En la teoría matemática de nudos , un invariante de tipo finito , o invariante de Vassiliev (llamado así en honor a Victor Anatolyevich Vassiliev ), es un invariante de nudo que puede extenderse (de una manera precisa que se describirá más adelante) a un invariante de ciertos nudos singulares que se desvanece en nudos singulares con m + 1 singularidades y no se desvanece en algún nudo singular con 'm' singularidades. Entonces se dice que es de tipo u orden m .
Damos la definición combinatoria de invariante de tipo finito debida a Goussarov y (independientemente) a Joan Birman y Xiao-Song Lin. Sea V un invariante de nudo. Definamos V 1 como definido en un nudo con una singularidad transversal.
Consideremos que un nudo K es una incrustación suave de un círculo en . Sea K' una inmersión suave de un círculo en con un punto doble transversal. Entonces
donde se obtiene a partir de K resolviendo el punto doble empujando una hebra por encima de la otra, y se obtiene de manera similar empujando la hebra opuesta por encima de la otra. Podemos hacer esto para mapas con dos puntos dobles transversales, tres puntos dobles transversales, etc., utilizando la relación anterior. Que V sea de tipo finito significa precisamente que debe haber un entero positivo m tal que V se anule en mapas con puntos dobles transversales.
Además, tenga en cuenta que existe una noción de equivalencia de nudos con singularidades que son puntos dobles transversales y V debe respetar esta equivalencia. También existe una noción de invariante de tipo finito para 3-variedades .
El invariante de Vassiliev no trivial más simple de los nudos viene dado por el coeficiente del término cuadrático del polinomio de Alexander-Conway . Es un invariante de orden dos. Módulo dos, es igual al invariante de Arf .
Cualquier coeficiente del invariante de Kontsevich es un invariante de tipo finito.
Los invariantes de Milnor son invariantes de tipo finito de enlaces de cadenas . [1]
Michael Polyak y Oleg Viro describieron los primeros invariantes no triviales de órdenes 2 y 3 mediante representaciones de diagramas de Gauss . Mikhail N. Goussarov demostró que todos los invariantes de Vassiliev pueden representarse de esa manera.
En 1993, Maxim Kontsevich demostró el siguiente teorema importante sobre los invariantes de Vassiliev: Para cada nudo se puede calcular una integral, ahora llamada integral de Kontsevich , que es un invariante de Vassiliev universal , lo que significa que cada invariante de Vassiliev se puede obtener de él mediante una evaluación apropiada. No se sabe en la actualidad si la integral de Kontsevich, o la totalidad de los invariantes de Vassiliev, es un invariante de nudo completo , o incluso si detecta el nudo no existente. El cálculo de la integral de Kontsevich, que tiene valores en un álgebra de diagramas de cuerdas, resulta bastante difícil y hasta ahora solo se ha realizado para unas pocas clases de nudos. No existe ningún invariante de tipo finito de grado menor que 11 que distinga a los nudos mutantes . [2]
