Producto tensor inyectivo

En matemáticas, el producto tensorial inyectivo de dos espacios vectoriales topológicos (TVS) fue introducido por Alexander Grothendieck y utilizado por él para definir espacios nucleares . Un producto tensor inyectivo en general no es necesariamente completo , por lo que su finalización se denomina productos tensoriales inyectivos completos . Los productos tensoriales inyectivos tienen aplicaciones fuera de los espacios nucleares. En particular, como se describe a continuación, hasta el isomorfismo TVS, muchos TVS que se definen para funciones valoradas reales o complejas, por ejemplo, el espacio de Schwartz o el espacio de funciones continuamente diferenciables, se pueden extender inmediatamente a funciones valoradas en un Hausdorff localmente. TVS convexo sin necesidad de ampliar definiciones (como "diferenciable en un punto") de funciones con valores reales/complejos a funciones con valores. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Preliminares y notación

En todo momento, sea y sea espacios vectoriales topológicos y sea un mapa lineal. ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$

• ${\displaystyle L:X\to Y}$es un homomorfismo topológico u homomorfismo , si es lineal, continuo y es un mapa abierto , donde tiene la topología subespacial inducida por ${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} L=L(X)}$ ${\displaystyle Y}$
  • Si es un subespacio de entonces tanto el mapa del cociente como la inyección canónica son homomorfismos. En particular, cualquier aplicación lineal se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: donde define una biyección. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X/S}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X/\ker L\mathbin {\overset {L_{0}}{\rightarrow }} \operatorname {Im} L\to Y}$ ${\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}$
• El conjunto de mapas lineales continuos (resp. mapas bilineales continuos ) se denotará por (resp. ), donde if es el campo escalar, entonces podemos escribir (resp. ). ${\displaystyle X\to Z}$ ${\displaystyle X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle L(X;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$
• El conjunto de aplicaciones bilineales continuas por separado (es decir, continuas en cada variable cuando la otra variable es fija) se denotará por dónde si es el campo escalar, entonces podemos escribir en su lugar ${\displaystyle X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y).}$
• Denotaremos el espacio dual continuo de by y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales, sean continuos o no) por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$
  • Para aumentar la claridad de la exposición, utilizamos la convención común de escribir elementos de con un número primo después del símbolo (por ejemplo, denota un elemento de y no, digamos, una derivada y las variables y no es necesario que estén relacionadas de ninguna manera). . ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$

Notación para topologías

• ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$denota la topología más burda al hacer que cada mapa sea continuo y /o denota dotado de esta topología . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$denota topología débil-* en y /o denota dotado de esta topología . ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
  • Tenga en cuenta que cada induce un mapa definido por es la topología más burda en X′, lo que hace que todos esos mapas sean continuos. ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
• ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$denota la topología de convergencia limitada en ${\displaystyle X}$ yo denota dotado de esta topología . ${\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$denota la topología de convergencia limitada en ${\displaystyle X^{\prime }}$ o la topología dual fuerte en ${\displaystyle X^{\prime }}$ y o denota dotado de esta topología . ${\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
  • Como es habitual, si se considera un espacio vectorial topológico pero no se ha dejado claro qué topología está dotada, entonces se asumirá que la topología es ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$
• ${\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right)}$denota la topología de Mackey o la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos equilibrados débilmente compactos de y o denota dotados de esta topología. es la topología TVS localmente convexa más fina en cuyo espacio dual continuo es igual a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• ${\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)}$denota la topología de Mackey o la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos equilibrados débilmente compactos de y o denota dotados de esta topología. ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}}$ ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
  • Tenga en cuenta que ^[1] ${\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)\subseteq b\left(X^{\prime },X\right)\subseteq \tau \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right).}$
• ${\displaystyle \varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}$denota la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle X^{\prime }}$ y o denota dotados de esta topología . ${\displaystyle X_{\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$
  • Si es un conjunto de aplicaciones lineales, entonces es equicontinuo si y sólo si es equicontinuo en el origen; es decir, si y sólo si para cada vecindad del origen existe una vecindad del origen tal que para cada ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda (U)\subseteq V}$ ${\displaystyle \lambda \in H.}$
• Un conjunto de aplicaciones lineales desde a se llama equicontinuo si para cada vecindad del origen en existe una vecindad del origen en tal que para todos ^[2] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h\in H.}$

