Transformación unitaria (mecánica cuántica)

Operaciones matemáticas importantes en la mecánica cuántica.

En mecánica cuántica , la ecuación de Schrödinger describe cómo cambia un sistema con el tiempo. Lo hace relacionando los cambios en el estado del sistema con la energía del sistema (dada por un operador llamado hamiltoniano ) . Por lo tanto, una vez que se conoce el hamiltoniano, en principio se conoce la dinámica del tiempo. Todo lo que queda es introducir el hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger y resolver el estado del sistema en función del tiempo. ^{[1] [2]}

Sin embargo, a menudo la ecuación de Schrödinger es difícil de resolver ( incluso con una computadora ). Por ello, los físicos han desarrollado técnicas matemáticas para simplificar estos problemas y aclarar lo que sucede físicamente. Una de esas técnicas consiste en aplicar una transformación unitaria al hamiltoniano. Hacerlo puede dar como resultado una versión simplificada de la ecuación de Schrödinger que, no obstante, tiene la misma solución que la original.

Transformación

Una transformación unitaria (o cambio de marco) se puede expresar en términos de un operador unitario y hamiltoniano dependiente del tiempo . Bajo este cambio, el hamiltoniano se transforma como: ${\displaystyle H(t)}$ ${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle H\to UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{{\dot {U}}U^{\dagger }}=:{\breve {H}}\quad \quad (0)}$.

La ecuación de Schrödinger se aplica al nuevo hamiltoniano. Las soluciones de las ecuaciones transformadas y no transformadas también están relacionadas por . Específicamente, si la función de onda satisface la ecuación original, entonces satisfará la nueva ecuación. ^[3] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle U\psi (t)}$

Derivación

Recuerde que por la definición de matriz unitaria , . Comenzando con la ecuación de Schrödinger, ${\displaystyle U^{\dagger }U=1}$

${\displaystyle {\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}H\psi }$,

por lo tanto podemos insertar a voluntad. En particular, insertándolo después y también premultiplicando ambos lados por , obtenemos ${\displaystyle U^{\dagger }U}$ ${\displaystyle H/\hbar }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U{\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(UHU^{\dagger }\right)U\psi \quad \quad (1)}$.

A continuación, tenga en cuenta que según la regla del producto,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(U\psi \right)={\dot {U}}\psi +U{\dot {\psi }}}$.

Insertando otro y reordenando, obtenemos ${\displaystyle U^{\dagger }U}$

${\displaystyle U{\dot {\psi }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}-{\dot {U}}U^{\dagger }U\psi \quad \quad (2)}$.

Finalmente, la combinación de (1) y (2) anteriores da como resultado la transformación deseada:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}=-{\frac {i}{\hbar }}{\Big (}UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{\dot {U}}{U^{\dagger }}{\Big )}{\Big (}U\psi {\Big )}\quad \quad \left(3\right)}$.

Si adoptamos la notación para describir la función de onda transformada, las ecuaciones se pueden escribir de una forma más clara. Por ejemplo, se puede reescribir como ${\displaystyle {\breve {\psi }}:=U\psi }$ ${\displaystyle (3)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\breve {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}{\breve {H}}{\breve {\psi }}\quad \quad \left(4\right)}$,

que se puede reescribir en la forma de la ecuación de Schrödinger original,

${\displaystyle {\breve {H}}{\breve {\psi }}=i\hbar {\operatorname {d} \!{\breve {\psi }} \over \operatorname {d} \!t}.}$

La función de onda original se puede recuperar como . ${\displaystyle \psi =U^{\dagger }{\breve {\psi }}}$

Relación con la imagen de interacción.

Las transformaciones unitarias pueden verse como una generalización de la imagen de interacción (Dirac) . En este último enfoque, un hamiltoniano se divide en una parte independiente del tiempo y una parte dependiente del tiempo,

${\displaystyle H(t)=H_{0}+V(t)\quad \quad (a)}$.

