Transformada Y-Δ

Técnica en análisis de circuitos eléctricos.

En ingeniería eléctrica , la transformada Y-Δ , también escrita estrella-delta y también conocida con muchos otros nombres, es una técnica matemática para simplificar el análisis de una red eléctrica . El nombre deriva de las formas de los diagramas de circuito , que se parecen respectivamente a la letra Y y a la letra mayúscula griega Δ . Esta teoría de transformación de circuitos fue publicada por Arthur Edwin Kennelly en 1899. ^[1] Se utiliza ampliamente en el análisis de circuitos de energía eléctrica trifásicos .

La transformada Y-Δ puede considerarse un caso especial de la transformada de malla en estrella para tres resistencias . En matemáticas, la transformada Y-Δ juega un papel importante en la teoría de gráficos planos circulares . ^[2]

Nombres

Ilustración de la transformada en su representación T-Π.

La transformada Y-Δ se conoce con una variedad de otros nombres, principalmente basados ​​en las dos formas involucradas, enumeradas en cualquier orden. La Y , escrita como estrella , también puede llamarse T o estrella ; el Δ , escrito como delta , también puede llamarse triángulo , Π (escrito como pi ) o malla . Por lo tanto, los nombres comunes para la transformación incluyen estrella-delta o delta-estrella , estrella-delta , estrella-malla o T-Π .

Transformación Y-Δ básica

Circuitos Δ e Y con las etiquetas que se utilizan en este artículo.

La transformación se utiliza para establecer equivalencia para redes con tres terminales. Cuando tres elementos terminan en un nodo común y ninguno es fuente, el nodo se elimina transformando las impedancias. Para lograr equivalencia, la impedancia entre cualquier par de terminales debe ser la misma para ambas redes. Las ecuaciones dadas aquí son válidas tanto para impedancias complejas como reales. La impedancia compleja es una cantidad medida en ohmios que representa la resistencia como números reales positivos de la manera habitual y también representa la reactancia como valores imaginarios positivos y negativos .

Ecuaciones para la transformación de Δ a Y

La idea general es calcular la impedancia en un nodo terminal del circuito Y con impedancias a nodos adyacentes en el circuito Δ mediante ${\displaystyle R_{\text{Y}}}$ ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle R''}$

${\displaystyle R_{\text{Y}}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}$

donde están todas las impedancias en el circuito Δ. Esto produce la fórmula específica ${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}$

Ecuaciones para la transformación de Y a Δ

La idea general es calcular una impedancia en el circuito Δ mediante ${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\text{opposite}}}}}$

donde es la suma de los productos de todos los pares de impedancias en el circuito Y y es la impedancia del nodo en el circuito Y que está opuesto al borde con . Las fórmulas para las aristas individuales son, por tanto, ${\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}$ ${\displaystyle R_{\text{opposite}}}$ ${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}}$

O, si usa admitancia en lugar de resistencia:

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que la fórmula general de Y a Δ usando admitancia es similar a Δ a Y usando resistencia.

Una prueba de la existencia y unicidad de la transformación.

La viabilidad de la transformación se puede demostrar como consecuencia del teorema de superposición para circuitos eléctricos . A continuación se puede ofrecer una prueba breve, en lugar de una derivada como corolario de la transformada de malla en estrella más general. La equivalencia radica en la afirmación de que para cualquier voltaje externo ( y ) que se aplique en los tres nodos ( y ), las corrientes correspondientes ( y ) son exactamente las mismas para el circuito Y y Δ, y viceversa. En esta prueba, comenzamos con corrientes externas dadas en los nodos. Según el teorema de superposición, los voltajes se pueden obtener estudiando la superposición de los voltajes resultantes en los nodos de los siguientes tres problemas aplicados en los tres nodos con corriente: ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle V_{3}}$ ${\displaystyle N_{1},N_{2}}$ ${\displaystyle N_{3}}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

1. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),0}$
2. ${\displaystyle 0,{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right)}$y
3. ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right),0,{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right)}$

La equivalencia se puede demostrar fácilmente utilizando las leyes del circuito de Kirchhoff que . Ahora bien, cada problema es relativamente simple, ya que involucra una sola fuente de corriente ideal. Para obtener exactamente los mismos voltajes de resultado en los nodos para cada problema, las resistencias equivalentes en los dos circuitos deben ser las mismas, esto se puede encontrar fácilmente usando las reglas básicas de los circuitos en serie y en paralelo : ${\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}=0}$