Definición

A lo largo de let y be espacios vectoriales topológicos con espacios duales continuos y tenga en cuenta que casi todos los resultados descritos son independientes de si estos espacios vectoriales están sobre el campo , pero para simplificar la exposición asumiremos que están sobre el campo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Mapas bilineales continuos como producto tensorial.

A pesar de que el producto tensorial es una construcción puramente algebraica (su definición no implica ninguna topología), el espacio vectorial de funcionales bilineales continuos es siempre un producto tensorial de y (es decir, ) cuando se define de la manera ahora descrita. . ^[3] ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$

Para cada denotamos la forma bilineal definida por ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y,}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle X^{\prime }\times Y^{\prime }}$

$${\displaystyle (x\otimes y)\left(x^{\prime },y^{\prime }\right):=x^{\prime }(x)y^{\prime }(y).}$$

^[3] ${\displaystyle x\otimes y:X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y}$

$${\displaystyle \cdot \,\otimes \,\cdot \;:\;X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$$

${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=\operatorname {span} (X\otimes Y)}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Teorema  :  sean espacios vectoriales y sean un mapa bilineal. Entonces es un producto tensorial de y si y sólo si ^[4] la imagen de abarca todo de (es decir, ), y los vectores espacios y son -linealmente disjuntos , lo que por definición ^[5] significa que para todas las secuencias de elementos y de la misma longitud finita que satisface ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle (Z,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=\operatorname {span} T(X\times Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle 0=T\left(x_{1},y_{1}\right)+\cdots +T\left(x_{n},y_{n}\right),}$

1. si todos son linealmente independientes entonces todos lo son y ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0,}$
2. si todos son linealmente independientes entonces todos son ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 0.}$

De manera equivalente, ^[4] y son linealmente disjuntos si y solo si para todas las secuencias linealmente independientes en y todas las secuencias linealmente independientes en los vectores son linealmente independientes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}}$

Topología

De ahora en adelante, se supondrá que todos los espacios vectoriales topológicos considerados son localmente convexos. Si es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces ^[6] y para cualquier subconjunto equicontinuo y cualquier vecindad en definir ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)~\subseteq ~{\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle G\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle H\subseteq Y^{\prime },}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z,}$

$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)=\left\{b\in {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)~:~b(G,H)\subseteq N\right\}}$$

^[6],[7]y^[6] ${\displaystyle b(G\times H)}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

En el caso especial donde está el campo escalar subyacente, es el producto tensor , por lo que el espacio vectorial topológico se llama producto tensorial inyectivo de y y se denota por Este TVS no es necesariamente completo , por lo que se construirá su finalización , denotada por . Cuando todos los espacios son de Hausdorff, entonces está completo si y solo si ambos y están completos, ^[8] en cuyo caso la finalización de es un subespacio vectorial de Si y son espacios normados, entonces también lo es dónde está un espacio de Banach si y solo si esto es cierto para ambos y ^[9] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y.}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Conjuntos equicontinuos

Una razón para converger en subconjuntos equicontinuos (de todas las posibilidades) es el siguiente hecho importante:

Un conjunto de funcionales lineales continuos en un TVS ^{[nota 1]} es equicontinuo si y sólo si está contenido en el polar de alguna vecindad del origen en ; eso es, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq U^{\circ }.}$

