Congruencia (relatividad general)

En relatividad general , una congruencia (más propiamente, una congruencia de curvas ) es el conjunto de curvas integrales de un campo vectorial (que no se anula en ningún punto) en una variedad lorentziana de cuatro dimensiones que se interpreta físicamente como un modelo del espacio-tiempo . A menudo, esta variedad se considerará una solución exacta o aproximada de la ecuación de campo de Einstein .

Tipos de congruencias

Las congruencias generadas por campos vectoriales temporales, nulos o espaciales que no desaparecen en ninguna parte se denominan temporales , nulos o espaciales , respectivamente.

Una congruencia se denomina congruencia geodésica si admite un campo vectorial tangente con derivada covariante nula , . ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}=0}$

Relación con campos vectoriales

Las curvas integrales del campo vectorial son una familia de curvas parametrizadas que no se intersecan y que llenan el espacio-tiempo. La congruencia consiste en las curvas mismas, sin referencia a una parametrización particular. Muchos campos vectoriales distintos pueden dar lugar a la misma congruencia de curvas, ya que si es una función escalar que no se anula en ningún punto, entonces y dan lugar a la misma congruencia. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle {\vec {Y}}=\,f\,{\vec {X}}}$

Sin embargo, en una variedad lorentziana, tenemos un tensor métrico , que selecciona un campo vectorial preferido entre los campos vectoriales que son en todas partes paralelos a un campo vectorial temporal o espacial dado, es decir, el campo de vectores tangentes a las curvas. Estos son campos vectoriales unitarios temporales o espaciales respectivamente .

Interpretación física

En relatividad general, una congruencia temporal en una variedad lorentziana de cuatro dimensiones puede interpretarse como una familia de líneas de universo de ciertos observadores ideales en nuestro espacio-tiempo. En particular, una congruencia geodésica temporal puede interpretarse como una familia de partículas de prueba en caída libre .

Las congruencias nulas también son importantes, particularmente las congruencias geodésicas nulas , que pueden interpretarse como una familia de rayos de luz que se propagan libremente.

Advertencia: la línea de universo de un pulso de luz que se mueve en un cable de fibra óptica no sería en general una geodésica nula, y la luz en el universo primitivo (la época dominada por la radiación ) no se propagaba libremente. Sin embargo, la línea de universo de un pulso de radar enviado desde la Tierra pasando por el Sol hasta Venus se modelaría como un arco geodésico nulo. En dimensiones distintas de cuatro, la relación entre geodésicas nulas y "luz" ya no se cumple: si "luz" se define como la solución de la ecuación de onda de Laplacia , entonces el propagador tiene componentes nulos y temporales en dimensiones espacio-temporales impares y ya no es una función delta de Dirac pura en dimensiones espacio-temporales pares mayores de cuatro.

Descripción cinemática

Describir el movimiento mutuo de las partículas de prueba en una congruencia geodésica nula en un espacio-tiempo como el vacío de Schwarzschild o el polvo FRW es un problema muy importante en relatividad general. Se resuelve definiendo ciertas cantidades cinemáticas que describen completamente cómo las curvas integrales en una congruencia pueden converger (divergir) o retorcerse unas sobre otras.

Cabe destacar que la descomposición cinemática que vamos a describir es pura matemática válida para cualquier variedad lorentziana. Sin embargo, la interpretación física en términos de partículas de prueba y aceleraciones de marea (para congruencias geodésicas temporales) o rayos de luz (para congruencias geodésicas nulas) es válida sólo para la relatividad general (interpretaciones similares pueden ser válidas en teorías estrechamente relacionadas).

La descomposición cinemática de una congruencia temporal

Consideremos la congruencia temporal generada por algún campo vectorial unitario temporal X, que deberíamos considerar como un operador diferencial parcial lineal de primer orden. Entonces, los componentes de nuestro campo vectorial son ahora funciones escalares dadas en notación tensorial escribiendo , donde f es una función suave arbitraria. El vector de aceleración es la derivada covariante ; podemos escribir sus componentes en notación tensorial como: ${\displaystyle {\vec {X}}f=f_{,a}\,X^{a}}$ ${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {X}}^{a}={X^{a}}_{;b}X^{b}}$

A continuación, observe que la ecuación:

${\displaystyle \left({\dot {X}}^{a}\,X_{b}+{X^{a}}_{;b}\right)\,X^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\dot {X}}^{a}=0}$

significa que el término entre paréntesis a la izquierda es la parte transversal de . Esta relación de ortogonalidad se cumple solo cuando X es un vector unitario temporal de una variedad lorentziana . No se cumple en un contexto más general. Escriba: ${\displaystyle {X^{a}}_{;b}}$

