubre de 2017 .(NB. Contiene bibliografía extensa.)