Dilatación del tiempo gravitacional

Dilatación del tiempo debido a la gravitación

La dilatación gravitacional del tiempo es una forma de dilatación del tiempo , una diferencia real del tiempo transcurrido entre dos eventos , medida por observadores situados a diferentes distancias de una masa gravitatoria . Cuanto menor sea el potencial gravitatorio (cuanto más cerca esté el reloj de la fuente de gravitación), más lento pasa el tiempo, acelerándose a medida que aumenta el potencial gravitatorio (el reloj se aleja de la fuente de gravitación). Albert Einstein predijo esto originalmente en su teoría de la relatividad , y desde entonces ha sido confirmado por pruebas de relatividad general . ^[1]

Este efecto se ha demostrado al observar que los relojes atómicos a diferentes altitudes (y, por lo tanto, con diferente potencial gravitatorio) eventualmente mostrarán tiempos diferentes. Los efectos detectados en tales experimentos en la Tierra son extremadamente pequeños, y las diferencias se miden en nanosegundos . En relación con la edad de la Tierra en miles de millones de años, el núcleo de la Tierra es en realidad 2,5 años más joven que su superficie. ^[2] Demostrar efectos mayores requeriría mediciones a mayores distancias de la Tierra, o una fuente gravitatoria más grande.

La dilatación gravitacional del tiempo fue descrita por primera vez por Albert Einstein en 1907 ^[3] como una consecuencia de la relatividad especial en marcos de referencia acelerados. En la relatividad general , se considera que es una diferencia en el paso del tiempo propio en diferentes posiciones, tal como lo describe un tensor métrico del espacio-tiempo. La existencia de la dilatación gravitacional del tiempo fue confirmada directamente por primera vez por el experimento de Pound-Rebka en 1959, y luego refinada por Gravity Probe A y otros experimentos.

La dilatación del tiempo gravitacional está estrechamente relacionada con el corrimiento al rojo gravitacional , ^[4] en el que cuanto más cerca está un cuerpo que emite luz de frecuencia constante de un cuerpo gravitacional, más se ralentiza su tiempo por la dilatación del tiempo gravitacional y más baja (más "corrida al rojo") parecería ser la frecuencia de la luz emitida, medida por un observador fijo.

Definición

Los relojes que están lejos de cuerpos masivos (o con potenciales gravitacionales más altos) funcionan más rápido, y los relojes cercanos a cuerpos masivos (o con potenciales gravitacionales más bajos) funcionan más lentamente. Por ejemplo, considerando el lapso de tiempo total de la Tierra (4.600 millones de años), un reloj ajustado en una posición geoestacionaria a una altitud de 9.000 metros sobre el nivel del mar, como quizás en la cima del Monte Everest ( prominencia 8.848  m), estaría aproximadamente 39 horas adelantado con respecto a un reloj ajustado al nivel del mar. ^{[5] [6]} Esto se debe a que la dilatación del tiempo gravitacional se manifiesta en marcos de referencia acelerados o, en virtud del principio de equivalencia , en el campo gravitacional de objetos masivos. ^[7]

Según la relatividad general, la masa inercial y la masa gravitacional son la misma, y ​​todos los marcos de referencia acelerados (como un marco de referencia que gira uniformemente con su dilatación temporal adecuada) son físicamente equivalentes a un campo gravitacional de la misma intensidad. ^[8]

Consideremos una familia de observadores a lo largo de una línea recta "vertical", cada uno de los cuales experimenta una fuerza g constante distinta dirigida a lo largo de esta línea (por ejemplo, una nave espacial larga en aceleración, ^{[9] [10]} un rascacielos, un eje en un planeta). Sea la dependencia de la fuerza g de la "altura", una coordenada a lo largo de la línea antes mencionada. La ecuación con respecto a un observador base en es ${\displaystyle g(h)}$ ${\displaystyle h=0}$

${\displaystyle T_{d}(h)=\exp \left[{\frac {1}{c^{2}}}\int _{0}^{h}g(h')dh'\right]}$

donde es la dilatación total del tiempo en una posición distante , es la dependencia de la fuerza g en la "altura" , es la velocidad de la luz y denota exponenciación por e . ${\displaystyle T_{d}(h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g(h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \exp }$

Para simplificar, en una familia de observadores de Rindler en un espacio-tiempo plano , la dependencia sería

${\displaystyle g(h)=c^{2}/(H+h)}$

con constante , lo que produce ${\displaystyle H}$

${\displaystyle T_{d}(h)=e^{\ln(H+h)-\ln H}={\tfrac {H+h}{H}}}$.

