Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking

Resultados clave en relatividad general sobre singularidades gravitacionales

Los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking (después de Roger Penrose y Stephen Hawking ) son un conjunto de resultados de la relatividad general que intentan responder a la pregunta de cuándo la gravitación produce singularidades . El teorema de singularidad de Penrose es un teorema de la geometría semi-riemanniana y su interpretación relativista general predice una singularidad gravitacional en la formación de agujeros negros. El teorema de la singularidad de Hawking se basa en el teorema de Penrose y se interpreta como una singularidad gravitacional en la situación del Big Bang . Penrose recibió el Premio Nobel de Física en 2020 "por el descubrimiento de que la formación de agujeros negros es una predicción sólida de la teoría general de la relatividad", que compartió con Reinhard Genzel y Andrea Ghez . ^[1]

Singularidad

Una singularidad en las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein es una de tres cosas:

• Singularidades espaciales: la singularidad se encuentra en el futuro o el pasado de todos los eventos dentro de una determinada región. La singularidad del Big Bang y la singularidad típica dentro de un agujero negro de Schwarzschild sin carga y que no gira son espaciales.
• Singularidades temporales: son singularidades que un observador puede evitar porque no están necesariamente en el futuro de todos los eventos. Un observador podría moverse alrededor de una singularidad temporal. Éstos son menos comunes en las soluciones conocidas de las ecuaciones de campo de Einstein .
• Singularidades nulas: estas singularidades ocurren en superficies nulas o similares a la luz. Un ejemplo podría encontrarse en ciertos tipos de interiores de agujeros negros, como el horizonte de Cauchy de un agujero negro cargado ( Reissner-Nordström ) o giratorio ( Kerr ).

Una singularidad puede ser fuerte o débil:

• Singularidades débiles: una singularidad débil es aquella en la que las fuerzas de marea (que son responsables de la espaguetificación en los agujeros negros) no son necesariamente infinitas. Un observador que caiga en una singularidad débil podría no quedar destrozado antes de alcanzar la singularidad, aunque las leyes de la física todavía fallarían allí. El horizonte de Cauchy dentro de un agujero negro cargado o en rotación podría ser un ejemplo de singularidad débil.
• Singularidades fuertes: una singularidad fuerte es aquella en la que las fuerzas de marea se vuelven infinitas. En una singularidad fuerte, cualquier objeto sería destruido por infinitas fuerzas de marea a medida que se acerca a la singularidad. La singularidad en el centro de un agujero negro de Schwarzschild es un ejemplo de singularidad fuerte.

Las singularidades espaciales son una característica de los agujeros negros no giratorios y no cargados como se describe en la métrica de Schwarzschild , mientras que las singularidades temporales son aquellas que ocurren en soluciones exactas de agujeros negros cargados o giratorios. Ambos tienen la propiedad de incompletitud geodésica , en la que algún camino de luz o algún camino de partículas no puede extenderse más allá de un cierto tiempo adecuado o parámetro afín (el parámetro afín es el análogo nulo del tiempo adecuado).

El teorema de Penrose garantiza que dentro de cualquier agujero negro se produce algún tipo de incompletitud geodésica siempre que la materia satisface condiciones energéticas razonables . La condición de energía requerida para el teorema de la singularidad del agujero negro es débil: dice que los rayos de luz siempre están enfocados juntos por la gravedad, nunca separados, y esto se cumple siempre que la energía de la materia no sea negativa.

El teorema de singularidad de Hawking es para todo el universo y funciona hacia atrás en el tiempo: garantiza que el Big Bang (clásico) tiene una densidad infinita. ^[2] Este teorema es más restringido y solo se cumple cuando la materia obedece a una condición de energía más fuerte, llamada condición de energía fuerte , en la que la energía es mayor que la presión. Toda la materia ordinaria, con excepción del valor esperado del vacío de un campo escalar , obedece a esta condición. Durante la inflación , el universo viola la condición energética dominante, e inicialmente se argumentó (por ejemplo, por Starobinsky ^[3] ) que las cosmologías inflacionarias podrían evitar la singularidad inicial del big bang. Sin embargo, desde entonces se ha demostrado que las cosmologías inflacionarias todavía están incompletas en el pasado ^[4] y, por lo tanto, requieren física distinta de la inflación para describir el límite pasado de la región inflada del espacio-tiempo.

