Una representación de tiempo-frecuencia ( TFR ) es una vista de una señal (considerada como una función del tiempo) representada tanto en tiempo como en frecuencia . [1] El análisis de tiempo-frecuencia significa un análisis en el dominio de tiempo-frecuencia proporcionado por una TFR. Esto se logra utilizando una formulación a menudo llamada "Distribución de tiempo-frecuencia", abreviada como TFD.
Los TFR son a menudo campos de valores complejos en el tiempo y la frecuencia, donde el módulo del campo representa la amplitud o la "densidad de energía" (la concentración de la raíz cuadrada media en el tiempo y la frecuencia), y el argumento del campo representa la fase.
Una señal , en función del tiempo, puede considerarse como una representación con una resolución temporal perfecta . Por el contrario, la magnitud de la transformada de Fourier (FT) de la señal puede considerarse como una representación con una resolución espectral perfecta pero sin información temporal, ya que la magnitud de la FT transmite contenido de frecuencia, pero no transmite cuándo, en el tiempo, ocurren diferentes eventos en la señal.
Los TFR proporcionan un puente entre estas dos representaciones, ya que proporcionan información temporal y espectral simultáneamente. Por lo tanto, los TFR son útiles para la representación y el análisis de señales que contienen múltiples frecuencias que varían con el tiempo.
Una forma de TFR (o TFD) puede formularse mediante la comparación multiplicativa de una señal consigo misma, expandida en diferentes direcciones sobre cada punto en el tiempo. Tales representaciones y formulaciones se conocen como TFR o TFD cuadráticos o "bilineales" (QTFR o QTFD) porque la representación es cuadrática en la señal (véase Distribución bilineal de tiempo-frecuencia ). Esta formulación fue descrita por primera vez por Eugene Wigner en 1932 en el contexto de la mecánica cuántica y, más tarde, reformulada como una TFR general por Ville en 1948 para formar lo que ahora se conoce como la distribución de Wigner-Ville , ya que se demostró en [2] que la fórmula de Wigner necesitaba usar la señal analítica definida en el artículo de Ville para ser útil como representación y para un análisis práctico. Hoy en día, las QTFR incluyen el espectrograma (magnitud al cuadrado de la transformada de Fourier de tiempo corto ), el escaleograma (magnitud al cuadrado de la transformada Wavelet) y la distribución pseudo-Wigner suavizada.
Aunque las TFR cuadráticas ofrecen resoluciones temporales y espectrales perfectas simultáneamente, la naturaleza cuadrática de las transformadas crea términos cruzados, también llamados "interferencias". Los términos cruzados causados por la estructura bilineal de las TFD y las TFR pueden ser útiles en algunas aplicaciones, como la clasificación, ya que los términos cruzados proporcionan detalles adicionales para el algoritmo de reconocimiento. Sin embargo, en algunas otras aplicaciones, estos términos cruzados pueden afectar a ciertas TFR cuadráticas y sería necesario reducirlos. Una forma de hacer esto se obtiene comparando la señal con una función diferente. Estas representaciones resultantes se conocen como TFR lineales porque la representación es lineal en la señal. Un ejemplo de este tipo de representación es la transformada de Fourier en ventana (también conocida como transformada de Fourier de tiempo corto ) que localiza la señal modulándola con una función de ventana, antes de realizar la transformada de Fourier para obtener el contenido de frecuencia de la señal en la región de la ventana.
Las transformadas wavelet, en particular la transformada wavelet continua , expanden la señal en términos de funciones wavelet que están localizadas tanto en el tiempo como en la frecuencia. Por lo tanto, la transformada wavelet de una señal puede representarse en términos tanto de tiempo como de frecuencia. El análisis de la transformada wavelet continua es muy útil para identificar señales no estacionarias en series temporales, [3] como las relacionadas con el clima [4] o los deslizamientos de tierra. [5]
Las nociones de tiempo, frecuencia y amplitud utilizadas para generar una TFR a partir de una transformada wavelet se desarrollaron originalmente de manera intuitiva. En 1992, se publicó una derivación cuantitativa de estas relaciones, basada en una aproximación de fase estacionaria . [6]
Las transformaciones canónicas lineales son las transformadas lineales de la representación tiempo-frecuencia que conservan la forma simpléctica . Estas incluyen y generalizan la transformada de Fourier , la transformada de Fourier fraccionaria y otras, proporcionando así una visión unificada de estas transformadas en términos de su acción en el dominio tiempo-frecuencia.
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