Por otro lado, cuando es casi constante y es mucho menor que , también se puede utilizar la aproximación lineal de "campo débil" . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gh}$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle T_{d}=1+gh/c^{2}}$

Véase la paradoja de Ehrenfest para la aplicación de la misma fórmula a un marco de referencia giratorio en el espacio-tiempo plano.

Fuera de una esfera no giratoria

Una ecuación común utilizada para determinar la dilatación del tiempo gravitacional se deriva de la métrica de Schwarzschild , que describe el espacio-tiempo en la vecindad de un objeto masivo , simétrico y esférico, que no gira . La ecuación es

${\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {v_{e}^{2}}{c^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-\beta _{e}^{2}}}<t_{f}}$

dónde

• ${\displaystyle t_{0}}$es el tiempo apropiado entre dos eventos para un observador cercano a la esfera masiva, es decir, en lo profundo del campo gravitacional
• ${\displaystyle t_{f}}$es el tiempo de coordenadas entre los eventos para un observador a una distancia arbitrariamente grande del objeto masivo (esto supone que el observador lejano está usando coordenadas de Schwarzschild , un sistema de coordenadas donde un reloj a una distancia infinita de la esfera masiva marcaría un segundo por segundo de tiempo de coordenadas, mientras que los relojes más cercanos marcarían a una velocidad menor que esa),
• ${\displaystyle G}$es la constante gravitacional ,
• ${\displaystyle M}$es la masa del objeto que crea el campo gravitacional,
• ${\displaystyle r}$es la coordenada radial del observador dentro del campo gravitacional (esta coordenada es análoga a la distancia clásica desde el centro del objeto, pero en realidad es una coordenada de Schwarzschild; la ecuación en esta forma tiene soluciones reales para ), ${\displaystyle r>r_{\rm {s}}}$
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz ,
• ${\displaystyle r_{\rm {s}}=2GM/c^{2}}$es el radio de Schwarzschild de , ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$es la velocidad de escape, y
• ${\displaystyle \beta _{e}=v_{e}/c}$es la velocidad de escape, expresada como una fracción de la velocidad de la luz c.

Para ilustrarlo, sin tener en cuenta los efectos de la rotación, la proximidad al pozo gravitatorio de la Tierra hará que un reloj en la superficie del planeta acumule alrededor de 0,0219 segundos menos en un período de un año que el reloj de un observador distante. En comparación, un reloj en la superficie del Sol acumulará alrededor de 66,4 segundos menos en un año.

Órbitas circulares

En la métrica de Schwarzschild, los objetos en caída libre pueden estar en órbitas circulares si el radio orbital es mayor que (el radio de la esfera de fotones ). La fórmula para un reloj en reposo se da arriba; la fórmula a continuación da la dilatación del tiempo relativista general para un reloj en una órbita circular: ^{[11] [12]} ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}r_{s}}$

${\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {3}{2}}\!\cdot \!{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\,.}$

Ambas dilataciones se muestran en la figura siguiente.