Todavía es una cuestión abierta si la relatividad general (clásica) predice singularidades espaciales en el interior de agujeros negros realistas cargados o giratorios, o si estos son artefactos de soluciones de alta simetría y se convierten en singularidades nulas o temporales cuando se agregan perturbaciones.

Interpretación y significado

En la relatividad general , una singularidad es un lugar al que pueden llegar objetos o rayos de luz en un tiempo finito donde la curvatura se vuelve infinita, o el espaciotiempo deja de ser múltiple . Las singularidades se pueden encontrar en todos los espacio-tiempos de los agujeros negros, la métrica de Schwarzschild , la métrica de Reissner-Nordström , la métrica de Kerr y la métrica de Kerr-Newman , y en todas las soluciones cosmológicas que no tienen una energía de campo escalar o una constante cosmológica. ^{[ cita necesaria ]}

No se puede predecir lo que podría "resultar" de una singularidad de big bang en nuestro pasado, o qué le sucede a un observador que "cae" en una singularidad de agujero negro en el futuro, por lo que requieren una modificación de la ley física. Antes de Penrose, era concebible que las singularidades sólo se formaran en situaciones artificiales. Por ejemplo, en el colapso de una estrella para formar un agujero negro, si la estrella está girando y por lo tanto posee cierto momento angular , tal vez la fuerza centrífuga contrarreste en parte la gravedad e impida que se forme una singularidad. Los teoremas de la singularidad demuestran que esto no puede suceder y que siempre se formará una singularidad una vez que se forme un horizonte de eventos .

En el ejemplo de la estrella que colapsa, dado que toda la materia y la energía son una fuente de atracción gravitacional en la relatividad general, el momento angular adicional sólo atrae a la estrella con más fuerza a medida que se contrae: la parte fuera del horizonte de sucesos eventualmente se asienta en un agujero negro de Kerr. (ver Teorema sin pelo ). La parte dentro del horizonte de sucesos necesariamente tiene una singularidad en alguna parte. La prueba es algo constructiva: muestra que la singularidad se puede encontrar siguiendo los rayos de luz desde una superficie justo dentro del horizonte. Pero la prueba no dice qué tipo de singularidad ocurre, espacial, temporal, nula, orbifold , discontinuidad de salto en la métrica. Sólo garantiza que si uno sigue las geodésicas temporales hacia el futuro, es imposible que el límite de la región que forman sea generado por las geodésicas nulas desde la superficie. Esto significa que la frontera debe surgir de la nada o todo el futuro termina en alguna extensión finita.

Los teoremas de singularidad revelan una característica "filosófica" interesante de la relatividad general. Debido a que la relatividad general predice la inevitable aparición de singularidades, la teoría no está completa sin una especificación de lo que sucede con la materia que choca con la singularidad. Se puede extender la relatividad general a una teoría de campo unificado, como el sistema Einstein-Maxwell-Dirac, donde no ocurren tales singularidades.

Elementos de los teoremas

En la historia, existe una conexión profunda entre la curvatura de una variedad y su topología . El teorema de Bonnet-Myers establece que una variedad de Riemann completa que tiene una curvatura de Ricci mayor que una determinada constante positiva debe ser compacta . La condición de curvatura de Ricci positiva se expresa más convenientemente de la siguiente manera: para cada geodésica hay una geodésica cercana inicialmente paralela que se doblará hacia ella cuando se extienda, y las dos se cruzarán en una longitud finita.

Cuando dos geodésicas paralelas cercanas se cruzan (ver punto conjugado ), la extensión de cualquiera de ellas ya no es el camino más corto entre los puntos finales. La razón es que dos caminos geodésicos paralelos necesariamente chocan después de una extensión de igual longitud, y si se sigue un camino hasta la intersección y luego el otro, estás conectando los puntos finales mediante un camino no geodésico de igual longitud. Esto significa que para que una geodésica sea el camino de longitud más corta, nunca debe cruzarse con geodésicas paralelas vecinas.

