Cambio de variables

Técnica matemática para la simplificación.

En matemáticas , un cambio de variables es una técnica básica utilizada para simplificar problemas en los que las variables originales se reemplazan con funciones de otras variables. La intención es que cuando se exprese en nuevas variables, el problema pueda volverse más simple o equivalente a un problema mejor comprendido.

El cambio de variables es una operación que está relacionada con la sustitución . Sin embargo se trata de operaciones diferentes, como se puede comprobar al considerar la diferenciación ( regla de la cadena ) o la integración ( integración por sustitución ).

Un ejemplo muy simple de un cambio de variable útil se puede ver en el problema de encontrar las raíces del polinomio de sexto grado:

${\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8=0.}$

Las ecuaciones polinomiales de sexto grado generalmente son imposibles de resolver en términos de radicales (ver teorema de Abel-Ruffini ). Esta ecuación particular, sin embargo, puede escribirse

${\displaystyle (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0}$

(Este es un caso simple de descomposición polinómica ). Por tanto, la ecuación se puede simplificar definiendo una nueva variable . Sustituyendo x por en el polinomio se obtiene ${\displaystyle u=x^{3}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{u}}}$

${\displaystyle u^{2}-9u+8=0,}$

que es solo una ecuación cuadrática con las dos soluciones:

${\displaystyle u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.}$

Las soluciones en términos de la variable original se obtienen sustituyendo x ³ nuevamente por u , lo que da

${\displaystyle x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.}$

Entonces, suponiendo que sólo nos interesan las soluciones reales , las soluciones de la ecuación original son

${\displaystyle x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.}$

Ejemplo sencillo

Considere el sistema de ecuaciones.

${\displaystyle xy+x+y=71}$

${\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880}$

donde y son números enteros positivos con . (Fuente: AIME 1991 ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x>y}$

Resolver esto normalmente no es muy difícil, pero puede resultar un poco tedioso. Sin embargo, podemos reescribir la segunda ecuación como . Haciendo las sustituciones y reduce el sistema a . Resolver esto da y . La sustitución hacia atrás del primer par ordenado nos da , lo que da la solución La sustitución hacia atrás del segundo par ordenado nos da , lo que no da soluciones. Por tanto la solución que resuelve el sistema es . ${\displaystyle xy(x+y)=880}$ ${\displaystyle s=x+y}$ ${\displaystyle t=xy}$ ${\displaystyle s+t=71,st=880}$ ${\displaystyle (s,t)=(16,55)}$ ${\displaystyle (s,t)=(55,16)}$ ${\displaystyle x+y=16,xy=55,x>y}$ ${\displaystyle (x,y)=(11,5).}$ ${\displaystyle x+y=55,xy=16,x>y}$ ${\displaystyle (x,y)=(11,5)}$

Introducción formal

Sean , variedades suaves y sea un - difeomorfismo entre ellas, es decir: es un mapa biyectivo de tiempos continuamente diferenciables desde a con tiempos continuamente diferenciables inversos de a . Aquí puede haber cualquier número natural (o cero), ( suave ) o ( analítico ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Phi :A\rightarrow B}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega }$

El mapa se llama transformación de coordenadas regular o sustitución de variable regular , donde regular se refiere a la naturaleza de . Por lo general, se escribirá para indicar el reemplazo de la variable por la variable sustituyendo el valor de in por cada aparición de . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x=\Phi (y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Otros ejemplos

Transformación de coordenadas

Algunos sistemas se pueden resolver más fácilmente al cambiar a coordenadas polares . Consideremos, por ejemplo, la ecuación

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}$

Esta puede ser una función de energía potencial para algún problema físico. Si uno no ve inmediatamente una solución, podría intentar la sustitución

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}$dada por ${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).}$

Tenga en cuenta que si se ejecuta fuera de un intervalo de longitud, por ejemplo, el mapa ya no es biyectivo. Por lo tanto, debería limitarse, por ejemplo , a . Observe cómo se excluye, ya que no es biyectivo en el origen ( puede tomar cualquier valor, el punto se asignará a (0, 0)). Luego, reemplazando todas las apariciones de las variables originales por las nuevas expresiones prescritas por y usando la identidad , obtenemos ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$

${\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}$

Ahora las soluciones se pueden encontrar fácilmente: , entonces o . La aplicación de la inversa de muestra que esto es equivalente a while . De hecho, vemos que la función desaparece, excepto el origen. ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x\not =0}$ ${\displaystyle y=0}$

Tenga en cuenta que, si lo hubiéramos permitido , el origen también habría sido una solución, aunque no es una solución al problema original. Aquí la bijetividad de es crucial. La función siempre es positiva (para ), de ahí los valores absolutos. ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Diferenciación

La regla de la cadena se utiliza para simplificar la diferenciación complicada. Por ejemplo, considere el problema de calcular la derivada.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).}$

Vamos con Entonces: ${\displaystyle y=\sin u}$ ${\displaystyle u=x^{2}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}}$

Integración

Las integrales difíciles a menudo pueden evaluarse cambiando variables; esto está permitido por la regla de sustitución y es análogo al uso de la regla de la cadena anterior. Las integrales difíciles también se pueden resolver simplificando la integral usando un cambio de variables dado por la matriz jacobiana y el determinante correspondientes . ^[1] El uso del determinante jacobiano y el correspondiente cambio de variable que proporciona es la base de sistemas de coordenadas como los sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos.

Fórmula de cambio de variables en términos de medida de Lebesgue

El siguiente teorema nos permite relacionar integrales con respecto a la medida de Lebesgue con una integral equivalente con respecto a la medida de retroceso bajo una parametrización G. ^[2] La prueba se debe a aproximaciones del contenido de Jordan.