En este caso, la ecuación de Schrödinger se convierte en

${\displaystyle {\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(e^{iH_{0}t/\hbar }Ve^{-iH_{0}t/\hbar }\right)\psi _{I}}$, con . ^[4] ${\displaystyle \psi _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }\psi }$

La correspondencia con una transformación unitaria se puede mostrar eligiendo . Como resultado, ${\textstyle U(t)=\exp \left[{+iH_{0}t/\hbar }\right]}$ ${\displaystyle {U^{\dagger }}(t)=\exp \left[{-iH_{0}t}/\hbar \right].}$

Usando la notación anterior, nuestro hamiltoniano transformado se convierte en ${\displaystyle (0)}$

${\displaystyle {\breve {H}}=U\left[H_{0}+V(t)\right]U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }\quad \quad (b)}$

Primero tenga en cuenta que dado que es una función de , los dos deben conmutar . Entonces ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle UH_{0}U^{\dagger }=H_{0}}$,

que se ocupa del primer término de la transformación en , es decir . Luego use la regla de la cadena para calcular ${\displaystyle (b)}$ ${\displaystyle {\breve {H}}=H_{0}+UV(t)U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }&=i\hbar \left({\operatorname {d} \!U \over \operatorname {d} \!t}\right)e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar {\Big (}iH_{0}/\hbar {\Big )}e^{+iH_{0}t/\hbar }e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar \left({iH_{0}}/\hbar \right)\\&=-H_{0},\\\end{aligned}}}$

que se cancela con el otro . Evidentemente nos queda , produciendo como se muestra arriba. ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle {\breve {H}}=UVU^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}UVU^{\dagger }\psi _{I}}$

Sin embargo, cuando se aplica una transformación unitaria general, no es necesario que esté dividida en partes, ni siquiera que sea función de alguna parte del hamiltoniano. ${\displaystyle H(t)}$ ${\displaystyle U(t)}$

Ejemplos

Marco giratorio

Consideremos un átomo con dos estados , terreno y excitado . El átomo tiene un hamiltoniano , donde es la frecuencia de la luz asociada a la transición ge . Ahora supongamos que iluminamos el átomo con un impulso de frecuencia que acopla los dos estados, y que el hamiltoniano impulsado dependiente del tiempo es ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle H=\hbar \omega {|{e}\rangle \langle {e}|}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{d}}$

${\displaystyle H/\hbar =\omega |e\rangle \langle e|+\Omega \ e^{i\omega _{d}t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ e^{-i\omega _{d}t}|e\rangle \langle g|}$

para una fuerza motriz compleja . Debido a las escalas de frecuencia en competencia ( , y ), es difícil anticipar el efecto del impulso (ver movimiento armónico impulsado ). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle \Omega }$

Sin un variador, la fase de oscilaría en relación con . En la representación de la esfera de Bloch de un sistema de dos estados, esto corresponde a la rotación alrededor del eje z. Conceptualmente, podemos eliminar este componente de la dinámica ingresando a un marco de referencia giratorio definido por la transformación unitaria . Bajo esta transformación, el hamiltoniano se convierte en ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle U=e^{i\omega t|e\rangle \langle e|}}$

${\displaystyle H/\hbar \to \Omega \,e^{i(\omega _{d}-\omega )t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\,e^{i(\omega -\omega _{d})t}|e\rangle \langle g|}$.

Si la frecuencia de conducción es igual a la frecuencia de transición ge, se producirá resonancia y luego la ecuación anterior se reduce a ${\displaystyle \omega _{d}=\omega }$

${\displaystyle {\breve {H}}/\hbar =\Omega \ |g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ |e\rangle \langle g|}$.

De esto se desprende, incluso sin entrar en detalles, que la dinámica implicará una oscilación entre los estados fundamental y excitado en una frecuencia . ^[4] ${\displaystyle \Omega }$

Como otro caso límite, supongamos que el impulso está muy fuera de resonancia . Podemos calcular la dinámica en ese caso sin resolver directamente la ecuación de Schrödinger. Supongamos que el sistema comienza en el estado fundamental . Inicialmente, el hamiltoniano poblará algún componente de . Un poco más tarde, sin embargo, se poblará aproximadamente con la misma cantidad pero con una fase completamente diferente. Por tanto, el efecto de un impulso fuera de resonancia tenderá a anularse. Esto también se puede expresar diciendo que un impulso fuera de resonancia gira rápidamente en la estructura del átomo . ${\displaystyle |\omega _{d}-\omega |\gg 0}$ ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle |e\rangle }$

Estos conceptos se ilustran en la siguiente tabla, donde la esfera representa la esfera de Bloch , la flecha representa el estado del átomo y la mano representa el impulso.