${\displaystyle R_{3}+R_{1}={\frac {\left(R_{\text{c}}+R_{\text{a}}\right)R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}},\quad {\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{\text{a}}}{R_{\text{c}}}}.}$

Aunque generalmente seis ecuaciones son más que suficientes para expresar tres variables ( ) en términos de las otras tres variables ( ), aquí es sencillo mostrar que estas ecuaciones efectivamente conducen a las expresiones diseñadas anteriormente. ${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}}$ ${\displaystyle R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}}$

De hecho, el teorema de superposición establece la relación entre los valores de las resistencias, el teorema de unicidad garantiza la unicidad de dicha solución.

Simplificación de redes

En teoría, las redes resistivas entre dos terminales pueden simplificarse a una única resistencia equivalente (de manera más general, lo mismo ocurre con la impedancia). Las transformaciones en serie y en paralelo son herramientas básicas para hacerlo, pero para redes complejas como el puente que se ilustra aquí, no son suficientes.

La transformada Y-Δ se puede utilizar para eliminar un nodo a la vez y producir una red que se puede simplificar aún más, como se muestra.

La transformación de una red de resistencias de puente, utilizando la transformada Y-Δ para eliminar el nodo D , produce una red equivalente que puede simplificarse aún más.

La transformación inversa, Δ-Y, que agrega un nodo, suele ser útil para allanar el camino hacia una mayor simplificación también.

La transformación de una red de resistencias de puente, utilizando la transformada Δ-Y, también produce una red equivalente que puede simplificarse aún más.

Cada red de dos terminales representada por un gráfico plano se puede reducir a una única resistencia equivalente mediante una secuencia de transformaciones en serie, en paralelo, Y-Δ y Δ-Y. ^[3] Sin embargo, hay redes no planas que no se pueden simplificar usando estas transformaciones, como una cuadrícula cuadrada regular envuelta alrededor de un toro , o cualquier miembro de la familia Petersen .

Teoría de grafos

En teoría de grafos , la transformada Y-Δ significa reemplazar un subgrafo Y de un gráfico con el subgrafo Δ equivalente. La transformación conserva el número de aristas en un gráfico, pero no el número de vértices ni el número de ciclos . Se dice que dos gráficas son equivalentes a Y-Δ si una puede obtenerse de la otra mediante una serie de transformaciones Y-Δ en cualquier dirección. Por ejemplo, la familia Petersen es una clase de equivalencia Y-Δ .

Demostración

Ecuaciones de transformación de carga Δ a carga Y

Circuitos Δ e Y con las etiquetas que se utilizan en este artículo.

Para relacionar desde Δ con Y, se compara la impedancia entre dos nodos correspondientes. La impedancia en cualquier configuración se determina como si uno de los nodos estuviera desconectado del circuito. ${\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}$

La impedancia entre N ₁ y N ₂ con N ₃ desconectado en Δ:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)&=R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\[3pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{\text{c}}}}+{\frac {1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}}}\\[3pt]&={\frac {R_{\text{c}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}\right)}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}$

Para simplificar, sea la suma de . ${\displaystyle R_{\text{T}}}$ ${\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}$

${\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}$

De este modo,

${\displaystyle R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}$

La impedancia correspondiente entre N ₁ y N ₂ en Y es simple:

${\displaystyle R_{\text{Y}}\left(N_{1},N_{2}\right)=R_{1}+R_{2}}$

por eso:

${\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}$   (1)

Repitiendo para : ${\displaystyle R(N_{2},N_{3})}$

${\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}}$   (2)

y para : ${\displaystyle R\left(N_{1},N_{3}\right)}$

${\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{\text{b}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}}}.}$   (3)

A partir de aquí, los valores de se pueden determinar mediante combinación lineal (suma y/o resta). ${\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}$

Por ejemplo, sumando (1) y (3) y luego restando (2) se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}&={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}+{\frac {R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}-{\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow 2R_{1}&={\frac {2R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}.\end{aligned}}}$

Por completitud:

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$ (4)

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$ (5)

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}}$ (6)

Ecuaciones de transformación de carga Y a carga Δ

Dejar

${\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}$.