Comenzando con una pequeña esfera y enviando geodésicas paralelas desde el límite, suponiendo que la variedad tiene una curvatura de Ricci limitada por debajo por una constante positiva, ninguna de las geodésicas es el camino más corto después de un tiempo, ya que todas chocan con una vecina. Esto significa que después de una cierta extensión se han alcanzado todos los puntos potencialmente nuevos. Si todos los puntos de una variedad conectada están a una distancia geodésica finita de una esfera pequeña, la variedad debe ser compacta.

Roger Penrose argumentó de manera análoga en relatividad. Si se siguen geodésicas nulas , las trayectorias de los rayos de luz , hacia el futuro, se generan puntos en el futuro de la región. Si un punto está en el límite del futuro de una región, sólo se puede llegar a él yendo a la velocidad de la luz, no más lento, por lo que las geodésicas nulas incluyen todo el límite del futuro propio de una región. ^{[ cita necesaria ]} Cuando las geodésicas nulas se cruzan, ya no están en el límite del futuro, están en el interior del futuro. Entonces, si todas las geodésicas nulas chocan, no hay límite para el futuro.

En relatividad, la curvatura de Ricci, que determina las propiedades de colisión de las geodésicas, está determinada por el tensor de energía , y su proyección sobre los rayos de luz es igual a la proyección nula del tensor de energía-momento y siempre es no negativa. Esto implica que el volumen de una congruencia de geodésicas nulas paralelas una vez que comienza a disminuir, llegará a cero en un tiempo finito. Una vez que el volumen es cero, hay un colapso en alguna dirección, por lo que cada geodésica intersecta a algún vecino.

Penrose concluyó que siempre que haya una esfera donde inicialmente convergen todos los rayos de luz salientes (y entrantes), el límite del futuro de esa región terminará después de una extensión finita, porque todas las geodésicas nulas convergerán. ^[5] Esto es significativo, porque los rayos de luz salientes de cualquier esfera dentro del horizonte de una solución de agujero negro son todos convergentes, por lo que el límite del futuro de esta región es compacto o proviene de la nada. El futuro del interior termina después de una extensión finita o tiene un límite que eventualmente se genera por nuevos rayos de luz que no pueden rastrearse hasta la esfera original.

Naturaleza de una singularidad

Los teoremas de singularidad utilizan la noción de incompletitud geodésica como sustituto de la presencia de curvaturas infinitas. La incompletitud geodésica es la noción de que existen geodésicas , caminos de los observadores a través del espacio-tiempo, que solo pueden extenderse por un tiempo finito medido por un observador que viaja a lo largo de uno. Es de suponer que al final de la geodésica el observador cayó en una singularidad o se encontró con alguna otra patología en la que se rompen las leyes de la relatividad general.

Supuestos de los teoremas

Normalmente, un teorema de singularidad tiene tres ingredientes: ^[6]

1. Una condición energética al respecto,
2. Una condición sobre la estructura global del espacio-tiempo ,
3. La gravedad es lo suficientemente fuerte (en algún lugar) como para atrapar una región.

Hay varias posibilidades para cada ingrediente y cada una conduce a diferentes teoremas de singularidad.

Herramientas empleadas

Una herramienta clave utilizada en la formulación y prueba de los teoremas de singularidad es la ecuación de Raychaudhuri , que describe la divergencia de una congruencia (familia) de geodésicas. La divergencia de una congruencia se define como la derivada del log del determinante del volumen de congruencia. La ecuación de Raychaudhuri es ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

donde es el tensor de corte de la congruencia y también se conoce como escalar de Raychaudhuri (consulte la página de congruencia para obtener más detalles). El punto clave es que no será negativo siempre que se cumplan las ecuaciones de campo de Einstein y ^[6] ${\displaystyle \sigma _{ab}}$ ${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$ ${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

• la condición de energía nula se cumple y la congruencia geodésica es nula, o
• la condición de energía fuerte se mantiene y la congruencia geodésica es temporal.