Supongamos que es un subconjunto abierto de y es un difeomorfismo. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

• Si es una función medible de Lebesgue en , entonces Lebesgue es medible en . Si o entonces . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G(\Omega )}$ ${\displaystyle f\circ G}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G(\Omega ),m),}$ ${\displaystyle \int _{G(\Omega )}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x)|{\text{det}}D_{x}G|dx}$
• Si y es Lebesgue mensurable, entonces Lebesgue es mensurable, entonces . ${\displaystyle E\subset \Omega }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G(E)}$ ${\displaystyle m(G(E))=\int _{E}|{\text{det}}D_{x}G|dx}$

Como corolario de este teorema, podemos calcular las derivadas de radón-Nikodym de las medidas de retroceso y avance de under . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$

Fórmula de transformación y medida de retroceso

La medida de retroceso en términos de una transformación se define como . La fórmula de cambio de variables para las medidas de retroceso es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}\mu :=\mu (T(A))}$

${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu }$.

Fórmula de transformación y medida de avance

La medida pushforward en términos de una transformación se define como . La fórmula de cambio de variables para medidas pushforward es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{*}\mu :=\mu (T^{-1}(A))}$

${\displaystyle \int _{\Omega }g\circ Td\mu =\int _{T(\Omega )}gdT_{*}\mu }$.

Como corolario de la fórmula de cambio de variables para la medida de Lebesgue, tenemos que

• Derivada de Radon-Nikodym del retroceso con respecto a la medida de Lebesgue: ${\displaystyle {\frac {dT^{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T|}$
• Derivada de Radon-Nikodym del pushforward con respecto a la medida de Lebesgue: ${\displaystyle {\frac {dT_{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|}$

De la cual podemos obtener

• La fórmula de cambio de variables para la medida de retroceso: ${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu =\int _{\Omega }g\circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)}$
• La fórmula de cambio de variables para la medida pushforward: ${\displaystyle \int _{\Omega }gd\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}dT_{*}\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)}$

Ecuaciones diferenciales

Los cambios de variables para la diferenciación y la integración se enseñan en cálculo elemental y los pasos rara vez se llevan a cabo en su totalidad.

El uso muy amplio de cambios de variables es evidente cuando se consideran ecuaciones diferenciales, donde las variables independientes se pueden cambiar usando la regla de la cadena o las variables dependientes se cambian dando como resultado alguna diferenciación que se debe llevar a cabo. Los cambios exóticos, como la mezcla de variables dependientes e independientes en transformaciones de puntos y contactos , pueden ser muy complicados pero permiten mucha libertad.

Muy a menudo, se sustituye una forma general de un cambio en un problema y se eligen parámetros a lo largo del camino para simplificar mejor el problema.

Escalar y cambiar

Probablemente el cambio más simple es el escalamiento y desplazamiento de variables, es decir, reemplazarlas con nuevas variables que se "estiran" y "mueven" en cantidades constantes. Esto es muy común en aplicaciones prácticas para solucionar problemas con parámetros físicos. Para una derivada de ^orden n , el cambio simplemente resulta en

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}}$

dónde

${\displaystyle x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}}$

${\displaystyle y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.}$

Esto puede demostrarse fácilmente mediante la regla de la cadena y la linealidad de diferenciación. Este cambio es muy común en aplicaciones prácticas para eliminar parámetros físicos de problemas, por ejemplo, el problema del valor límite .

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0}$

describe un flujo de fluido paralelo entre paredes sólidas planas separadas por una distancia δ; μ es la viscosidad y el gradiente de presión , ambos constantes. Al escalar las variables el problema se vuelve ${\displaystyle dp/dx}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0}$

dónde

${\displaystyle y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.}$

El escalado es útil por muchas razones. Simplifica el análisis reduciendo el número de parámetros y simplemente simplificando el problema. El escalado adecuado puede normalizar las variables, es decir, hacer que tengan un rango sensible sin unidades, como 0 a 1. Finalmente, si un problema exige una solución numérica, cuantos menos parámetros haya, menor será el número de cálculos.

Momento versus velocidad

Considere un sistema de ecuaciones.

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}$

para una función dada . La masa puede eliminarse mediante la sustitución (trivial) . Claramente este es un mapa biyectivo de a . Bajo la sustitución el sistema se vuelve ${\displaystyle H(x,v)}$ ${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v=\Phi (p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}$

Mecánica lagrangiana

Dado un campo de fuerza , las ecuaciones de movimiento de Newton son ${\displaystyle \varphi (t,x,v)}$

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).}$

Lagrange examinó cómo estas ecuaciones de movimiento cambian bajo una sustitución arbitraria de variables , ${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$ ${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.}$

Encontró que las ecuaciones

${\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}}$

son equivalentes a las ecuaciones de Newton para la función , donde T es la energía cinética y V la energía potencial. ${\displaystyle L=T-V}$

De hecho, cuando se elige bien la sustitución (explotando, por ejemplo, las simetrías y las restricciones del sistema), estas ecuaciones son mucho más fáciles de resolver que las ecuaciones de Newton en coordenadas cartesianas.

Ver también

• Cambio de variables (PDE)
• Cambio de variables para densidades de probabilidad.
• Propiedad de sustitución de la igualdad
• Creación de instancias universales

Referencias

1. Kaplan, Wilfred (1973). "Cambio de Variables en Integrales". Cálculo avanzado (Segunda ed.). Lectura: Addison-Wesley. págs. 269–275.
2. Folland, GB (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2ª ed.). Nueva York: Wiley. págs. 74–75. ISBN 0-471-31716-0. OCLC  39849337.