Podemos escribir las ecuaciones de Δ a Y como

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$   (1)

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$   (2)

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}.}$   (3)

Multiplicando los pares de ecuaciones se obtiene

${\displaystyle R_{1}R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (4)

${\displaystyle R_{1}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (5)

${\displaystyle R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (6)

y la suma de estas ecuaciones es

${\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}+R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}+R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (7)

Factoriza desde el lado derecho, dejando en el numerador, cancelando con a en el denominador. ${\displaystyle R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}$ ${\displaystyle R_{\text{T}}}$ ${\displaystyle R_{\text{T}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}&={}{\frac {\left(R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}\right)\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}^{2}}}\\&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\end{aligned}}}$ (8)

Note la similitud entre (8) y {(1), (2), (3)}

Dividir (8) por (1)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}{\frac {R_{\text{T}}}{R_{\text{b}}R_{\text{c}}}}\\&={}R_{\text{a}},\end{aligned}}}$

cual es la ecuación para . Al dividir (8) por (2) o (3) (expresiones para o ) se obtienen las ecuaciones restantes. ${\displaystyle R_{\text{a}}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$

Transformación Δ a Y de un generador práctico

Durante el análisis de sistemas de potencia trifásicos equilibrados , normalmente se analiza un circuito equivalente por fase (o monofásico) debido a su simplicidad. Para ello se utilizan conexiones en estrella equivalentes para generadores , transformadores , cargas y motores . Los devanados del estator de un práctico generador trifásico conectado en delta, que se muestra en la siguiente figura, se pueden convertir en un generador equivalente conectado en estrella, utilizando las seis fórmulas siguientes ^[a] :

Práctico generador conectado en delta/triángulo/pi. Las cantidades mostradas son voltajes fasoriales e impedancias complejas. Haga clic en la imagen para ampliarla.

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{s1Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s2Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s2}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s3Y}}={\dfrac {Z_{\text{s2}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&V_{\text{s1Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}-{\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}\right)Z_{\text{s1Y}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}-{\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}\right)Z_{\text{s2Y}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}-{\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}\right)Z_{\text{s3Y}}\end{aligned}}}$

La red resultante es la siguiente. El nodo neutro de la red equivalente es ficticio, al igual que las tensiones fasoriales de línea a neutro. Durante la transformación, las corrientes fasoriales de línea y las tensiones fasoriales de línea (o línea a línea o fase a fase) no se modifican.

Generador práctico equivalente conectado en estrella/estrella/te. Haga clic en la imagen para ampliarla.

Si el generador delta real está balanceado, lo que significa que los voltajes fasoriales internos tienen la misma magnitud y están desfasados ​​120° entre sí y las tres impedancias complejas son las mismas, entonces las fórmulas anteriores se reducen a las cuatro siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{sY}}={\dfrac {Z_{\text{s}}}{3}}\\&V_{\text{s1Y}}={\dfrac {V_{\text{s1}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}={\dfrac {V_{\text{s2}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}={\dfrac {V_{\text{s3}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\end{aligned}}}$

donde para las últimas tres ecuaciones, se usa el primer signo (+) si la secuencia de fases es positiva/ abc o el segundo signo (-) si la secuencia de fases es negativa/ acb .

Ver también

• Transformación de malla de estrellas
• Análisis de redes (circuitos eléctricos)
• Red eléctrica , alimentación trifásica , sistemas polifásicos para ejemplos de conexiones Y y Δ.
• Motor de CA para una discusión sobre la técnica de arranque Y-Δ

Referencias

1. Kennelly, AE (1899). "Equivalencia de triángulos y estrellas de tres puntas en redes conductoras". Mundo Eléctrico e Ingeniero . 34 : 413–414.
2. Curtis, EB; Ingerman, D.; Mañana, JA (1998). "Gráficos planos circulares y redes de resistencias". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 283 (1–3): 115–150. doi : 10.1016/S0024-3795(98)10087-3 .
3. Truemper, K. (1989). "Sobre la reducción delta-estrella para gráficos planos". Revista de teoría de grafos . 13 (2): 141-148. doi :10.1002/jgt.3190130202.

Notas

1. Para ver una demostración, lea la página de discusión .

Bibliografía

• William Stevenson, Elementos del análisis de sistemas de energía, 3.ª ed., McGraw Hill, Nueva York, 1975, ISBN 0-07-061285-4 

enlaces externos

• Conversión Estrella-Triángulo: Conocimientos sobre redes resistivas y resistencias.
• Calculadora de transformada estrella-triángulo