Geometría topológica

La geometría topológica se ocupa de estructuras de incidencia que consisten en un conjunto de puntos y una familia de subconjuntos de líneas o círculos, etc., de modo que tanto y tengan una topología y todas las operaciones geométricas, como unir puntos mediante una línea o intersectar líneas, sean continuas. Como en el caso de los grupos topológicos , muchos resultados más profundos requieren que el espacio de puntos sea (localmente) compacto y conectado. Esto generaliza la observación de que la línea que une dos puntos distintos en el plano euclidiano depende continuamente del par de puntos y el punto de intersección de dos líneas es una función continua de estas líneas. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

Geometrías lineales

Las geometrías lineales son estructuras de incidencia en las que dos puntos y dos están unidos por una única línea . Dichas geometrías se denominan topológicas si dependen continuamente del par con respecto a las topologías dadas en el conjunto de puntos y el conjunto de líneas. El dual de una geometría lineal se obtiene intercambiando los papeles de puntos y líneas. En el Capítulo 23 del Manual de geometría de incidencia se ofrece un estudio de las geometrías topológicas lineales . ^[1] Las geometrías lineales topológicas más ampliamente investigadas son aquellas que también son geometrías lineales topológicas duales. Dichas geometrías se conocen como planos proyectivos topológicos . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Historia

Un estudio sistemático de estos planos comenzó en 1954 con un artículo de Skornyakov. ^[2] Anteriormente, las propiedades topológicas del plano real se habían introducido a través de relaciones de ordenamiento en las líneas afines, véase, por ejemplo, Hilbert , ^[3] Coxeter , ^[4] y O. Wyler. ^[5] La completitud del ordenamiento es equivalente a la compacidad local e implica que las líneas afines son homeomorfas a y que el espacio de puntos está conexo . Nótese que los números racionales no son suficientes para describir nuestras nociones intuitivas de geometría plana y que es necesaria alguna extensión del campo racional. De hecho, la ecuación para un círculo no tiene solución racional. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=3}$

Planos proyectivos topológicos

La aproximación a las propiedades topológicas de los planos proyectivos mediante relaciones de ordenación no es posible, sin embargo, para los planos coordinados por los números complejos , los cuaterniones o el álgebra de octoniones . ^[6] Los espacios de puntos así como los espacios de líneas de estos planos clásicos (sobre los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones) son variedades compactas de dimensión . ${\displaystyle 2^{m},\,1\leq m\leq 4}$

Dimensión topológica

La noción de dimensión de un espacio topológico desempeña un papel destacado en el estudio de la topología, en particular de los planos compactos conexos. Para un espacio normal , la dimensión puede caracterizarse de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X}$

Si denota la -esfera, entonces si, y sólo si, para cada subespacio cerrado cada mapa continuo tiene una extensión continua . ${\displaystyle \mathbb {S} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \dim X\leq n}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {S} _{n}}$ ${\displaystyle \psi :X\to \mathbb {S} _{n}}$

Para obtener más detalles y otras definiciones de una dimensión, consulte ^[7] y las referencias allí citadas, en particular Engelking ^[8] o Fedorchuk. ^[9]

planos bidimensionales

Las líneas de un plano topológico compacto con un espacio de puntos bidimensional forman una familia de curvas homeomorfas a un círculo, y este hecho caracteriza a estos planos entre los planos proyectivos topológicos. ^[10] De manera equivalente, el espacio de puntos es una superficie . Hilbert ^{[3] [11]} y Moulton han dado ejemplos tempranos no isomorfos al plano real clásico . ^[12] Las propiedades de continuidad de estos ejemplos no se han considerado explícitamente en ese momento, es posible que se hayan dado por sentado. La construcción de Hilbert se puede modificar para obtener innumerables planos compactos -dimensionales no isomorfos por pares. La forma tradicional de distinguirlos de los otros planos -dimensionales es mediante la validez del teorema de Desargues o el teorema de Pappos (véase, por ejemplo, Pickert ^[13] para una discusión de estos dos teoremas de configuración). Se sabe que este último implica al primero ( Hessenberg ^[14] ). El teorema de Desargues expresa una especie de homogeneidad del plano. En general, se cumple en un plano proyectivo si, y sólo si, el plano puede ser coordinado por un cuerpo (no necesariamente conmutativo), ^{[3] [15] [13]} por lo que implica que el grupo de automorfismos es transitivo en el conjunto de cuadrángulos ( cuyos puntos núm. son colineales). En el presente contexto, una condición de homogeneidad mucho más débil caracteriza : ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Teorema. Si el grupo de automorfismos de un plano compacto de dimensión - es transitivo en el conjunto de puntos (o en el conjunto de líneas), entonces tiene un subgrupo compacto que es transitivo incluso en el conjunto de banderas ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Phi }$ (=pares de puntos-líneas incidentes), y es clásico ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ . ^[10]

