Teorema de buen ordenamiento

Principio teórico en matemáticas que establece que todo conjunto puede estar bien ordenado.

En matemáticas , el teorema de buen orden , también conocido como teorema de Zermelo , establece que todo conjunto puede estar bien ordenado . Un conjunto X está bien ordenado por un orden total estricto si cada subconjunto no vacío de X tiene un elemento mínimo bajo el orden. El teorema de buen orden junto con el lema de Zorn son los enunciados matemáticos más importantes que son equivalentes al axioma de elección (a menudo llamado AC, véase también Axioma de elección § Equivalentes ). ^{[1] [2]} Ernst Zermelo introdujo el axioma de elección como un "principio lógico inobjetable" para demostrar el teorema de buen orden. ^[3] Se puede concluir del teorema de buen orden que todo conjunto es susceptible de inducción transfinita , que los matemáticos consideran una técnica poderosa. ^[3] Una famosa consecuencia del teorema es la paradoja de Banach-Tarski .

Historia

Georg Cantor consideró que el teorema de buen orden era un "principio fundamental del pensamiento". ^[4] Sin embargo, se considera difícil o incluso imposible visualizar un buen orden de ; tal visualización tendría que incorporar el axioma de elección. ^[5] En 1904, Gyula Kőnig afirmó haber demostrado que tal buen orden no puede existir. Unas semanas más tarde, Felix Hausdorff encontró un error en la prueba. ^[6] Resultó, sin embargo, que en la lógica de primer orden el teorema de buen orden es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección incluido son suficientes para demostrar el teorema de buen orden y, a la inversa, los axiomas de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección pero con el teorema de buen orden incluido son suficientes para demostrar el axioma de elección. (Lo mismo se aplica al lema de Zorn .) Sin embargo, en lógica de segundo orden , el teorema de buen orden es estrictamente más fuerte que el axioma de elección: del teorema de buen orden se puede deducir el axioma de elección, pero del axioma de elección no se puede deducir el teorema de buen orden. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Hay un chiste muy conocido sobre las tres afirmaciones y su relativa susceptibilidad a la intuición:

El axioma de elección es obviamente verdadero, el principio de buen orden obviamente falso, y ¿quién puede decirnos algo sobre el lema de Zorn ? ^[8]

Prueba del axioma de elección

El teorema del buen orden se desprende del axioma de elección de la siguiente manera. ^[9]

Sea el conjunto que estamos intentando ordenar correctamente , y sea una función de elección para la familia de subconjuntos no vacíos de . Para cada ordinal , defina un elemento que esté en por estableciendo si este complemento no está vacío, o déjelo indefinido si lo está. Es decir, se elige del conjunto de elementos de a los que todavía no se les ha asignado un lugar en el ordenamiento (o indefinido si se ha enumerado correctamente la totalidad de ). Entonces el orden en definido por si y solo si (en el orden correcto habitual de los ordinales) es un orden correcto de como se desea, de tipo de orden . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{\alpha }\ =\ f(A\smallsetminus \{a_{\xi }\mid \xi <\alpha \})}$ ${\displaystyle A\smallsetminus \{a_{\xi }\mid \xi <\alpha \}}$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{\alpha }<a_{\beta }}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sup\{\alpha \mid a_{\alpha }{\text{ is defined}}\}}$

Prueba del axioma de elección

El axioma de elección puede demostrarse a partir del teorema de buen orden de la siguiente manera.

Para hacer una función de elección para una colección de conjuntos no vacíos, , tome la unión de los conjuntos en y llámela . Existe un buen ordenamiento de ; sea tal ordenamiento. La función que a cada conjunto de asocia el elemento más pequeño de , ordenado por (la restricción a de) , es una función de elección para la colección . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$

Un punto esencial de esta prueba es que implica sólo una única elección arbitraria, la de ; aplicar el teorema de buen orden a cada miembro de por separado no funcionaría, ya que el teorema sólo afirma la existencia de un buen orden, y elegir para cada uno un buen orden requeriría tantas elecciones como simplemente elegir un elemento de cada . En particular, si contiene un número incontable de conjuntos, hacer todas las elecciones incontables no está permitido bajo los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$

Notas

1. Kuczma, Marek (2009). Introducción a la teoría de ecuaciones e inecuaciones funcionales. Berlín: Springer. p. 14. ISBN 978-3-7643-8748-8.
2. Hazewinkel, Michiel (2001). Enciclopedia de Matemáticas: Suplemento. Berlín: Springer. pag. 458.ISBN​ 1-4020-0198-3.
3. Thierry, Vialar (1945). Manual de Matemáticas. Norderstedt: Springer. pag. 23.ISBN​ 978-2-95-519901-5.
4. Georg Cantor (1883), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, Mathematische Annalen 21, págs.
5. Sheppard, Barnaby (2014). La lógica del infinito. Cambridge University Press. pág. 174. ISBN 978-1-1070-5831-6.
6. Plotkin, JM (2005), "Introducción a "El concepto de potencia en la teoría de conjuntos"", Hausdorff sobre conjuntos ordenados, Historia de las matemáticas, vol. 25, American Mathematical Society, págs. 23-30, ISBN 9780821890516
7. Shapiro, Stewart (1991). Fundamentos sin fundacionalismo: un caso de lógica de segundo orden . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853391-8.
8. Krantz, Steven G. (2002), "El axioma de elección", en Krantz, Steven G. (ed.), Manual de lógica y técnicas de prueba para informática , Birkhäuser Boston, págs. 121-126, doi :10.1007/978-1-4612-0115-1_9, ISBN 9781461201151
9. Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos (Edición Tercer Milenio) . Saltador . pag. 48.ISBN​ 978-3-540-44085-7.

Enlaces externos

• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/wellord2.html