Problema común de punto fijo

Problema matemático resuelto en 1967

En matemáticas, el problema común del punto fijo es la conjetura de que para dos funciones continuas cualesquiera que mapean el intervalo unitario en sí mismo y que conmutan bajo composición funcional , debe haber un punto que sea un punto fijo de ambas funciones. En otras palabras, si las funciones y son continuas y para todos en el intervalo unitario, entonces debe haber alguna en el intervalo unitario para la cual . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(g(x))=g(f(x))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=x=g(x)}$

El problema, que se planteó por primera vez en 1954, permaneció sin resolver durante más de una década, durante la cual varios matemáticos hicieron avances graduales hacia una respuesta afirmativa. En 1967, William M. Boyce y John P. Huneke demostraron de forma independiente que la conjetura era falsa al proporcionar ejemplos de funciones conmutativas en un intervalo cerrado que no tienen un punto fijo común.

Historia

Un artículo de 1951 de HD Block y HP Thielman despertó el interés en el tema de los puntos fijos de las funciones conmutativas. ^[1] Basándose en trabajos anteriores de JF Ritt y AG Walker , Block y Thielman identificaron conjuntos de polinomios conmutativos por pares y estudiaron sus propiedades. Demostraron, para cada uno de estos conjuntos, que dos polinomios cualesquiera compartirían un punto fijo común. ^[2]

El artículo de Block y Thielman llevó a otros matemáticos a preguntarse si tener un punto fijo común era una propiedad universal de las funciones conmutativas. En 1954, Eldon Dyer preguntó si si y son dos funciones continuas que proyectan un intervalo cerrado de la recta real en sí mismo y conmutan, deben tener un punto fijo común. La misma pregunta fue planteada de forma independiente por Allen Shields en 1955 y nuevamente por Lester Dubins en 1956. ^[3] John R. Isbell también planteó la pregunta de una forma más general en 1957. ^[4] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Durante la década de 1960, los matemáticos pudieron demostrar que la conjetura de la función conmutativa se cumplía cuando se hacían ciertas suposiciones sobre y . ^{[1] [5]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

En 1963, Ralph DeMarr demostró que si y son ambos Lipschitz continuos , y si la constante de Lipschitz de ambos es , entonces y tendrán un punto fijo común. ^[6] Gerald Jungck refinó las condiciones de DeMarr, mostrando que no necesitan ser Lipschitz continuos, sino que satisfacen criterios similares pero menos restrictivos. ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \geq 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Adoptando un enfoque diferente, Haskell Cohen demostró en 1964 que y tendrán un punto fijo común si ambas son continuas y también abiertas. ^[8] Más tarde, tanto Jon H. Folkman como James T. Joichi, trabajando independientemente, ampliaron el trabajo de Cohen, demostrando que sólo es necesario que una de las dos funciones sea abierta. ^{[9] [10]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

En 1965, John Maxfield y WJ Mourant demostraron que las funciones conmutativas en el intervalo unitario tienen un punto fijo común si una de las funciones no tiene periodo 2 puntos (es decir, implica ). ^[11] Al año siguiente, Sherwood Chu y RD Moyer descubrieron que la conjetura se cumple cuando hay un subintervalo en el que una de las funciones tiene un punto fijo y la otra no tiene periodo 2 puntos. ^[12] ${\displaystyle f(f(x))=x}$ ${\displaystyle f(x)=x}$

El contraejemplo de Boyce

William M. Boyce obtuvo su doctorado en la Universidad de Tulane en 1967. ^[13] En su tesis, Boyce identificó un par de funciones que conmutan bajo composición, pero no tienen un punto fijo común, lo que demuestra que la conjetura del punto fijo es falsa. ^[14]