Cuando se cumplen, la divergencia se vuelve infinita en algún valor finito del parámetro afín. Por lo tanto, todas las geodésicas que salen de un punto eventualmente volverán a converger después de un tiempo finito, siempre que se cumpla la condición de energía adecuada, un resultado también conocido como teorema de enfoque .

Esto es relevante para singularidades gracias al siguiente argumento:

1. Supongamos que tenemos un espacio-tiempo que es globalmente hiperbólico y dos puntos que pueden estar conectados por una curva temporal o nula . Entonces existe una geodésica de longitud máxima que conecta y . Llámelo geodésico . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \gamma }$
2. La geodésica se puede variar a una curva más larga si otra geodésica se cruza en otro punto, llamado punto conjugado . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$
3. Por el teorema de enfoque, sabemos que todas las geodésicas tienen puntos conjugados en valores finitos del parámetro afín. En particular, esto es cierto para la geodésica de longitud máxima. Pero esto es una contradicción: por lo tanto, se puede concluir que el espacio-tiempo es geodésicamente incompleto. ${\displaystyle p}$

En la relatividad general , existen varias versiones del teorema de singularidad de Penrose-Hawking . La mayoría de las versiones afirman, aproximadamente, que si hay una superficie nula atrapada y la densidad de energía no es negativa, entonces existen geodésicas de longitud finita que no se pueden extender. ^[7]

Estos teoremas, estrictamente hablando, prueban que existe al menos una geodésica no espacial que sólo es finitamente extensible al pasado, pero hay casos en los que las condiciones de estos teoremas se dan de tal manera que todos los caminos espacio-temporales dirigidos al pasado terminan en una singularidad.

Versiones

Hay muchas versiones; A continuación se muestra la versión nula:

Asumir

1. Se cumple la condición de energía nula .
2. Tenemos una superficie de Cauchy conexa no compacta .
3. Tenemos una superficie nula atrapada cerrada . ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Entonces, tenemos una incompletitud geodésica nula o curvas temporales cerradas .

Bosquejo de la prueba : Prueba por contradicción. El límite del futuro de , está generado por segmentos geodésicos nulos que se originan con vectores tangentes ortogonales a él. Al ser una superficie nula atrapada, según la ecuación nula de Raychaudhuri , ambas familias de rayos nulos que emanan encontrarán cáusticos. (Una cáustica por sí sola no es problemática. Por ejemplo, el límite del futuro de dos puntos separados en forma de espacio es la unión de dos conos de luz futuros con las partes interiores de la intersección eliminadas. Las cáusticas ocurren donde los conos de luz se cruzan, pero no hay singularidad allí.) Sin embargo, las geodésicas nulas que se generan deben terminar, es decir, alcanzar sus puntos finales futuros en o antes de las cáusticas. De lo contrario, podemos tomar dos segmentos geodésicos nulos (que cambian en la cáustica) y luego deformarlos ligeramente para obtener una curva temporal que conecta un punto en el límite con un punto en , una contradicción. Pero como es compacto, dada una parametrización afín continua de los generadores geodésicos, existe un límite inferior para el valor absoluto del parámetro de expansión. Entonces, sabemos que se desarrollarán cáusticas para cada generador antes de que haya transcurrido un límite uniforme en el parámetro afín. En consecuencia, tiene que ser compacto. O tenemos curvas temporales cerradas, o podemos construir una congruencia mediante curvas temporales, y cada una de ellas tiene que cruzar la superficie de Cauchy no compacta exactamente una vez. Considere todas esas curvas temporales que las atraviesan y observe su imagen en la superficie de Cauchy. Al ser un mapa continuo, la imagen también tiene que ser compacta. Al ser una congruencia temporal , las curvas temporales no pueden intersecarse, por lo que el mapa es inyectivo . Si la superficie de Cauchy no fuera compacta, entonces la imagen tiene un límite. Suponemos que el espacio-tiempo viene en una sola pieza conectada. Pero es compacto y sin límites porque el límite de un límite está vacío. Un mapa inyectivo continuo no puede crear un límite, lo que nos da nuestra contradicción. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$

Lagunas : si existen curvas temporales cerradas, entonces las curvas temporales no tienen que cruzar la superficie parcial de Cauchy. Si la superficie de Cauchy fuera compacta, es decir, el espacio es compacto, los generadores geodésicos nulos del límite podrían cruzarse en todas partes porque pueden cruzarse en el otro lado del espacio.