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

para el tensor de proyección que proyecta tensores en sus partes transversales; por ejemplo, la parte transversal de un vector es la parte ortogonal a . Este tensor puede verse como el tensor métrico de la hipersuperficie cuyos vectores tangentes son ortogonales a X. Así, hemos demostrado que: ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{m;n}}$

A continuación, descomponemos esto en sus partes simétricas y antisimétricas:

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}=\theta _{ab}+\omega _{ab}}$

Aquí:

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

se conocen como tensor de expansión y tensor de vorticidad respectivamente.

Como estos tensores viven en los elementos del hiperplano espacial ortogonales a , podemos pensar en ellos como tensores tridimensionales de segundo rango. Esto se puede expresar de forma más rigurosa utilizando la noción de derivada de Fermi . Por lo tanto, podemos descomponer el tensor de expansión en su parte sin traza más una parte traza . Escribiendo la traza como , tenemos: ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{ab}=\sigma _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

Como el tensor de vorticidad es antisimétrico, sus componentes diagonales se anulan, por lo que automáticamente no tiene traza (y podemos reemplazarlo con un vector tridimensional , aunque no lo haremos). Por lo tanto, ahora tenemos:

${\displaystyle X_{a;b}=\sigma _{ab}+\omega _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

Esta es la descomposición cinemática deseada . En el caso de una congruencia geodésica temporal , el último término se anula de forma idéntica.

El escalar de expansión, el tensor de corte ( ) y el tensor de vorticidad de una congruencia geodésica temporal tienen el siguiente significado intuitivo: ${\displaystyle \sigma _{ab}}$

1. El escalar de expansión representa la tasa fraccionaria a la que el volumen de una pequeña nube inicialmente esférica de partículas de prueba cambia con respecto al tiempo propio de la partícula en el centro de la nube.
2. El tensor de corte representa cualquier tendencia de la esfera inicial a distorsionarse hasta adoptar una forma elipsoidal.
3. El tensor de vorticidad representa cualquier tendencia de la esfera inicial a rotar; la vorticidad desaparece si y sólo si las líneas del mundo en la congruencia son en todas partes ortogonales a las hipersuperficies espaciales en alguna foliación del espacio-tiempo, en cuyo caso, para un gráfico de coordenadas adecuado, cada hiperporción puede considerarse como una superficie de 'tiempo constante'.

Consulte las citas y los enlaces a continuación para justificar estas afirmaciones.

Curvatura y congruencias temporales

Por la identidad de Ricci (que a menudo se utiliza como definición del tensor de Riemann ), podemos escribir:

${\displaystyle X_{a;bn}-X_{a;nb}=R_{ambn}\,X^{m}}$

Al introducir la descomposición cinemática en el lado izquierdo, podemos establecer relaciones entre el tensor de curvatura y el comportamiento cinemático de las congruencias temporales (geodésicas o no). Estas relaciones se pueden utilizar de dos maneras, ambas muy importantes:

1. Podemos (en principio) determinar experimentalmente el tensor de curvatura de un espacio-tiempo a partir de observaciones detalladas del comportamiento cinemático de cualquier congruencia temporal (geodésica o no),
2. Podemos obtener ecuaciones de evolución para las partes de la descomposición cinemática (escalar de expansión, tensor de cizallamiento y tensor de vorticidad ) que exhiben acoplamiento de curvatura directo .

En el famoso lema de John Archibald Wheeler :

El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse.

Ahora vemos cómo cuantificar con precisión la primera parte de esta afirmación; la ecuación de campo de Einstein cuantifica la segunda parte.

En particular, de acuerdo con la descomposición de Bel del tensor de Riemann, tomado con respecto a nuestro campo vectorial unitario temporal, el tensor electrogravítico (o tensor de mareas ) se define por:

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

La identidad de Ricci ahora da:

${\displaystyle \left(X_{a:bn}-X_{a:nb}\right)\,X^{n}=E[{\vec {X}}]_{ab}}$

Introduciendo la descomposición cinemática podemos obtener:

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2}{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}}\right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma }}_{mn}-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{aligned}}}$

Aquí, los puntos sobrepuestos indican diferenciación con respecto al tiempo propio , contado a lo largo de nuestra congruencia temporal (es decir, tomamos la derivada covariante con respecto al campo vectorial X). Esto puede considerarse como una descripción de cómo se puede determinar el tensor de marea a partir de observaciones de una única congruencia temporal.

