El invariante de Kontsevich es un invariante cuántico universal en el sentido de que cualquier invariante cuántico puede recuperarse sustituyendo el sistema de pesos apropiado en cualquier diagrama de Jacobi.
Sea X un círculo (que es una variedad unidimensional). Como se muestra en la figura de la derecha, un diagrama de Jacobi de orden n es el gráfico con 2 n vértices, con el círculo externo representado como círculo de línea continua y con líneas discontinuas llamado gráfico interno, que satisface las siguientes condiciones:
La orientación se da sólo al círculo exterior.
Los vértices tienen valores 1 o 3. Los 3 vértices valorados están conectados a uno de los otros bordes en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj, representado como un pequeño círculo dirigido. Los vértices valorados 1 están conectados al círculo externo sin multiplicidad, ordenados por la orientación del círculo.
Las aristas de G se llaman cuerdas . Denotamos como A ( X ) el espacio cociente del grupo conmutativo generado por todos los diagramas de Jacobi en X dividido por las siguientes relaciones:
(La relación AS)+= 0
(La relación IHX)=−
(La relación STU)=−
(La relación FI)= 0.
Un diagrama sin vértices con valor 3 se llama diagrama de cuerdas o diagrama de Gauss. Si cada componente conectado de un gráfico G tiene un vértice con valor 3, entonces podemos convertir el diagrama de Jacobi en un diagrama de cuerdas usando la relación STU de forma recursiva. Si nos limitamos únicamente a los diagramas de cuerdas, entonces las cuatro relaciones anteriores se reducen a las dos relaciones siguientes:
(La relación de cuatro términos)−+−= 0.
(La relación FI)= 0.
Propiedades
El grado de un diagrama de Jacobi se define como la mitad de la suma del número de sus vértices con valor 1 y uno con valor 3. Es el número de cuerdas en el diagrama de cuerdas transformadas del diagrama de Jacobi.
Al igual que los enredos , los diagramas de Jacobi forman una categoría monoide con la composición como la compilación de diagramas de Jacobi a lo largo de la dirección hacia arriba y hacia abajo y el producto tensorial como diagramas de Jacobi yuxtapuestos.
En el caso especial donde X es un intervalo I , A ( X ) será un álgebra conmutativa. Viendo A ( S 1 ) como el álgebra con multiplicación como sumas conectadas , A ( S 1 ) es isomorfa a A ( I ) .
Un diagrama de Jacobi puede verse como una abstracción de representaciones del álgebra tensorial generada por las álgebras de Lie, lo que nos permite definir algunas operaciones análogas a los coproductos, unidades y antípodas de las álgebras de Hopf .
Dado que las invariantes de Vassiliev (o invariantes de tipo finito) están estrechamente relacionadas con los diagramas de cuerdas, se puede construir un nudo singular a partir de un diagrama de cuerdas G en S 1 . K n denota el espacio generado por todos los nudos singulares con grado n , cada uno de esos G determina un elemento único en K m / K m +1 .
Sistema de pesas
Una aplicación de los diagramas de Jacobi a los números enteros positivos se llama sistema de ponderación . El mapa extendido al espacio A ( X ) también se llama sistema de pesos. Tienen las siguientes propiedades:
Sea g un álgebra de Lie semisimple y ρ su representación. Obtenemos un sistema de pesos "sustituyendo" el tensor invariante de g en la cuerda de un diagrama de Jacobi y ρ en la variedad subyacente X del diagrama de Jacobi.
Podemos ver los vértices con valor 3 del diagrama de Jacobi como el producto entre paréntesis del álgebra de Lie, las flechas de línea continua como el espacio de representación de ρ y los vértices con valor 1 como la acción del álgebra de Lie.
La relación IHX y la relación STU corresponden respectivamente a la identidad de Jacobi y a la definición de la representación.
ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v − ρ ( b ) ρ ( a ) v .
Los diagramas de Jacobi se introdujeron como análogos de los diagramas de Feynman cuando Kontsevich definió invariantes de nudos mediante integrales iteradas en la primera mitad de la década de 1990. [2] Representaba puntos singulares de nudos singulares mediante cuerdas, es decir, los trataba únicamente con diagramas de cuerdas. Más tarde, D. Bar-Natan los formuló como gráficos con valores de 1 a 3 y estudió sus propiedades algebraicas, y los llamó "diagramas de caracteres chinos" en su artículo. [4] Se utilizaron varios términos como diagramas de cuerdas, diagramas web o diagramas de Feynman para referirse a ellos, pero se les ha llamado diagramas de Jacobi desde alrededor del año 2000, porque la relación IHX corresponde a la identidad de Jacobi para las álgebras de Lie .
Podemos interpretarlos desde un punto de vista más general mediante los claspers, que fueron definidos de forma independiente por Goussarov y Kazuo Habiro en la segunda mitad de los años noventa.
Referencias
^ Chmutov, Sergei; Duzhi, Sergei (2012). Weisstein, Eric W (ed.). "Integral Kontsevich". Mundo matemático . Recurso web Wolfram . Consultado el 4 de diciembre de 2012 .
^ ab Kontsevich, Maxim (1993). "Invariantes del nudo de Vassiliev" (PDF) . Adv. Matemáticas soviéticas . 16 (2): 137-150.
^ Bar-Natan, D.; Garoufalidis, S. (1996). "Sobre la conjetura de Melvin-Morton-Rozansky". Invenciones Mathematicae . 125 : 103-133. doi :10.1007/s002220050070. S2CID 16891212.
^ Bar-Natan, D. (1995). "Sobre las invariantes del nudo de Vassiliev". Topología . 34 (2): 423–472. doi : 10.1016/0040-9383(95)93237-2 .
Bibliografía
Ohtsuki, Tomotada (2001). Invariantes cuánticas: un estudio de nudos, 3 variedades y sus conjuntos (1ª ed.). Compañía editorial científica mundial. ISBN 9789810246754. OL 9195378M.
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