Características importantes de la dilatación del tiempo gravitacional

• Según la teoría general de la relatividad , la dilatación del tiempo gravitacional está copresente con la existencia de un sistema de referencia acelerado . Además, todos los fenómenos físicos en circunstancias similares experimentan la dilatación del tiempo por igual según el principio de equivalencia utilizado en la teoría general de la relatividad .
• La velocidad de la luz en un lugar es siempre igual a c según el observador que se encuentre allí. Es decir, a cada región infinitesimal del espacio-tiempo se le puede asignar su propio tiempo propio, y la velocidad de la luz según el tiempo propio en esa región es siempre c . Esto es así independientemente de que una región dada esté ocupada por un observador o no. Se puede medir un retraso temporal para los fotones que se emiten desde la Tierra, se desvían cerca del Sol, viajan a Venus y luego regresan a la Tierra siguiendo un camino similar. Aquí no hay violación de la constancia de la velocidad de la luz, ya que cualquier observador que observe la velocidad de los fotones en su región encontrará que la velocidad de esos fotones es c , mientras que la velocidad a la que observamos que la luz viaja distancias finitas en las proximidades del Sol será diferente de c .
• Si un observador es capaz de seguir la luz en un lugar remoto y distante que intercepta a un observador remoto dilatado en el tiempo más cercano a un cuerpo más masivo, ese primer observador sigue que tanto la luz remota como ese observador dilatado en el tiempo remoto tienen un reloj de tiempo más lento que otra luz que llega al primer observador en c , como toda otra luz que el primer observador realmente puede observar (en su propia ubicación). Si la otra luz remota finalmente intercepta al primer observador, también será medida en c por el primer observador.
• La dilatación del tiempo gravitacional en un pozo gravitacional es igual a la dilatación del tiempo de velocidad para una velocidad que se necesita para escapar de ese pozo gravitacional (dado que la métrica tiene la forma , es decir, es invariante en el tiempo y no hay términos de "movimiento" ). Para demostrarlo, se puede aplicar el teorema de Noether a un cuerpo que cae libremente en el pozo desde el infinito. Entonces, la invariancia temporal de la métrica implica la conservación de la cantidad , donde es el componente temporal de la 4-velocidad del cuerpo. En el infinito , entonces , o, en coordenadas ajustadas a la dilatación del tiempo local, ; es decir, la dilatación del tiempo debido a la velocidad adquirida (medida en la posición del cuerpo que cae) es igual a la dilatación del tiempo gravitacional en el pozo en el que cayó el cuerpo. Aplicando este argumento de forma más general, se obtiene que (bajo las mismas suposiciones sobre la métrica) la dilatación del tiempo gravitacional relativa entre dos puntos es igual a la dilatación del tiempo debido a la velocidad necesaria para subir desde el punto más bajo al más alto. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g=(dt/T(x))^{2}-g_{space}}$ ${\displaystyle dxdt}$ ${\displaystyle g(v,dt)=v^{0}/T^{2}}$ ${\displaystyle v^{0}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle g(v,dt)=1}$ ${\displaystyle v^{0}=T^{2}}$ ${\displaystyle v_{loc}^{0}=T}$

Confirmación experimental

Los relojes de los satélites se ralentizan debido a su velocidad orbital, pero se aceleran debido a su distancia respecto del pozo gravitacional de la Tierra.

La dilatación del tiempo gravitacional se ha medido experimentalmente utilizando relojes atómicos en aviones, como en el experimento de Hafele-Keating . Los relojes a bordo de los aviones eran ligeramente más rápidos que los relojes en tierra. El efecto es lo suficientemente significativo como para que los satélites artificiales del Sistema de Posicionamiento Global necesiten corregir sus relojes. ^[13]

Además, se han verificado experimentalmente en el laboratorio dilataciones del tiempo debidas a diferencias de altura de menos de un metro. ^[14]

La dilatación del tiempo gravitacional en forma de corrimiento al rojo gravitacional también ha sido confirmada por el experimento de Pound-Rebka y las observaciones de los espectros de la enana blanca Sirio B.