La topología de un TVS está completamente determinada por las vecindades abiertas del origen. Este hecho, junto con el teorema bipolar, significa que mediante la operación de tomar la polar de un subconjunto, la colección de todos los subconjuntos equicontinuos de "codifica" toda la información sobre la topología dada. Específicamente, distintas topologías TVS localmente convexas producen distintas colecciones de subconjuntos equicontinuos y, a la inversa, dada cualquier colección de conjuntos equicontinuos, la topología original de TVS se puede recuperar tomando el polar de cada conjunto (equicontinuo) de la colección. Así, a través de esta identificación, la convergencia uniforme en la colección de subconjuntos equicontinuos es esencialmente una convergencia uniforme en la topología misma del TVS; esto permite relacionar directamente la topología inyectiva con las topologías dadas de y Además, la topología de un espacio de Hausdorff localmente convexo es idéntica a la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de ^[10] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Por esta razón, el artículo ahora enumera algunas propiedades de conjuntos equicontinuos que son relevantes para tratar con el producto tensorial inyectivo. A lo largo y son cualquier espacio localmente convexo y es una colección de mapas lineales desde dentro ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

• Si es equicontinuo entonces las topologías subespaciales que heredan de las siguientes topologías son idénticas: ^[11] ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
  1. la topología de la convergencia precompacta;
  2. la topología de la convergencia compacta;
  3. la topología de la convergencia puntual;
  4. la topología de la convergencia puntual en un subconjunto denso dado de ${\displaystyle X.}$
• Un conjunto equicontinuo está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en ). ^[11] Así, en particular, también será acotada en cada topología TVS que sea más burda que la topología de convergencia acotada. ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle H}$
• Si es un espacio en forma de barril y es localmente convexo, entonces para cualquier subconjunto lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y),}$
  1. ${\displaystyle H}$es equicontinuo;
  2. ${\displaystyle H}$está acotado en la topología de la convergencia puntual (es decir, acotado en ); ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
  3. ${\displaystyle H}$está acotado en la topología de la convergencia acotada (es decir, acotado en ). ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

En particular, para demostrar que un conjunto es equicontinuo basta demostrar que está acotado en la topología de convergencia puntual. ^[12] ${\displaystyle H}$

• Si es un espacio de Baire, entonces cualquier subconjunto acotado es necesariamente equicontinuo. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
• Si es separable , es metrizable y es un subconjunto denso de entonces la topología de convergencia puntual en hace metrizable de modo que, en particular, la topología subespacial de la que hereda cualquier subconjunto equicontinuo es metrizable. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

Para subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo (donde ahora está el campo escalar subyacente de ), se cumple lo siguiente: ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

• El cierre débil de un conjunto equicontinuo de funcionales lineales es un subespacio compacto de ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }.}$
• Si es separable , entonces cada subconjunto equicontinuo débilmente cerrado de es un espacio compacto metrizable cuando se le da la topología débil (es decir, la topología subespacial heredada de ). ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$
• Si es un espacio normal entonces un subconjunto es equicontinuo si y sólo si está fuertemente acotado (es decir, acotado en ). ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
• Si es un espacio en forma de barril , entonces para cualquier subconjunto lo siguiente es equivalente: ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq X^{\prime },}$
  1. ${\displaystyle H}$es equicontinuo;
  2. ${\displaystyle H}$es relativamente compacto en la topología dual débil;
  3. ${\displaystyle H}$está débilmente delimitado;
  4. ${\displaystyle H}$está fuertemente acotado.

Mencionamos algunas propiedades básicas importantes adicionales relevantes para el producto tensor inyectivo:

• Supongamos que es un mapa bilineal donde hay un espacio de Fréchet , es metrizable y localmente convexo. Si es continuo por separado, entonces es continuo. ^[13] ${\displaystyle B:X_{1}\times X_{2}\to Y}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$

Identificación canónica de mapas bilineales continuos por separado con mapas lineales

La igualdad establecida siempre se cumple; es decir, si es un mapa lineal, entonces es continuo si y sólo si es continuo, donde aquí tiene su topología original. ^[14] ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)=L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle u:X^{\prime }\to Y}$ ${\displaystyle u:X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle u:X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

