Transformación de Helmert

La transformación de Helmert (nombrada en honor a Friedrich Robert Helmert , 1843–1917) es un método de transformación geométrica dentro de un espacio tridimensional . Se utiliza con frecuencia en geodesia para producir transformaciones de datos entre datos . La transformación de Helmert también se denomina transformación de siete parámetros y es una transformación de similitud .

Definición

Se puede expresar como:

X_{T}=C+\mu RX\,

dónde

$X T$ es el vector transformado
$X$ es el vector inicial

Los parámetros son:

$C$ – vector de traslación . Contiene las tres traslaciones a lo largo de los ejes de coordenadas.
$μ$ – factor de escala , que no tiene unidades; si se da en ppm , debe dividirse por 1.000.000 y sumarse a 1.
$R$ – matriz de rotación . Consta de tres ejes (pequeñas rotaciones ^{[ aclaración necesaria ]} alrededor de cada uno de los tres ejes de coordenadas) $r$ $x$ , $r$ $y$ , $r$ $z$ . La matriz de rotación es una matriz ortogonal . Los ángulos se expresan en grados o radianes .

Variaciones

Un caso especial es la transformación de Helmert bidimensional. En este caso, solo se necesitan cuatro parámetros (dos traslaciones, un escalado y una rotación). Estos se pueden determinar a partir de dos puntos conocidos; si hay más puntos disponibles, se pueden realizar comprobaciones.

A veces es suficiente utilizar la transformación de cinco parámetros , compuesta por tres traslaciones, una sola rotación sobre el eje Z y un cambio de escala.

Restricciones

La transformación de Helmert solo utiliza un factor de escala, por lo que no es adecuada para:

La manipulación de dibujos y fotografías medidos .
La comparación de las deformaciones del papel al escanear planos y mapas antiguos.

En estos casos, es preferible una transformación afín más general.

Solicitud

La transformación de Helmert se utiliza, entre otras cosas, en geodesia para transformar las coordenadas de un punto de un sistema de coordenadas a otro. Con ella, es posible convertir puntos topográficos regionales en las posiciones WGS84 que utiliza el GPS .

Por ejemplo, comenzando con la coordenada de Gauss-Krüger , $x$ e $y$ , más la altura, $h$ , se convierten en valores 3D en pasos:

Deshacer la proyección del mapa : cálculo de la latitud, longitud y altura elipsoidales ( $W$ , $L$ , $H$ )
Convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas geocéntricas : Cálculo de $x$ , $y$ y $z$ en relación con el elipsoide de referencia de la topografía
Transformación de 7 parámetros (donde $x$ , $y$ y $z$ casi siempre cambian unos pocos cientos de metros como máximo, y las distancias unos pocos mm por km).
De esta forma, las posiciones medidas terrestres se pueden comparar con los datos GPS, que luego se pueden incorporar al estudio como nuevos puntos y transformar en el orden opuesto.

El tercer paso consiste en la aplicación de una matriz de rotación , la multiplicación con el factor de escala (con un valor cercano a 1) y la suma de las tres traslaciones, $c$ $x$ , $c$ $y$ , $c$ $z$ . $\mu = 1+s$

Las coordenadas de un sistema de referencia B se derivan del sistema de referencia A mediante la siguiente fórmula (convención de transformación de vectores de posición y simplificación de ángulos de rotación muy pequeños): ^[1]

{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+(1+s\times 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}

o para cada parámetro individual de la coordenada:

{\begin{aligned}X_{B}&=c_{x}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (X_{A}-r_{z}\cdot Y_{A}+r_{y}\cdot Z_{A})\\Y_{B}&=c_{y}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (r_{z}\cdot X_{A}+Y_{A}-r_{x}\cdot Z_{A})\\Z_{B}&=c_{z}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (-r_{y}\cdot X_{A}+r_{x}\cdot Y_{A}+Z_{A}).\end{aligned}}

Para la transformación inversa, cada elemento se multiplica por −1.

Los siete parámetros se determinan para cada región con tres o más "puntos idénticos" de ambos sistemas. Para que coincidan, las pequeñas inconsistencias (normalmente de sólo unos pocos centímetros) se corrigen mediante el método de mínimos cuadrados , es decir, se eliminan de una manera estadísticamente plausible.