El grupo de automorfismos de un plano compacto de dimensión , tomado con la topología de convergencia uniforme en el espacio puntual, es un grupo localmente compacto de dimensión como máximo , de hecho incluso un grupo de Lie . Todos los planos de dimensión , tales que pueden describirse explícitamente; ^[10] aquellos con son exactamente los planos de Moulton, el plano clásico es el único plano de dimensión ; véase también. ^[16] ${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \dim \Sigma \geq 3}$ ${\displaystyle \dim \Sigma =4}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \dim \Sigma >4}$

Aviones compactos conectados

Los resultados obtenidos en planos de dimensión α se han extendido a planos compactos de dimensión α . Esto es posible gracias al siguiente teorema básico: ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle >2}$

Topología de planos compactos. Si la dimensión del espacio puntual de un plano proyectivo compacto conexo es finita, entonces con . Además, cada línea es una esfera de homotopía de dimensión ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \dim P=2^{m}}$ ${\displaystyle m\in \{1,2,3,4\}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$ , véase ^[17] o. ^[18]

Los aspectos especiales de los planos de 4 dimensiones se tratan en ^[19] , y los resultados más recientes se pueden encontrar en ^[20] . Las líneas de un plano compacto de - dimensión son homeomorfas a la -esfera; ^[21] en los casos no se sabe que las líneas sean variedades, pero en todos los ejemplos que se han encontrado hasta ahora las líneas son esferas. Se dice que un subplano de un plano proyectivo es un subplano de Baer , ^​​[22] si cada punto de es incidente con una línea de y cada línea de contiene un punto de . Un subplano cerrado es un subplano de Baer de un plano compacto conexo si, y solo si, el espacio de puntos de y una línea de tienen la misma dimensión. Por lo tanto, las líneas de un plano de 8 dimensiones son homeomorfas a una esfera si tiene un subplano de Baer cerrado. ^[23] ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle m>2}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Planos homogéneos. Si es un plano proyectivo compacto conexo y si es transitivo en el conjunto de puntos de , entonces tiene un subgrupo compacto transitivo de bandera y es clásico ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ , véase ^[24] o. ^[25] De hecho, es un grupo de movimiento elíptico. ^[26] ${\displaystyle \Phi }$

Sea un plano compacto de dimensión , y escriba . Si , entonces es clásico, ^[27] y es un grupo de Lie simple de dimensión respectivamente. Todos los planos con se conocen explícitamente. ^[28] Los planos con son exactamente los cierres proyectivos de los planos afines coordinados por una llamada mutación del álgebra de octoniones , donde la nueva multiplicación se define de la siguiente manera: elija un número real con y ponga . Se han descubierto sistemáticamente vastas familias de planos con un grupo de gran dimensión a partir de suposiciones sobre sus grupos de automorfismos, véase, por ejemplo, ^{[20] [29] [30] [31] [32]} Muchos de ellos son cierres proyectivos de planos de traslación (planos afines que admiten un grupo transitivo agudo de automorfismos que asignan cada línea a una paralela), cf.; ^[33] véase también ^[34] para resultados más recientes en el caso y ^[30] para . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle 2^{m},\;m=2,3,4}$ ${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \dim \Sigma >8,18,40}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle 16,35,78}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \dim \Sigma =8,18,40}$ ${\displaystyle \dim \Sigma =40}$ ${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\circ )}$ ${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\ \,)}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1/2<t\neq 1}$ ${\displaystyle a\circ b=t\cdot ab+(1-t)\cdot ba}$ ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle m=4}$

Espacios proyectivos compactos

Los subplanos de espacios proyectivos de dimensión geométrica al menos 3 son necesariamente desarguesianos, ver ^[35] §1 o ^[4] §16 o. ^[36] Por lo tanto, todos los espacios proyectivos compactos conexos pueden ser coordinados por los números reales o complejos o por el cuerpo de cuaterniones. ^[37]

Planos estables

El plano hiperbólico no euclidiano clásico se puede representar mediante las intersecciones de las líneas rectas en el plano real con un disco circular abierto. En términos más generales, las partes abiertas (convexas) de los planos afines clásicos son planos estables típicos. Se puede encontrar un estudio de estas geometrías en ^[38] ; para el caso de dimensión 3, véase también ^{[39] .} ${\displaystyle 2}$

Precisamente, un plano estable es una geometría lineal topológica tal que ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle (P,{\mathfrak {L}})}$