Marco desplazado

El ejemplo anterior también podría haberse analizado en la imagen de interacción. Sin embargo, el siguiente ejemplo es más difícil de analizar sin la formulación general de transformaciones unitarias. Considere dos osciladores armónicos , entre los cuales nos gustaría diseñar una interacción de divisor de haz ,

${\displaystyle g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b}$.

Esto se logró experimentalmente con dos resonadores de cavidad de microondas que sirvieron como y . ^[5] A continuación, esbozamos el análisis de una versión simplificada de este experimento. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Además de las cavidades de microondas, el experimento también involucró un qubit transmon acoplado a ambos modos. El qubit funciona simultáneamente en dos frecuencias y , para lo cual . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}-\omega _{2}=\omega _{a}-\omega _{b}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {drive} }/\hbar =\Re \left[\epsilon _{1}e^{i\omega _{1}t}+\epsilon _{2}e^{i\omega _{2}t}\right](c+c^{\dagger }).}$

Además, hay muchos términos de cuarto orden que acoplan los modos , pero la mayoría de ellos pueden despreciarse. En este experimento, dos de esos términos que se volverán importantes son

${\displaystyle H_{4}/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}{\Big )}c^{\dagger }c}$.

(Hc es la abreviatura del conjugado hermitiano ). Podemos aplicar una transformación de desplazamiento , , al modo ^{[ se necesita aclaración ]} . Para amplitudes cuidadosamente elegidas, esta transformación se cancelará y al mismo tiempo desplazará al operador de escalera, . Esto nos deja con ${\displaystyle U=D(-\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}-\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{\textrm {drive}}}$ ${\displaystyle c\to c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t}}$

${\displaystyle H/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+e^{i(\omega _{a}-\omega _{b})t}a^{\dagger }b{\big )}(c^{\dagger }+\xi _{1}^{*}e^{i\omega _{1}t}+\xi _{2}^{*}e^{i\omega _{2}t})(c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})}$.

Ampliando esta expresión y eliminando los términos que rotan rápidamente, nos queda el hamiltoniano deseado,

${\displaystyle H/\hbar =g_{4}\xi _{1}^{*}\xi _{2}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a}+\omega _{1}-\omega _{2})t}\ ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}=g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b}$.

Relación con la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff

Es común que los operadores involucrados en transformaciones unitarias se escriban como exponenciales de operadores, como se vio arriba. Además, los operadores en las exponenciales comúnmente obedecen a la relación , de modo que la transformada de un operador es ,. Al presentar ahora el conmutador iterador, ${\displaystyle U=e^{X}}$ ${\displaystyle X^{\dagger }=-X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle UYU^{\dagger }=e^{X}Ye^{-X}}$

${\displaystyle [(X)^{n},Y]\equiv \underbrace {[X,\dotsb [X,[X} _{n{\text{ times }}},Y]]\dotsb ],\quad [(X)^{0},Y]\equiv Y,}$

podemos usar un resultado especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para escribir esta transformación de forma compacta como,

${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(X)^{n},Y]}{n!}},}$

o, en forma larga para completar,

${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots .}$

Referencias

1. Sakurai, JJ; Napolitano, Jim J. (2014). Mecánica cuántica moderna (edición en la versión del subcontinente indio). Pearson. págs. 67–72. ISBN 978-93-325-1900-8.
2. Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (Segunda ed.). Pearson. págs. 24-29. ISBN 978-0-13-191175-8.
3. Axline, Christopher J. (2018). "Capítulo 6" (PDF) . Bloques de construcción para la computación cuántica QED de circuitos modulares (tesis doctoral) . Consultado el 4 de agosto de 2018 .
4. Sakurai, págs. 346-350.
5. Yvonne Y. Gao; Brian J. Lester; et al. (21 de junio de 2018). "Interferencia programable entre dos memorias cuánticas de microondas". Física. Rev. X. 8 (2). Material suplementario. arXiv : 1802.08510 . doi : 10.1103/PhysRevX.8.021073. S2CID  3723797.