También existe un isomorfismo canónico en el espacio vectorial ^[14]

$${\displaystyle J:{\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }\right)\to L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}\right).}$$

${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\times Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle B_{x^{\prime }}\in \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$

$${\displaystyle B_{x^{\prime }}\left(y^{\prime }\right):=B\left(x^{\prime },y^{\prime }\right).}$$

${\displaystyle \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\mapsto }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{x^{\prime }}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{x^{\prime }}\in Y.}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}:X^{\prime }\to Y}$ ${\displaystyle x^{\prime }\mapsto {\tilde {B}}_{x^{\prime }}}$ ${\displaystyle J(B):={\tilde {B}}.}$

Cuando se da la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos del mapa canónico se convierte en un isomorfismo TVS ^[14] ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\sigma };Y_{\sigma }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$

$${\displaystyle J:{\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)\to L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right).}$$

^[9] ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y}$

La inclusión siempre se mantiene. Si está normado, entonces es de hecho un subespacio vectorial topológico de Y si además es Banach, entonces también lo es (incluso si no está completo). ^[9] ${\displaystyle L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)\subseteq L\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

El mapa canónico es siempre continuo ^[15] y la topología ε es siempre más burda que la topología π , ^[16] que a su vez es más burda que la topología inductiva (la topología TVS localmente convexa más fina que hace que sea continua por separado). El espacio es Hausdorff si y sólo si ambos y son Hausdorff. ^[15] ${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\times Y\to X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Si y están normados, entonces es normal, en cuyo caso para todos ^[17] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle \theta \in X\otimes Y,}$ ${\displaystyle \|\theta \|_{\varepsilon }\leq \|\theta \|_{\pi }.}$

Supongamos que y son dos aplicaciones lineales entre espacios localmente convexos. Si ambos y son continuos, entonces también lo es su producto tensorial ^[18] Además: ${\displaystyle u:X_{1}\to Y_{1}}$ ${\displaystyle v:X_{2}\to Y_{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}.}$

• Si y son ambos TVS integrados, entonces también lo es ^[19] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}$
• Si (resp. ) es un subespacio lineal de (resp. ), entonces es canónicamente isomorfo a un subespacio lineal de y es canónicamente isomorfo a un subespacio lineal de ^[20] ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}$
• Hay ejemplos de y tales que ambos y son homomorfismos sobreyectivos pero no son un homomorfismo. ^[21] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}}$
• Si los cuatro espacios están normados entonces ^[17] ${\displaystyle \|u\otimes v\|_{\varepsilon }=\|u\|\|v\|.}$

Relación con el producto tensorial proyectivo y los espacios nucleares.

La topología proyectiva o topología - es la topología localmente convexa más fina que hace continuo el mapa canónico definido enviándolo a la forma bilineal. Cuando esté dotado de esta topología, se denotará por y se llamará producto tensorial proyectivo de y ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\times Y\to B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y.}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Grothendieck utilizó la siguiente definición para definir los espacios nucleares. ^[22]

Definición 0 : Sea un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo la incrustación del espacio vectorial canónico es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

Identificaciones canónicas de mapas bilineales y lineales.

En esta sección describimos identificaciones canónicas entre espacios de mapas bilineales y lineales. Estas identificaciones se utilizarán para definir subespacios y topologías importantes (particularmente aquellos que se relacionan con operadores nucleares y espacios nucleares ).

Espacios duales del producto tensorial inyectivo y su terminación.