La dilatación del tiempo gravitacional se ha medido en experimentos con señales de tiempo enviadas hacia y desde el módulo de aterrizaje marciano Viking 1. ^{[15] [16]}

Véase también

• Hipótesis del reloj
• Desplazamiento al rojo gravitacional
• Experimento de Hafele-Keating
• Dilatación del tiempo por velocidad relativa
• Paradoja de los gemelos
• Tiempo de coordenadas baricéntricas

Referencias

1. Einstein, A. (febrero de 2004). Relatividad: teoría especial y general de Albert Einstein. Proyecto Gutenberg .
2. Uggerhøj, UI; Mikkelsen, RE; Faye, J (2016). "El joven centro de la Tierra". Revista Europea de Física . 37 (3): 035602. arXiv : 1604.05507 . Código Bibliográfico :2016EJPh...37c5602U. doi :10.1088/0143-0807/37/3/035602. S2CID  118454696.
3. A. Einstein, "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 4, 411–462 (1907); traducción al inglés, en "Sobre el principio de la relatividad y las conclusiones extraídas de él", en "The Collected Papers", v.2, 433–484 (1989); también en HM Schwartz, "Ensayo completo de Einstein sobre la relatividad de 1907, parte I", American Journal of Physics vol.45, no.6 (1977) págs.512–517; Parte II en American Journal of Physics vol.45 no.9 (1977), págs.811–817; Parte III en American Journal of Physics vol.45 no.10 (1977), pp.899–902, véanse las partes I, II y III Archivado el 28 de noviembre de 2020 en Wayback Machine .
4. Cheng, TP (2010). Relatividad, gravitación y cosmología: una introducción básica. Oxford Master Series in Physics. OUP Oxford. pág. 72. ISBN 978-0-19-957363-9. Consultado el 7 de noviembre de 2022 .
5. Hassani, Sadri (2011). De los átomos a las galaxias: un enfoque de la física conceptual para la conciencia científica. CRC Press. p. 433. ISBN 978-1-4398-0850-4.Extracto de la página 433
6. Topper, David (2012). Cómo Einstein creó la relatividad a partir de la física y la astronomía (edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pág. 118. ISBN 978-1-4614-4781-8.Extracto de la página 118
7. John A. Auping, Actas de la Conferencia Internacional sobre Dos Modelos Cosmológicos, Plaza y Valdes, ISBN 9786074025309 
8. Johan F Prins, Sobre la no simultaneidad de Einstein, la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo
9. Kogut, John B. (2012). Introducción a la relatividad: para físicos y astrónomos (edición ilustrada). Academic Press. pág. 112. ISBN 978-0-08-092408-3.
10. Bennett, Jeffrey (2014). ¿Qué es la relatividad?: Una introducción intuitiva a las ideas de Einstein y por qué son importantes (edición ilustrada). Columbia University Press. pág. 120. ISBN 978-0-231-53703-2.Extracto de la página 120
11. Keeton, Keeton (2014). Principios de astrofísica: uso de la gravedad y la física estelar para explorar el cosmos (edición ilustrada). Springer. pág. 208. ISBN 978-1-4614-9236-8.Extracto de la página 208
12. Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (2000). Explorando agujeros negros . Addison Wesley Longman. pág. 8-22. ISBN 978-0-201-38423-9.
13. Richard Wolfson (2003). Simplemente Einstein. WW Norton & Co., pág. 216. ISBN 978-0-393-05154-4.
14. CW Chou, DB Hume, T. Rosenband, DJ Wineland (24 de septiembre de 2010), "Relojes ópticos y relatividad", Science , 329(5999): 1630–1633; [1]
15. Shapiro, II; Reasenberg, RD (30 de septiembre de 1977). "The Viking Relativity Experiment". Revista de investigación geofísica . 82 (28). AGU: 4329–4334. Código Bibliográfico :1977JGR....82.4329S. doi :10.1029/JS082i028p04329 . Consultado el 6 de febrero de 2021 .
16. Thornton, Stephen T.; Rex, Andrew (2006). Física moderna para científicos e ingenieros (3.ª edición ilustrada). Thomson, Brooks/Cole. pág. 552. ISBN 978-0-534-41781-9.

Lectura adicional

• Grøn, Øyvind; Næss, Arne (2011). La teoría de Einstein: una introducción rigurosa para quienes no tienen formación en matemáticas. Saltador. ISBN 9781461407058.