También existen otras versiones del teorema que involucran la condición de energía fuerte o débil.

Gravedad modificada

En la gravedad modificada, las ecuaciones de campo de Einstein no se cumplen y, por lo tanto, estas singularidades no necesariamente surgen. Por ejemplo, en Gravedad Derivada Infinita , es posible que sea negativo incluso si se cumple la condición de energía nula. ^{[8] [9]} ${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

Notas

1. "El Premio Nobel de Física 2020". Premio Nobel.org . Consultado el 6 de octubre de 2020 .
2. Hawking, Stephen. "Propiedades de los universos en expansión". Biblioteca digital de Cambridge . Consultado el 24 de octubre de 2017 .
3. Starobinsky, Alexei A. (1980). "Un nuevo tipo de modelos cosmológicos isotrópicos sin singularidad". Letras de Física B. 91 (1): 99-102. Código bibliográfico : 1980PhLB...91...99S. doi :10.1016/0370-2693(80)90670-X.
4. Borde, Arvind; Guth, Alan H.; Vilenkin, Alexander (15 de abril de 2003). "Los espaciotiempos inflacionarios no son pasados ​​completos". Cartas de revisión física . 90 (15): 151301. arXiv : gr-qc/0110012 . Código bibliográfico : 2003PhRvL..90o1301B. doi : 10.1103/PhysRevLett.90.151301. ISSN  0031-9007. PMID  12732026. S2CID  46902994.
5. Hawking, SW y Ellis, GFR (1994). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-09906-4.
6. Hawking, Stephen y Penrose, Roger (1996). La naturaleza del espacio y el tiempo . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-03791-4.
7. "Lentes gravitacionales desde una perspectiva espacio-temporal". Archivado desde el original el 1 de marzo de 2007.
8. Conroy, Aindriú; Koshelev, Alexey S; Mazumdar, Anupam (2016). "Desenfoque de rayos nulos en gravedad derivada infinita". Revista de Cosmología y Física de Astropartículas . 2017 (1): 017. arXiv : 1605.02080 . Código Bib : 2017JCAP...01..017C. doi :10.1088/1475-7516/2017/01/017. S2CID  115136697.
9. Conroy, Aindriú; Edholm, James (2017). "Potencial newtoniano y completitud geodésica en gravedad derivada infinita". Revisión física D. 96 (4): 044012. arXiv : 1705.02382 . Código Bib : 2017PhRvD..96d4012E. doi : 10.1103/PhysRevD.96.044012. S2CID  45816145.

Referencias

• Hawking, Stephen y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09906-4.La referencia clásica.
• Natário, J. (2006). "Relatividad y singularidades: una breve introducción para matemáticos". Reseñas . 6 : 309–335. arXiv : math.DG/0603190 . Código Bib : 2006 matemáticas ...... 3190N.
• Penrose, Roger (1965), "Colapso gravitacional y singularidades espacio-temporales", Phys. Rev. Lett. , 14 (3): 57, Bibcode :1965PhRvL..14...57P, doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57
• Garfinkle, D.; Senovilla, JMM (2015), "El teorema de singularidad de Penrose de 1965", Clase. Gravedad cuántica. , 32 (12): 124008, arXiv : 1410.5226 , Bibcode :2015CQGra..32l4008S, doi :10.1088/0264-9381/32/12/124008, S2CID  54622511. También disponible como arXiv :1410.5226
• Kalvakota, Vaibhav R. (2021), "Una discusión sobre geometría y relatividad general"
• Consulte también arXiv :hep-th/9409195 para ver un capítulo relevante de The Large Scale Structure of Space Time .
• Witten, Edward (2020), "Rayos de luz, singularidades y todo eso", Rev. Mod. Física. 92 , 45004 (2020), https://doi.org/10.1103/RevModPhys.92.045004. También disponible como https://arxiv.org/abs/1901.03928. Una excelente revisión pedagógica de las propiedades causales de la Relatividad General .