Suponer que

$${\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\varepsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$$

${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$

$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}$$

transpuesta ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

El mapa de identidad

$${\displaystyle \operatorname {Id} _{X\otimes Y}:X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}$$

topología π

$${\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$$

espacios de Hilbert,operadores nucleares ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle L^{1}\left(X;Y^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Producto tensor inyectivo de espacios de Hilbert

Hay un mapa canónico.

$${\displaystyle K:X\otimes Y\to L\left(X^{\prime };Y\right)}$$

${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle K(z):X^{\prime }\to Y}$

$${\displaystyle K(z)\left(x^{\prime }\right):=\sum _{i=1}^{n}x^{\prime }(x_{i})y_{i}\in Y,}$$

${\displaystyle K(z):X\to Y}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle z.}$

$${\displaystyle K:X\otimes _{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$$

${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$

$${\displaystyle {\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).}$$

Cuando y son espacios de Hilbert, entonces hay una incrustación de TVS y una isometría (cuando a los espacios se les dan sus normas habituales) cuyo rango es el espacio de todos los operadores lineales compactos desde dentro (que es un subespacio vectorial cerrado de Por lo tanto, es idéntico al espacio de compacto operadores desde dentro (tenga en cuenta el número primo en ). El espacio de operadores lineales compactos entre dos espacios de Banach cualesquiera (que incluye espacios de Hilbert ) y es un subconjunto cerrado de ^[23]. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}\left(X^{\prime };Y\right).}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y).}$

Además, el mapa canónico es inyectivo cuando y son espacios de Hilbert. ^[23] ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Formas integrales y operadores.

Formas bilineales integrales

Denota el mapa de identidad por

$${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}$$

$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}$$

transpuestaformas integralesbilinealesintegrales ${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle B(X,Y),}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle B(X,Y),}$ ${\displaystyle J(X,Y).}$ ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Teorema ^{[24] [25]}  —  El dualdeconsiste exactamente en aquellas formas bilineales continuas v onque se pueden representar en forma de mapa. ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

$${\displaystyle b\in B(X,Y)\mapsto v(b)=\int _{S\times T}b{\big \vert }_{S\times T}\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)\operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime }\right)}$$

donde y son algunos subconjuntos cerrados y equicontinuos de y respectivamente, y es una medida de radón positiva en el conjunto compacto con masa total. Además, si es un subconjunto equicontinuo de entonces los elementos se pueden representar con elementos fijos y que pasan por un subconjunto acotado por normas de espacio de medidas de radón en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle \leq 1.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle v\in A}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\times T.}$

Operadores lineales integrales

Dado un mapa lineal, se puede definir una forma bilineal canónica llamada forma bilineal asociada por ${\displaystyle \Lambda :X\to Y,}$ ${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X\times Y^{\prime },}$

$${\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y^{\prime }\right):=\left(y^{\prime }\circ \Lambda \right)(x).}$$

integral^[26] ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y^{\prime }\in Y^{\prime }:}$

$${\displaystyle \left\langle y^{\prime },\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime \prime },y^{\prime }\right\rangle \operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime \prime }\right)}$$

${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \leq 1.}$

Mapa canónico en L ( X ; Y )

Hay un mapa canónico que remite al mapa lineal definido por donde se puede demostrar que la definición de no depende de la elección particular de representación de ${\displaystyle K:X^{\prime }\otimes Y\to L(X;Y)}$ ${\textstyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle K(z):X\to Y}$ ${\textstyle K(z)(x):=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }(x)y_{i}\in Y,}$ ${\displaystyle K(z):X\to Y}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle z.}$

Ejemplos

Espacio de familias sumables

A lo largo de esta sección fijamos algún conjunto arbitrario (posiblemente incontable ) de TVS y dejamos que sea el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de dirigidos por inclusión. ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq .}$

Sea una familia de elementos en un TVS y para cada subconjunto finito, llamemos sumable si el límite de la red converge en algún elemento (cualquier elemento de este tipo se llama suma ). El conjunto de todas esas familias sumables es un subespacio vectorial de denotado por ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq A,}$ ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}.}$ ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{A}}$ ${\displaystyle S.}$

Ahora definimos una topología de una manera muy natural. Esta topología resulta ser la topología inyectiva tomada y transferida a través de un isomorfismo de espacio vectorial canónico (el obvio). Esto es algo común cuando se estudian los productos tensoriales inyectivos y proyectivos de espacios de función/secuencia y TVS: la "forma natural" en la que uno definiría (desde cero) una topología en dicho producto tensorial es frecuentemente equivalente a la topología inyectiva o proyectiva. Topología del producto tensorial . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle S}$

