Esta tabla muestra las 11 teselaciones uniformes convexas (regulares y semirregulares) del plano euclidiano y sus teselaciones duales.
Hay tres teselas regulares y ocho semirregulares en el plano. Las teselas semirregulares forman nuevas teselas a partir de sus duales, cada una formada por un tipo de cara irregular.
John Conway llamó a estos duales uniformes teselación catalana , en paralelo a los poliedros sólidos catalanes .
Los mosaicos uniformes se enumeran según su configuración de vértices , la secuencia de caras que existen en cada vértice. Por ejemplo, 4.8.8 significa un cuadrado y dos octógonos en un vértice.
Estos 11 mosaicos uniformes tienen 32 colores uniformes diferentes . Un color uniforme permite que los polígonos de lados idénticos en un vértice se coloreen de manera diferente, manteniendo al mismo tiempo la uniformidad de vértices y la congruencia transformacional entre vértices. (Nota: Algunas de las imágenes de mosaicos que se muestran a continuación no tienen colores uniformes).
Además de los 11 teselados uniformes convexos, también se conocen 14 teselados no convexos , que utilizan polígonos en estrella y configuraciones de vértices con orientación inversa. Se conocen otros 28 teselados uniformes que utilizan apeirógonos . Si también se permiten los zigzags, se conocen 23 teselados uniformes más y 10 familias más que dependen de un parámetro: en 8 casos el parámetro es continuo y en los otros 2 es discreto. No se sabe si el conjunto está completo.
En el libro de 1987, Tilings and patterns , Branko Grünbaum llama a los tiles uniformes de vértice arquimedianos , en paralelo a los sólidos arquimedianos . Sus tiles duales se llaman tiles de Laves en honor al cristalógrafo Fritz Laves . [1] [2] También se llaman tiles de Shubnikov-Laves en honor a Aleksei Shubnikov . [3] John Conway llamó a los duales uniformes tiles catalanes , en paralelo a los poliedros sólidos catalanes .
Los mosaicos de Laves tienen vértices en los centros de los polígonos regulares y aristas que conectan centros de polígonos regulares que comparten una arista. Las teselas de los mosaicos de Laves se llaman planigones . Esto incluye las 3 teselas regulares (triángulo, cuadrado y hexágono) y las 8 irregulares. [4] Cada vértice tiene aristas espaciadas uniformemente a su alrededor. Los análogos tridimensionales de los planigones se llaman estereoedros .
Estos mosaicos duales se enumeran por su configuración de caras , la cantidad de caras en cada vértice de una cara. Por ejemplo, V4.8.8 significa mosaicos de triángulos isósceles con una esquina con cuatro triángulos y dos esquinas que contienen ocho triángulos. Las orientaciones de los planigones de vértices (hasta D 12 ) son consistentes con los diagramas de vértices en las secciones siguientes.
Todas las formas reflexivas pueden hacerse mediante construcciones de Wythoff , representadas por símbolos de Wythoff o diagramas de Coxeter-Dynkin , cada uno operando sobre uno de los tres triángulos de Schwarz (4,4,2), (6,3,2) o (3,3,3), con simetría representada por grupos de Coxeter : [4,4], [6,3] o [3 [3] ]. Las formas alternadas , como el romo, también pueden representarse mediante marcas especiales dentro de cada sistema. Solo un mosaico uniforme no puede construirse mediante un proceso de Wythoff, pero puede hacerse mediante una elongación del mosaico triangular. También existe una construcción de espejo ortogonal [∞,2,∞], vista como dos conjuntos de espejos paralelos que forman un dominio fundamental rectangular. Si el dominio es cuadrado, esta simetría puede duplicarse mediante un espejo diagonal en la familia [4,4].
Familias:
Hay un total de 32 coloraciones uniformes de los 11 mosaicos uniformes:
