Giro (geometría diferencial)

Término de geometría diferencial

En geometría diferencial , la torsión de una cinta es su tasa de rotación axial . Sea una cinta compuesta por una curva espacial , , donde es la longitud del arco de , y un vector normal unitario , perpendicular en cada punto a . Como la cinta tiene aristas y , la torsión (o número total de torsión ) mide el enrollamiento promedio de la curva de aristas alrededor y a lo largo de la curva axial . Según Love (1944), la torsión se define por ${\displaystyle (X,U)}$ ${\displaystyle X=X(s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=U(s)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,U)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'=X+\varepsilon U}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \left(U\times {\dfrac {dU}{ds}}\right)\cdot {\dfrac {dX}{ds}}ds\;,}$

donde es el vector tangente unitario a . El número total de torsión se puede descomponer (Moffatt y Ricca 1992) en torsión total normalizada y torsión intrínseca como ${\displaystyle dX/ds}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle T\in [0,1)}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \tau \;ds+{\dfrac {\left[\Theta \right]_{X}}{2\pi }}=T+N\;,}$

donde es la torsión de la curva espacial , y denota el ángulo de rotación total de a lo largo de . Ni ni son independientes del campo de cinta . En cambio, solo la torsión normalizada es un invariante de la curva (Banchoff y White 1975). ${\displaystyle \tau =\tau (s)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left[\Theta \right]_{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

Cuando la cinta se deforma de modo que pasa por un estado de inflexión (es decir, tiene un punto de inflexión ), la torsión se vuelve singular. La torsión total salta por y el ángulo total simultáneamente hace un salto igual y opuesto de (Moffatt y Ricca 1992) y permanece continuo. Este comportamiento tiene muchas consecuencias importantes para las consideraciones energéticas en muchos campos de la ciencia (Ricca 1997, 2005; Goriely 2006). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mp 1}$ ${\displaystyle Tw}$

Junto con la torsión de , la torsión es una cantidad geométrica que juega un papel importante en la aplicación de la fórmula de Călugăreanu–White–Fuller en la dinámica de fluidos topológica (por su estrecha relación con la helicidad cinética y magnética de un campo vectorial), la teoría de nudos físicos y el análisis de complejidad estructural . ${\displaystyle Wr}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Lk=Wr+Tw}$

Referencias

• Banchoff, TF y White, JH (1975) El comportamiento del número total de torsión y autoenlace de una curva espacial cerrada bajo inversiones. Math. Scand. 36 , 254–262.
• Goriely, A. (2006) Anillos elásticos retorcidos y los redescubrimientos de la inestabilidad de Michell. J Elasticity 84 , 281-299.
• Love, AEH (1944) Tratado sobre la teoría matemática de la elasticidad. Dover, 4.ª ed., Nueva York.
• Moffatt, HK y Ricca, RL (1992) Helicidad e invariante de Calugareanu. Proc. R. Soc. London A 439 , 411-429. También en: (1995) Knots and Applications (ed. LH Kauffman), págs. 251-269. World Scientific.
• Ricca, RL (1997) Evolución e inestabilidad inflexional de tubos de flujo magnético torcidos. Solar Physics 172 , 241-248.
• Ricca, RL (2005) Desequilibrio inflexional de tubos de flujo magnético. Fluid Dynamics Research 36 , 319-332.