Invariante Arf de un nudo

Nudo invariante que lleva el nombre de Cahit Arf

En el campo matemático de la teoría de nudos , el invariante Arf de un nudo, llamado así por Cahit Arf , es un invariante de nudo obtenido a partir de una forma cuadrática asociada a una superficie de Seifert . Si F es una superficie de Seifert de un nudo, entonces el grupo de homología H ₁ ( F , Z /2 Z ) tiene una forma cuadrática cuyo valor es el número de giros completos módulo 2 en un entorno de un círculo embebido que representa un elemento del grupo de homología. El invariante Arf de esta forma cuadrática es el invariante Arf del nudo.

Definición por matriz de Seifert

Sea una matriz de Seifert del nudo, construida a partir de un conjunto de curvas sobre una superficie de Seifert de género g que representan una base para la primera homología de la superficie. Esto significa que V es una matriz 2 g × 2 g con la propiedad de que V − V ^T es una matriz simpléctica . El invariante Arf del nudo es el residuo de ${\displaystyle V=v_{i,j}}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{g}v_{2i-1,2i-1}v_{2i,2i}{\pmod {2}}.}$

Específicamente, si , es una base simpléctica para la forma de intersección en la superficie de Seifert, entonces ${\displaystyle \{a_{i},b_{i}\},i=1\ldots g}$

${\displaystyle \operatorname {Arf} (K)=\sum \limits _{i=1}^{g}\operatorname {lk} \left(a_{i},a_{i}^{+}\right)\operatorname {lk} \left(b_{i},b_{i}^{+}\right){\pmod {2}}.}$

donde lk es el número de enlace y denota el impulso positivo de a . ${\displaystyle a^{+}}$

Definición por equivalencia de pase

Esta aproximación al invariante Arf se debe a Louis Kauffman .

Definimos dos nudos como equivalentes de paso si están relacionados por una secuencia finita de movimientos de paso. ^[1]

Cada nudo es equivalente al nudo simple o al nudo trébol ; estos dos nudos no son equivalentes al nudo simple y, además, los nudos tréboles de mano derecha e izquierda son equivalentes al nudo simple. ^[2]

Ahora podemos definir el invariante Arf de un nudo como 0 si es equivalente al nudo anterior, o como 1 si es equivalente al nudo anterior. Esta definición es equivalente a la anterior.

Definición por función de partición

Vaughan Jones demostró que el invariante Arf se puede obtener tomando la función de partición de un gráfico planar con signo asociado a un diagrama de nudos .

Definición por polinomio de Alexander

Esta aproximación al invariante Arf es de Raymond Robertello. ^[3] Sea

${\displaystyle \Delta (t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n}t^{n}+\cdots +c_{0}t^{2n}}$

sea ​​el polinomio de Alexander del nudo. Entonces el invariante de Arf es el residuo de

${\displaystyle c_{n-1}+c_{n-3}+\cdots +c_{r}}$

módulo 2, donde r = 0 para n impar, y r = 1 para n par.

Kunio Murasugi ^[4] demostró que el invariante Arf es cero si y sólo si Δ(−1) ≡ ±1 módulo 8 .

Arf como invariante de concordancia de nudos

A partir del criterio de Fox-Milnor, que nos dice que el polinomio de Alexander de un nudo de rebanada se factoriza como para cualquier polinomio con coeficientes enteros, sabemos que el determinante de un nudo de rebanada es un entero cuadrado. Como es un entero impar, tiene que ser congruente con 1 módulo 8. Combinado con el resultado de Murasugi, esto muestra que el invariante Arf de un nudo de rebanada se anula. ${\displaystyle K\subset \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \Delta (t)=p(t)p\left(t^{-1}\right)}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle \left|\Delta (-1)\right|}$ ${\displaystyle \left|\Delta (-1)\right|}$

Notas

1. Kauffman (1987) pág. 74
2. Kauffman (1987) págs. 75-78
3. Robertello, Raymond, Un invariante del corbordismo de nudos, Communications on Pure and Applied Mathematics , Volumen 18, págs. 543-555, 1965
4. Murasugi, Kunio, El invariante Arf para tipos de nudos, Actas de la American Mathematical Society, vol. 21, n.º 1. (abril de 1969), págs. 69-72

Referencias

• Kauffman, Louis H. (1983). Teoría formal de nudos . Notas matemáticas. Vol. 30. Princeton University Press. ISBN 0-691-08336-3.
• Kauffman, Louis H. (1987). Sobre nudos . Anales de estudios matemáticos. Vol. 115. Princeton University Press. ISBN. 0-691-08435-1.
• Kirby, Robion (1989). La topología de 4-variedades . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1374. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-51148-2.