En 1963, Glenn Baxter y Joichi publicaron un artículo sobre los puntos fijos de la función compuesta . Se sabía que las funciones y permutan los puntos fijos de . Baxter y Joichi observaron que en cada punto fijo, el gráfico de debe cruzar la diagonal hacia arriba (un "cruce hacia arriba"), o hacia abajo (un "cruce hacia abajo"), o tocar la diagonal y luego alejarse en la dirección opuesta. ^[15] En un artículo independiente, Baxter demostró que las permutaciones deben preservar el tipo de cada punto fijo (cruce hacia arriba, cruce hacia abajo, tocar) y que solo se permiten ciertos ordenamientos. ^[4] ${\displaystyle h(x)=f(g(x))=g(f(x))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

Boyce escribió un programa de computadora para generar permutaciones que seguían las reglas de Baxter, a las que llamó " permutaciones de Baxter ". ^{[1] [16] [17]} Su programa excluía cuidadosamente aquellas que podían demostrarse trivialmente que tenían puntos fijos o que eran analíticamente equivalentes a otros casos. Después de eliminar más del 97% de las posibles permutaciones mediante este proceso, ^[18] Boyce construyó pares de funciones conmutativas a partir de los candidatos restantes y pudo demostrar que uno de esos pares, basado en una permutación de Baxter con 13 puntos de cruce en la diagonal, no tenía un punto fijo común.

El artículo de Boyce es uno de los primeros ejemplos de una demostración asistida por ordenador . ^[5] En la década de 1960, era poco común que los matemáticos confiaran en los ordenadores para la investigación, ^{[19] [5]} pero Boyce, que entonces servía en el ejército, tenía acceso a los ordenadores del Laboratorio Lincoln del MIT . Boyce publicó un artículo independiente en el que describía su proceso para generar permutaciones de Baxter, incluido el código fuente FORTRAN de su programa. ^[18]

El contraejemplo de Huneke

John P. Huneke también investigó el problema del punto fijo común para su doctorado en la Universidad Wesleyana, que también recibió en 1967. En su tesis, Huneke proporciona dos ejemplos de pares de funciones que conmutan pero no tienen puntos fijos comunes, utilizando dos estrategias diferentes. ^[20] El primero de los ejemplos de Huneke es esencialmente idéntico al de Boyce, aunque Huneke llegó a él a través de un proceso diferente. ^[21]

La solución de Huneke se basa en el problema de la escalada de montañas [ ^22], que establece que dos escaladores que escalan montañas separadas de igual altura podrán escalar de tal manera que siempre estarán a la misma altura en cada punto del tiempo. Huneke utilizó este principio para construir secuencias de funciones que convergerán al contraejemplo del problema del punto fijo común.

El artículo de Huneke se destaca por su enfoque de primeros principios para resolver el problema, sin basarse en ningún trabajo realizado por matemáticos anteriores. ^{[ cita requerida ]}

Investigaciones posteriores

Aunque el descubrimiento de contraejemplos por Boyce y Huneke significó que se perdiera la búsqueda, que había durado una década, de una prueba de la conjetura de la función conmutativa, permitió a los investigadores centrar sus esfuerzos en investigar en qué condiciones, además de las ya descubiertas, la conjetura todavía podría ser cierta. ^[1]

Boyce amplió el trabajo de Maxfield/Mourant y Chu/Moyer en 1971, demostrando que bajo ciertas circunstancias, las funciones conmutativas pueden tener un punto fijo común incluso si una de las funciones tiene puntos fijos de período 2. ^[23] Su trabajo fue ampliado posteriormente por Theodore Mitchell, Julio Cano y Jacek R. Jachymski. ^{[24] [25] [26]}

Más de 25 años después de la publicación de su primer artículo, Jungck definió condiciones adicionales bajo las cuales y tendrán un punto fijo común, basándose en las nociones de puntos periódicos y el conjunto de coincidencia de las funciones, es decir, los valores para los cuales . ^[27] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)}$

Las permutaciones de Baxter se han convertido en un tema de investigación por derecho propio y se han aplicado a otros problemas más allá del problema común del punto fijo. ^{[ cita requerida ]}