Denotemos una base de vecindades equilibradas convexas de 0 en y para cada una denotamos su funcional de Minkowski . Para cualquier tal y cualquier dejar ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}},}$ ${\displaystyle \mu _{U}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x=\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}\in S,}$

$${\displaystyle q_{U}(x):=\sup _{x^{\prime }\in U^{\circ }}\sum _{\alpha \in A}\left|\left\langle x^{\prime },x_{\alpha }\right\rangle \right|}$$

^[27] ${\displaystyle q_{U}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \left\{q_{U}:U\in {\mathfrak {U}}\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l^{1}(A,X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l^{1}(A).}$

Existe una incrustación canónica de espacios vectoriales definida mediante la linealización del mapa bilineal definido por ^[27] ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\times X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle \left(\left(r_{\alpha }\right)_{\alpha \in A},x\right)\mapsto \left(r_{\alpha }x\right)_{\alpha \in A}.}$

Teorema : ^[27]  -  La incrustación canónica (de espacios vectoriales)se convierte en una incrustación de espacios vectoriales topológicoscuandose le da la topología inyectiva y, además, su rango es denso en su codominio. Sies una finalización deentonces la extensión continuade esta incrustaciónes un isomorfismo de TVS. Entonces, en particular, sies completo, entonceses canónicamente isomorfo a ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,X\right)\subseteq l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle l^{1}(A,E).}$

Espacio de funciones vectoriales continuamente diferenciables

En todo momento, sea un subconjunto abierto de donde es un número entero y sea un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle Y}$

Definición ^[28] Supongamos que y es una función tal que con un punto límite de Say que es diferenciable en si existen vectores llamados derivadas parciales de , tal que ${\displaystyle p^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right)\in \Omega }$ ${\displaystyle f:\operatorname {Dom} f\to Y}$ ${\displaystyle p^{0}\in \operatorname {Dom} f}$ ${\displaystyle p^{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p^{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{\stackrel {p\to p^{0},}{p\in \operatorname {domain} f}}{\frac {f(p)-f\left(p^{0}\right)-\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-p_{i}^{0})e_{i}}{\left\|p-p^{0}\right\|_{2}}}=0{\text{ in }}Y}$$

${\displaystyle p=(p_{1},\ldots ,p_{n}).}$

Naturalmente, se puede extender la noción de función continuamente diferenciable a funciones con valores definidas en For any let denotar el espacio vectorial de todos los mapas con valores definidos en y let denotar el subespacio vectorial que consta de todos los mapas que tienen soporte compacto. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,\infty ,}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$

Luego, se pueden definir topologías en y de la misma manera que las topologías en y se definen para el espacio de distribuciones y funciones de prueba (consulte el artículo: Funciones con valores vectoriales diferenciables del espacio euclidiano ). Todo este trabajo para ampliar la definición de diferenciabilidad y varias topologías resulta ser exactamente equivalente a simplemente tomar el producto tensorial inyectivo completo: ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )}$

Teorema ^[29]  :  sies un espacio localmente convexo de Hausdorff completo, entonceses canónicamente isomorfo al producto tensor inyectivo ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

Espacios de mapas continuos desde un espacio compacto.

Si es un espacio normado y si es un conjunto compacto, entonces la norma es igual a ^[29] Si y son dos espacios compactos, entonces esta aplicación canónica es un isomorfismo de espacios de Banach. ^[29] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle C(K)\otimes Y}$ ${\textstyle \|f\|_{\varepsilon }=\sup _{x\in K}\|f(x)\|.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(H\times K)\cong C(H){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }C(K),}$

Espacios de secuencias que convergen a 0.