1. ${\displaystyle P}$es un espacio localmente compacto de dimensión finita positiva,
2. cada línea es un subconjunto cerrado de , y es un espacio de Hausdorff, ${\displaystyle L\in {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$
3. el conjunto es un subespacio abierto ( estabilidad ), ${\displaystyle \{(K,L)\mid K\neq L,\;K\cap L\neq \emptyset \}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subset {\mathfrak {L}}^{2}}$
4. El mapa es continuo. ${\displaystyle (K,L)\mapsto K\cap L:{\mathfrak {O}}\to P}$

Téngase en cuenta que la estabilidad excluye geometrías como el espacio afín -dimensional sobre o . ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Un plano estable es un plano proyectivo si, y sólo si, es compacto. ^[40] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle P}$

Al igual que en el caso de los planos proyectivos, los lápices de líneas son compactos y homotópicamente equivalentes a una esfera de dimensión , y con , véase ^[17] o. ^[41] Además, el espacio de puntos es localmente contráctil. ^{[17] [42]} ${\displaystyle 2^{m-1}}$ ${\displaystyle \dim P=2^{m}}$ ${\displaystyle m\in \{1,2,3,4\}}$ ${\displaystyle P}$

' Los grupos compactos de planos estables (propios) son bastante pequeños. Sea α un subgrupo compacto máximo del grupo de automorfismos del plano proyectivo clásico -dimensional . Entonces se cumple el siguiente teorema: Si un plano estable -dimensional admite un grupo compacto de automorfismos tales que , entonces , véase. ^[43] ${\displaystyle \Phi _{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{d}}$
${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \dim \Gamma >\dim \Phi _{d}-d}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\cong {\mathcal {P}}_{d}}$

Planos estables homogéneos en cuanto a banderas. Sea un plano estable. Si el grupo de automorfismos es transitivo en cuanto a banderas, entonces es un plano proyectivo o afín clásico, o es isomorfo al interior de la esfera absoluta de la polaridad hiperbólica de un plano clásico ${\displaystyle {\mathcal {S}}=(P,{\mathfrak {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ; véase. ^{[44] [45] [46]}

En contraste con el caso proyectivo, hay una abundancia de planos estables homogéneos puntuales, entre ellos vastas clases de planos de traslación, véase ^[33] y ^{[47] .}

Planos simétricos

Los planos de traducción afines tienen la siguiente propiedad:

• Existe un subgrupo cerrado transitivo puntual del grupo de automorfismos que contiene una reflexión única en algún punto y, por lo tanto, en cada punto. ${\displaystyle \Delta }$

De manera más general, un plano simétrico es un plano estable que satisface la condición antes mencionada; véase, ^[48] cf. ^[49] para un estudio de estas geometrías. Por ^[50] Corolario 5.5, el grupo es un grupo de Lie y el espacio puntual es una variedad. De ello se deduce que es un espacio simétrico . Por medio de la teoría de Lie de espacios simétricos, todos los planos simétricos con un conjunto de puntos de dimensión o han sido clasificados. ^{[48] [51]} Son planos de traslación o están determinados por una forma hermítica . Un ejemplo fácil es el plano hiperbólico real. ${\displaystyle {\mathcal {S}}=(P,{\mathfrak {L}})}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 4}$

Geometrías circulares

Los modelos clásicos ^[52] están dados por las secciones planas de una superficie cuadrática en el espacio proyectivo real ; si es una esfera, la geometría se llama plano de Möbius . ^[39] Las secciones planas de una superficie reglada (hiperboloide de una hoja) producen el plano de Minkowski clásico , cf. ^[53] para generalizaciones. Si es un cono elíptico sin su vértice, la geometría se llama plano de Laguerre . En conjunto, estos planos a veces se denominan planos de Benz . Un plano de Benz topológico es clásico, si cada punto tiene un vecindario que es isomorfo a alguna pieza abierta del plano de Benz clásico correspondiente . ^[54] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Planos de Möbius

Los planos de Möbius consisten en una familia de círculos, que son 1-esferas topológicas, sobre la -esfera de modo que para cada punto la estructura derivada es un plano topológico afín. ^[55] En particular, todos los puntos distintos están unidos por un único círculo. El espacio circular es entonces homeomorfo al espacio proyectivo real con un punto eliminado. ^[56] Una gran clase de ejemplos la dan las secciones planas de una superficie con forma de huevo en el espacio real. ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (S\setminus \{p\},\{C\setminus \{p\}\mid p\in C\in {\mathfrak {C}}\})}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3}$

Planos de Möbius homogéneos

Si el grupo de automorfismos de un plano de Möbius es transitivo en el conjunto de puntos o en el conjunto de círculos, o si , entonces es clásico y ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$ ${\displaystyle (S,{\mathfrak {C}})}$ ${\displaystyle \dim \Sigma =6}$ , véase. ^{[57] [58]}

