Geometría rupeinadora

La geometría de Ruppeiner es geometría termodinámica (un tipo de geometría de la información ) que utiliza el lenguaje de la geometría de Riemann para estudiar la termodinámica . George Ruppeiner lo propuso en 1979. Afirmó que los sistemas termodinámicos se pueden representar mediante la geometría de Riemann y que se pueden derivar propiedades estadísticas del modelo.

Este modelo geométrico se basa en la inclusión de la teoría de las fluctuaciones en los axiomas de la termodinámica del equilibrio , es decir, existen estados de equilibrio que pueden representarse mediante puntos en una superficie bidimensional (colectora) y la distancia entre estos estados de equilibrio está relacionada con la fluctuación entre ellos. Este concepto está asociado a las probabilidades, es decir, cuanto menos probable es una fluctuación entre estados, más separados están. Esto se puede reconocer si se considera el tensor métrico g _ij en la fórmula de distancia (elemento lineal) entre los dos estados de equilibrio.

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}^{R}dx^{i}dx^{j},\,}$

donde la matriz de coeficientes g _ij es el tensor métrico simétrico que se llama métrica de Ruppeiner , definido como un hessiano negativo de la función de entropía

${\displaystyle g_{ij}^{R}=-\partial _{i}\partial _{j}S(U,N^{a})}$

donde U es la energía interna (masa) del sistema y Na ^se refiere a los parámetros extensos del sistema. Matemáticamente, la geometría de Ruppeiner es un tipo particular de geometría de la información y es similar a la métrica de Fisher-Rao utilizada en estadística matemática.

La métrica de Ruppeiner puede entenderse como el límite termodinámico (límite de sistemas grandes) de la métrica de información de Fisher más general . ^[1] Para sistemas pequeños (sistemas donde las fluctuaciones son grandes), es posible que la métrica de Ruppeiner no exista, ya que no se garantiza que las segundas derivadas de la entropía no sean negativas.

La métrica de Ruppeiner está relacionada conformemente con la métrica de Weinhold a través de

${\displaystyle ds_{R}^{2}={\frac {1}{T}}ds_{W}^{2}\,}$

donde T es la temperatura del sistema considerado. La prueba de la relación conforme se puede realizar fácilmente cuando se escribe la primera ley de la termodinámica (dU=TdS+...) en forma diferencial con algunas manipulaciones. La geometría de Weinhold también se considera una geometría termodinámica. Se define como un hessiano de la energía interna con respecto a la entropía y otros parámetros extensos.

${\displaystyle g_{ij}^{W}=\partial _{i}\partial _{j}U(S,N^{a})}$

Durante mucho tiempo se ha observado que la métrica de Ruppeiner es plana para sistemas con mecánicas estadísticas subyacentes que no interactúan, como el gas ideal. Las singularidades de curvatura señalan comportamientos críticos. Además, se ha aplicado a varios sistemas estadísticos, incluido el gas de Van der Waals . Recientemente se ha estudiado el gas anyon utilizando este enfoque.

Aplicación a sistemas de agujeros negros.

Esta geometría se ha aplicado a la termodinámica de los agujeros negros , con algunos resultados físicamente relevantes. El caso físicamente más significativo es el del agujero negro de Kerr en dimensiones superiores, donde la singularidad de la curvatura indica inestabilidad termodinámica, como se descubrió anteriormente mediante métodos convencionales.

La entropía de un agujero negro viene dada por la conocida fórmula de Bekenstein-Hawking

${\displaystyle S={\frac {k_{B}c^{3}A}{4G\hbar }}}$

donde es la constante de Boltzmann , la velocidad de la luz , la constante de Newton y es el área del horizonte de sucesos del agujero negro. Calcular la geometría de Ruppeiner de la entropía del agujero negro es, en principio, sencillo, pero es importante que la entropía se escriba en términos de parámetros extensos, ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle S=S(M,N^{a})}$

donde es la masa ADM del agujero negro y son las cargas conservadas y van de 1 a n. La firma de la métrica refleja el signo del calor específico del agujero . Para un agujero negro de Reissner-Nordström , la métrica de Ruppeiner tiene una firma lorentziana que corresponde a la capacidad calorífica negativa que posee, mientras que para el agujero negro BTZ , tenemos una firma euclidiana . Este cálculo no se puede hacer para el agujero negro de Schwarzschild, porque su entropía es ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N^{a}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle S=S(M)}$

lo que hace que la métrica degenere.

Referencias

1. Ladrones, Gavin E. (2007). "Medición de la longitud termodinámica". Física. Rev. Lett . 99 : 100602. arXiv : 0706.0559 . Código bibliográfico : 2007PhRvL..99j0602C. doi :10.1103/PhysRevLett.99.100602.

• Ruppeiner, George (1995). "Geometría de Riemann en la teoría de la fluctuación termodinámica". Reseñas de Física Moderna . 67 (3): 605–659. Código Bib : 1995RvMP...67..605R. doi :10.1103/RevModPhys.67.605..
• Aman, John E.; Bengtsson, Ingemar; Pidokrajt, Narit; Ward, John (2008). "Geometrías termodinámicas de los agujeros negros". La XI Reunión de Marcel Grossmann . págs. 1511-1513. doi :10.1142/9789812834300_0182.