Ecuaciones de evolución

En esta sección abordamos el problema de obtener ecuaciones de evolución (también llamadas ecuaciones de propagación o fórmulas de propagación ).

Será conveniente escribir el vector de aceleración como y también establecer: ${\displaystyle {\dot {X}}^{a}=W^{a}}$

${\displaystyle J_{ab}=X_{a:b}={\frac {\theta }{3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

Ahora, a partir de la identidad de Ricci para el tensor de marea tenemos:

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=J_{an;b}\,X^{n}-E[{\vec {X}}]_{ab}}$

Pero:

${\displaystyle \left(J_{an}\,X^{n}\right)_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{an}\,{X^{n}}_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{am}\,{J^{m}}_{b}}$

Entonces tenemos:

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-J_{am}\,{J^{m}}_{b}-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+W_{a;b}}$

Al introducir la definición de y tomar respectivamente la parte diagonal, la parte simétrica sin traza y la parte antisimétrica de esta ecuación, obtenemos las ecuaciones de evolución deseadas para el escalar de expansión, el tensor de cizallamiento y el tensor de vorticidad. ${\displaystyle J_{ab}}$

Consideremos primero el caso más fácil, cuando el vector de aceleración se anula. Entonces (observando que el tensor de proyección puede utilizarse para reducir los índices de cantidades puramente espaciales), tenemos:

${\displaystyle J_{am}\,{J^{m}}_{b}={\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}+{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

o

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-{\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}-{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}}$

Mediante álgebra lineal elemental, se verifica fácilmente que si son operadores lineales tridimensionales simétricos y antisimétricos respectivamente, entonces es simétrico mientras que es antisimétrico, por lo que al disminuir un índice, las combinaciones correspondientes entre paréntesis anteriores son simétricas y antisimétricas respectivamente. Por lo tanto, tomando la traza se obtiene la ecuación de Raychaudhuri (para geodésicas temporales): ${\displaystyle \Sigma ,\Omega }$ ${\displaystyle \Sigma ^{2}+\Omega ^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma \,\Omega +\Omega \,\Sigma }$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega ^{2}-\sigma ^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}$

Tomando la parte simétrica sin traza se obtiene:

${\displaystyle {\dot {\sigma }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}}\,h_{ab}}$

y tomando la parte antisimétrica se obtiene:

${\displaystyle {\dot {\omega }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

Aquí:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

son invariantes cuadráticos que nunca son negativos, por lo que son invariantes reales bien definidos. La traza del tensor de marea también se puede escribir: ${\displaystyle \sigma ,\omega }$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

A veces se le llama escalar de Raychaudhuri ; no hace falta decir que se desvanece de forma idéntica en el caso de una solución de vacío .

Véase también

• congruencia (variedades)
• expansión escalar
• tensor de expansión
• tensor de cizallamiento
• tensor de vorticidad
• Ecuación de Raychaudhuri

Referencias

• Poisson, Eric (2004). Un conjunto de herramientas para relativistas: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Cambridge University Press. Bibcode :2004rtmb.book.....P. ISBN 978-0-521-83091-1.Consulte el capítulo 2 para obtener una excelente y detallada introducción a las congruencias geodésicas. El análisis de Poisson de las congruencias geodésicas nulas es particularmente valioso.
• Carroll, Sean M. (2004). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8732-2.Véase el apéndice F para una buena discusión elemental de las congruencias geodésicas. (La notación de Carroll es un tanto no estándar. ^{[ cita requerida ]} )
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein (2.ª ed.) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46136-8.Consulte el capítulo 6 para obtener una introducción muy detallada a las congruencias temporales y nulas.
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5. Consulte la sección 9.2 para conocer la cinemática de las congruencias geodésicas temporales.
• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6. Consulte la sección 4.1 para conocer la cinemática de las congruencias temporales y nulas.
• Dasgupta, Anirvan; Nandan, Hemwati; Kar, Sayan (2009). "Cinemática de flujos en medios curvos y deformables". Revista internacional de métodos geométricos en física moderna . 6 (4): 645–666. arXiv : 0804.4089 . Código Bibliográfico :2009IJGMM..06..645D. doi :10.1142/S0219887809003746. S2CID  115154964.Consulte para obtener una introducción detallada a la cinemática de los flujos geodésicos en superficies curvas bidimensionales específicas (a saber, esfera, espacio hiperbólico y toro).