Parámetros estándar

Nota: los ángulos de rotación dados en la tabla están en segundos de arco y deben convertirse a radianes antes de su uso en el cálculo.

Estos son conjuntos de parámetros estándar para la transformación de 7 parámetros (o transformación de datos) entre dos datums. Para una transformación en la dirección opuesta, se deben calcular los parámetros de transformación inversa o se debe aplicar la transformación inversa (como se describe en el artículo "Sobre transformaciones geodésicas" ^[2] ). Las traslaciones $c x$ , $c y$ , $c z$ a veces se describen como $t x$ , $t y$ , $t z$ o $dx$ , $dy$ , $dz$ . Las rotaciones r _x , r _y y r _z a veces también se describen como , y . ^[^¿quién?^] En el Reino Unido, el interés principal es la transformación entre el datum OSGB36 utilizado por Ordnance Survey para referencias de cuadrícula en sus mapas Landranger y Explorer a la implementación WGS84 utilizada por la tecnología GPS. El sistema de coordenadas Gauss-Krüger utilizado en Alemania normalmente se refiere al elipsoide de Bessel . Otro dato de interés fue el ED50 (Datum Europeo 1950), basado en el elipsoide de Hayford . El ED50 formó parte de los fundamentos de las coordenadas de la OTAN hasta la década de 1980, y muchos sistemas de coordenadas nacionales de Gauss-Krüger están definidos por el ED50. ${\estilo de visualización \omega}$ ${\estilo de visualización \phi}$ ${\estilo de visualización \kappa}$

La Tierra no tiene una forma elipsoidal perfecta, sino que se describe como un geoide . En cambio, el geoide de la Tierra se describe mediante muchos elipsoides. Dependiendo de la ubicación real, el "elipsoide mejor alineado localmente" se ha utilizado para fines topográficos y cartográficos. El conjunto de parámetros estándar proporciona una precisión de aproximadamente7 m para una transformación OSGB36/WGS84. Esto no es lo suficientemente preciso para la topografía, y Ordnance Survey complementa estos resultados utilizando una tabla de búsqueda de traducciones adicionales para llegar aPrecisión de 1 cm .

Estimación de los parámetros

Si se desconocen los parámetros de la transformación, se pueden calcular con puntos de referencia (es decir, puntos cuyas coordenadas se conocen antes y después de la transformación). Dado que se deben determinar un total de siete parámetros (tres traslaciones, una escala, tres rotaciones), se deben conocer al menos dos puntos y una coordenada de un tercer punto (por ejemplo, la coordenada Z). Esto da como resultado un sistema con siete ecuaciones y siete incógnitas, que se pueden resolver.

Para las transformaciones entre proyecciones de mapas conformes cerca de un punto arbitrario, los parámetros de transformación de Helmert se pueden calcular exactamente a partir de la matriz jacobiana de la función de transformación.

En la práctica, lo mejor es utilizar más puntos. Gracias a esta correspondencia, se obtiene una mayor precisión y es posible realizar una evaluación estadística de los resultados. En este caso, el cálculo se ajusta con el método de mínimos cuadrados gaussianos .

Se obtiene un valor numérico para la precisión de los parámetros de transformación calculando los valores en los puntos de referencia y ponderando los resultados en relación con el centroide de los puntos.

Si bien el método es matemáticamente riguroso, depende completamente de la precisión de los parámetros que se utilizan. En la práctica, estos parámetros se calculan a partir de la inclusión de al menos tres puntos conocidos en las redes. Sin embargo, la precisión de estos afectará a los siguientes parámetros de transformación, ya que estos puntos contendrán errores de observación. Por lo tanto, una transformación del "mundo real" solo será una mejor estimación y debería contener una medida estadística de su calidad.

Véase también

Referencias

^ "Ecuaciones utilizadas para transformaciones de datos". Información sobre tierras de Toitū Te Whenua, Nueva Zelanda . Consultado el 30 de junio de 2022 .
^ Sobre transformaciones geodésicas, Bo-Gunnar Reit, 2009 https://www.lantmateriet.se/contentassets/4a728c7e9f0145569edd5eb81fececa7/rapport_reit_eng.pdf

Enlaces externos

Transformación de Helmert en el software de transformación de coordenadas PROJ
Cálculo de transformaciones de Helmert Archivado el 13 de septiembre de 2022 en Wayback Machine