Si es un espacio normado, entonces denotemos el espacio de todas las secuencias que convergen al origen y le damos a este espacio la norma. Denotemos entonces , para cualquier espacio de Banach, es canónicamente isométricamente isomorfo a ^[29] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle l_{\infty }(Y)}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\|\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\right\|:=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\|y_{i}\right\|.}$ ${\displaystyle l_{\infty }}$ ${\displaystyle l_{\infty }\left(\mathbb {C} \right).}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle l_{\infty }{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle l_{\infty }(Y).}$

Espacio de funciones de Schwartz

Ahora generalizaremos el espacio de Schwartz a funciones valoradas en un TVS. Sea el espacio de todos tal que para todos los pares de polinomios y en variables, sea un subconjunto acotado de Para generalizar la topología del espacio de Schwartz damos la topología de convergencia uniforme de las funciones como y varían sobre todos los posibles pares de polinomios en variables. ^[29] ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x),}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$

Teorema ^[29]  :  si es un espacio localmente convexo completo, entonces es canónicamente isomorfo a ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

Ver también

• Espacio normado auxiliar
• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas
• Producto tensor inductivo  : operación binaria en espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Mapa integral  – Función matemáticaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador nuclear  : operador lineal relacionado con espacios vectoriales topológicos
• Espacio nuclear  : una generalización de espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto tensorial topológico  : construcciones de productos tensoriales para espacios vectoriales topológicos

Notas

1. Esto es cierto incluso si no se supone que sea Hausdorff o localmente convexo. ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Trèves 2006, págs. 432–434.
2. Trèves 2006, págs. 338–345.
3. Trèves 2006, págs. 431–432.
4. Trèves 2006, págs. 403–404.
5. Tréves 2006, pag. 403.
6. Trèves 2006, pag. 428.
7. Trèves 2006, págs. 427–428.
8. Tréves 2006, pag. 430.
9. Trèves 2006, págs.
10. Trèves 2006, págs. 368–370.
11. Trèves 2006, págs. 338–343.
12. Trèves 2006, págs. 347–350.
13. Trèves 2006, págs. 351–354.
14. Trèves 2006, págs. 428–430.
15. Trèves 2006, pag. 434.
16. Tréves 2006, pag. 438.
17. Trèves 2006, pag. 444.
18. Tréves 2006, pag. 439.
19. Tréves 2006, pag. 440.
20. Tréves 2006, pag. 441.
21. Tréves 2006, pag. 442.
22. Schaefer y Wolff 1999, pág. 170.
23. Trèves 2006, pag. 494.
24. Schaefer y Wolff 1999, pág. 168.
25. Trèves 2006, págs. 500–502.
26. Trèves 2006, págs. 502–505.
27. Schaefer y Wolff 1999, págs.
28. Trèves 2006, págs. 412–419.
29. Trèves 2006, págs. 446–451.

Bibliografía

• Diéstel, Joe (2008). "La teoría métrica de los productos tensoriales: el currículum de Grothendieck revisado" . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773.
• Dubinsky, Ed (1979). La estructura de los espacios nucleares de Fréchet . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC  5126156.
• Grothendieck, Grothendieck (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en francés). Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC  1315788.
• Husain, Taqdir (1978). Cañón en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC  4493665.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Nlend, H (1977). Bornologías y análisis funcional: curso de introducción a la teoría de la dualidad topología-bornología y su uso en el análisis funcional . Amsterdam Nueva York Nueva York: Pub del norte de Holanda. Co. Distribuidores exclusivos para EE. UU. y Canadá, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC  2798822.
• Nlend, H (1981). Espacios nucleares y connucleares: cursos de introducción a los espacios nucleares y connucleares a la luz de la dualidad . Ámsterdam Nueva York Nueva York, Nueva York: Pub de Holanda Septentrional. Co. Distribuidores exclusivos para EE. UU. y Canadá, Elsevier Holanda Septentrional. ISBN 0-444-86207-2. OCLC  7553061.
• Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Robertson, AP (1973). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Inglaterra: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Ryan, Raymond (2002). Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach . Londres Nueva York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wang (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.

enlaces externos

• Espacio nuclear en ncatlab