Referencias

1. McDowell, Eric L. (5 de agosto de 2009). "Valores de coincidencia de funciones conmutativas" (PDF) . Actas de Topología . 34 : 365–384.
2. Block, HD; Thielman, HP (1951). "Polinomios conmutativos". Revista trimestral de matemáticas . 2 (1): 241–243. doi :10.1093/qmath/2.1.241.
3. Shields, Allen L. (1964). "Sobre puntos fijos de funciones analíticas conmutativas" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 15 (5): 703–706. doi :10.1090/S0002-9939-1964-0165508-3.
4. Baxter, Glenn (diciembre de 1964). "Sobre puntos fijos de la composición de funciones conmutativas" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 15 (6): 851–855. doi :10.1090/S0002-9939-1964-0184217-8.
5. Brown, Robert F. (15 de enero de 2021). "Una buena pregunta no desaparece: un ejemplo de investigación matemática" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 128 (1). doi :10.1080/00029890.2021.1847592.
6. DeMarr, Ralph (1963). "Un teorema de punto fijo común para aplicaciones conmutativas". The American Mathematical Monthly . 70 (5): 535–537. doi :10.2307/2312067.
7. Jungck, Gerald (1966). "Aplicaciones de conmutación y puntos fijos comunes". The American Mathematical Monthly . 73 (7): 735–738. doi :10.2307/2313982.
8. Cohen, Haskell (1964). "Sobre puntos fijos de funciones conmutativas" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 15 (2): 293–296. doi :10.1090/S0002-9939-1964-0184219-1.
9. Folkman, Jon H. (1966). "Sobre funciones que conmutan con funciones completas" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 17 (2): 383–386. doi :10.1090/S0002-9939-1966-0190916-6. ISSN  0002-9939.
10. Joichi, James T. (1966). "Sobre funciones que conmutan con funciones completas y puntos fijos comunes". Nieuw. Arch. Wiss . 14 : 247–251.
11. Maxfield, J.; Mourant, W. (1965). "Puntos fijos comunes de funciones continuas conmutativas en el intervalo unitario" (PDF) . Indag. Math . 27 : 668–670. doi :10.1016/S1385-7258(65)50068-8.
12. Chu, S.; Moyer, R. (1966). "Sobre funciones continuas, funciones conmutativas y puntos fijos" (PDF) . Fondo. Matemáticas . 59 : 91–95. doi :10.4064/fm-59-1-91-95.
13. "Tesis de matemáticas". Universidad de Tulane . Consultado el 15 de octubre de 2024 .
14. Boyce, William M. (marzo de 1969). "Funciones conmutativas sin punto fijo común" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 137 : 77–92. doi :10.1090/S0002-9947-1969-0236331-5.
15. Baxter, Glen; Joichi, JT (1963). "Sobre permutaciones inducidas por funciones conmutativas y una cuestión de incrustación". Mathematica Scandinavica . 13 (2): 140–150. ISSN  0025-5521.
16. McCroskey, Erin J. (2013). El problema del punto fijo común ampliado [Tesis de maestría] . Universidad Tecnológica de Tennessee.
17. Mallows, C. L (1979-11-01). "Las permutaciones de Baxter vuelven a surgir". Journal of Combinatorial Theory, Serie A . 27 (3): 394–396. doi :10.1016/0097-3165(79)90034-7. ISSN  0097-3165.
18. Boyce, William M. (1967). "Generación de una clase de permutaciones asociadas con funciones conmutativas" (PDF) . Algoritmos matemáticos . 2 : 19–26.
19. LaSalle, JP, ed. (1974). La influencia de la informática en la investigación y la educación matemática . American Mathematical Society. pp. vii-viii. La computadora, utilizada de manera inteligente por relativamente pocos matemáticos hasta el momento, ha demostrado ser una herramienta empírica importante...
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26. Jachymski, Jacek (1996). "Condiciones equivalentes que involucran puntos fijos comunes para aplicaciones en el intervalo unitario" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 124 (10): 3229–3233. doi :10.1090/S0002-9939-96-03397-7. ISSN  0002-9939.
27. Jungck, Gerald (1992). "Puntos fijos comunes para aplicaciones compatibles en el intervalo unitario" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 115 (2): 495–499. doi :10.1090/S0002-9939-1992-1105040-0. ISSN  0002-9939.