A diferencia de los planos proyectivos compactos, no existen planos de Möbius topológicos con círculos de dimensión , en particular no existen planos de Möbius compactos con un espacio de puntos -dimensional. ^[59] Todos los planos de Möbius bidimensionales tales que pueden describirse explícitamente. ^{[60] [61]} ${\displaystyle >1}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \dim \Sigma \geq 3}$

Aviones de Laguerre

El modelo clásico de un plano de Laguerre consiste en una superficie cilíndrica circular en el espacio real como conjunto de puntos y las secciones planas compactas de como círculos. Los pares de puntos que no están unidos por un círculo se denominan paralelos . Sea una clase de puntos paralelos. Entonces es un plano , los círculos pueden representarse en este plano mediante parábolas de la forma . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C\setminus P}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

De manera análoga, el plano de Laguerre -dimensional clásico está relacionado con la geometría de polinomios cuadráticos complejos. En general, los axiomas de un plano de Laguerre conexo localmente compacto requieren que los planos derivados se incrusten en planos proyectivos compactos de dimensión finita. Un círculo que no pasa por el punto de derivación induce un óvalo en el plano proyectivo derivado. Por ^[62] o, ^[63] los círculos son homeomorfos a esferas de dimensión o . Por lo tanto, el espacio puntual de un plano de Laguerre conexo localmente compacto es homeomorfo al cilindro o es una variedad -dimensional, cf. ^[64] Una gran clase de ejemplos -dimensionales, llamados planos de Laguerre ovoidales, está dada por las secciones planas de un cilindro en el espacio tridimensional real cuya base es un óvalo en . ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

El grupo de automorfismos de un plano de Laguerre -dimensional ( ) es un grupo de Lie con respecto a la topología de convergencia uniforme sobre subconjuntos compactos del espacio de puntos; además, este grupo tiene dimensión como máximo . Todos los automorfismos de un plano de Laguerre que fijan cada clase paralela forman un subgrupo normal, el núcleo del grupo de automorfismos completo. Los planos de Laguerre -dimensionales con son exactamente los planos ovoidales sobre parábolas oblicuas propias. ^[65] Los planos de Laguerre -dimensionales clásicos son los únicos tales que , véase, ^[66] cf. también. ^[67] ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle d=1,2}$ ${\displaystyle 7d}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \dim \Sigma =5}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle \dim \Sigma >5d}$

Planos homogéneos de Laguerre

Si el grupo de automorfismos de un plano de Laguerre -dimensional es transitivo en el conjunto de clases paralelas, y si el núcleo es transitivo en el conjunto de círculos, entonces es clásico ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle T\triangleleft \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ , ver ^{[68] [67]} 2.1,2.

Sin embargo, la transitividad del grupo de automorfismos en el conjunto de círculos no es suficiente para caracterizar el modelo clásico entre los planos de Laguerre -dimensionales. ${\displaystyle 2d}$

Aviones Minkowski

El modelo clásico de un plano de Minkowski tiene al toro como espacio de puntos, los círculos son los gráficos de aplicaciones lineales fraccionarias reales en . Al igual que con los planos de Laguerre, el espacio de puntos de un plano de Minkowski conexo localmente compacto es - o -dimensional; el espacio de puntos es entonces homeomorfo a un toro o a , ver. ^[69] ${\displaystyle \mathbb {S} _{1}\times \mathbb {S} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{2}\times \mathbb {S} _{2}}$

Planos homogéneos de Minkowski

Si el grupo de automorfismos de un plano de dimensión de Minkowski es transitivo-banderado, entonces es clásico ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ . ^[70]

El grupo de automorfismos de un plano de Minkowski -dimensional es un grupo de Lie de dimensión como máximo . Todos los planos de Minkowski -dimensionales tales que pueden describirse explícitamente. ^[71] El plano de Minkowski -dimensional clásico es el único con , véase. ^[72] ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle 6d}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle \dim \Sigma >4d}$

Notas

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2. Skornyakov, LA (1954), "Planos proyectivos topológicos", Trudy Moskov. Mat. Obschtsch. , 3 : 347–373
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4. Coxeter, HSM (1993), El plano proyectivo real , Nueva York: Springer
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12. Moulton, FR (1902), "Una geometría plana simple no desarguesiana", Trans. Amer. Math. Soc. , 3 (2): 192–195, doi : 10.1090/s0002-9947-1902-1500595-3
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18. Salzmann y otros 1995, 54.11
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25. Salzmann y otros 1995, 63.8
26. Salzmann y otros 1995, 13.12
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Referencias

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