Topología coherente

Topología determinada por la familia de subespacios

En topología , una topología coherente es una topología que está determinada únicamente por una familia de subespacios . En términos generales, un espacio topológico es coherente con una familia de subespacios si es una unión topológica de esos subespacios. A veces también se la denomina topología débil generada por la familia de subespacios, una noción que es bastante diferente de la noción de una topología débil generada por un conjunto de funciones. ^[1]

Definición

Sea un espacio topológico y sea una familia de subconjuntos de cada uno con su topología de subespacio inducida. (Normalmente será una cubierta de ). Entonces se dice que es coherente con (o está determinado por ) ^[2] si la topología de se recupera como la que proviene de la topología final coinducida por los mapas de inclusión. Por definición, esta es la topología más fina en (el conjunto subyacente de) para el cual los mapas de inclusión son continuos . es coherente con si se cumple cualquiera de las dos condiciones equivalentes siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\left\{C_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle i_{\alpha }:C_{\alpha }\to X\qquad \alpha \in A.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

• Un subconjunto está abierto en si y sólo si está abierto en para cada ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap C_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A.}$
• Un subconjunto está cerrado en si y sólo si está cerrado en para cada ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap C_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A.}$

Dado un espacio topológico y cualquier familia de subespacios, existe una topología única en (el conjunto subyacente de) que es coherente con Esta topología será, en general, más fina que la topología dada en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

• Un espacio topológico es coherente con toda cubierta abierta de De manera más general, es coherente con cualquier familia de subconjuntos cuyos interiores cubran Como ejemplos de esto, un espacio localmente compacto débil es coherente con la familia de sus subespacios compactos . Y un espacio localmente conexo es coherente con la familia de sus subconjuntos conexos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Un espacio topológico es coherente con cada cubierta cerrada localmente finita de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Un espacio discreto es coherente con toda familia de subespacios (incluida la familia vacía ).
• Un espacio topológico es coherente con una partición si y sólo es homeomorfo a la unión disjunta de los elementos de la partición. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Los espacios finitamente generados son aquellos determinados por la familia de todos los subespacios finitos .
• Los espacios generados de forma compacta (en el sentido de la Definición 1 de dicho artículo) son aquellos determinados por la familia de todos los subespacios compactos .
• Un complejo CW es coherente con su familia de -esqueletos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{n}.}$

Unión topológica

Sea una familia de espacios topológicos (no necesariamente disjuntos ) tales que las topologías inducidas concuerdan en cada intersección. Supongamos además que es cerrado en para cada Entonces la unión topológica es la unión de teoría de conjuntos dotada con la topología final coinducida por los mapas de inclusión . Los mapas de inclusión serán entonces incrustaciones topológicas y serán coherentes con los subespacios. ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\cap X_{\beta }.}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\cap X_{\beta }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A.}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{set}=\bigcup _{\alpha \in A}X_{\alpha }}$$ ${\displaystyle i_{\alpha }:X_{\alpha }\to X^{set}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}.}$

Por el contrario, si es un espacio topológico y es coherente con una familia de subespacios que lo cubren entonces es homeomorfo a la unión topológica de la familia. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}.}$

Se puede formar la unión topológica de una familia arbitraria de espacios topológicos como se indicó anteriormente, pero si las topologías no concuerdan en las intersecciones, entonces las inclusiones no necesariamente serán incrustaciones.

También se puede describir la unión topológica mediante la unión disjunta . En concreto, si es una unión topológica de la familia entonces es homeomorfa al cociente de la unión disjunta de la familia por la relación de equivalencia para todo ; es decir, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$ $${\displaystyle (x,\alpha )\sim (y,\beta )\Leftrightarrow x=y}$$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A.}$ $${\displaystyle X\cong \coprod _{\alpha \in A}X_{\alpha }/\sim .}$$

Si los espacios son todos disjuntos entonces la unión topológica es simplemente la unión disjunta. ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$

Supongamos ahora que el conjunto A está dirigido , de una manera compatible con la inclusión: siempre que . Entonces hay una función única de a que es de hecho un homeomorfismo. Aquí está el límite directo (inductivo) ( colímite ) de en la categoría Top . ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle X_{\alpha }\subset X_{\beta }}$ ${\displaystyle \varinjlim X_{\alpha }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varinjlim X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$

Propiedades

Sea coherente con una familia de subespacios Una función de un espacio topológico es continua si y solo si las restricciones son continuas para cada Esta propiedad universal caracteriza a las topologías coherentes en el sentido de que un espacio es coherente con si y solo si esta propiedad se cumple para todos los espacios y todas las funciones. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle f{\big \vert }_{C_{\alpha }}:C_{\alpha }\to Y\,}$$ ${\displaystyle \alpha \in A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

Sea determinado por una cubierta Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{C_{\alpha }\}.}$

• Si es un refinamiento de una cubierta , entonces se determina por En particular, si es una subcubierta de se determina por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$
• Si es un refinamiento de y cada uno está determinado por la familia de todos los contenidos en entonces está determinado por ${\displaystyle D=\{D_{\beta }\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle D_{\beta }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$
• Sea un subespacio abierto o cerrado de o más generalmente un subconjunto localmente cerrado de Entonces se determina por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{Y\cap C_{\alpha }\right\}.}$
• Sea una función cociente . Entonces se determina por ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{f(C_{\alpha })\right\}.}$

Sea una función sobreyectiva y supongamos que está determinada por Para cada sea la restricción de a Entonces ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{D_{\alpha }:\alpha \in A\right\}.}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\textstyle f_{\alpha }:f^{-1}(D_{\alpha })\to D_{\alpha }\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(D_{\alpha }).}$

• Si es continua y cada una es una aplicación cociente, entonces es una aplicación cociente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle f}$es un mapa cerrado (resp. mapa abierto ) si y sólo si cada uno es cerrado (resp. abierto). ${\displaystyle f_{\alpha }}$

Dado un espacio topológico y una familia de subespacios existe una topología única en que es coherente con La topología es más fina que la topología original y estrictamente más fina si no era coherente con Pero las topologías y inducen la misma topología de subespacio en cada uno de los en la familia Y la topología siempre es coherente con ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle C=\{C_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle C.}$

Como ejemplo de esta última construcción, si es la colección de todos los subespacios compactos de un espacio topológico la topología resultante define la k-ificación de los espacios y tienen los mismos conjuntos compactos, con las mismas topologías de subespacios inducidas sobre ellos. Y la k-ificación se genera de forma compacta. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle kX}$

Véase también

• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas

Notas

1. Willard, pág. 69
2. también se dice que tiene la topología débil generada por Este es un nombre potencialmente confuso ya que los adjetivos débil y fuerte se utilizan con significados opuestos por diferentes autores. En el uso moderno, el término topología débil es sinónimo de topología inicial y topología fuerte es sinónimo de topología final . Es la topología final la que se está discutiendo aquí. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

Referencias

• Tanaka, Yoshio (2004). "Espacios de cocientes y descomposiciones". En KP Hart; J. Nagata; JE Vaughan (eds.). Enciclopedia de topología general . Ámsterdam: Elsevier Science. págs. 43–46. ISBN 0-444-50355-2.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6. (Edición Dover).