Sobre la trascendencia de una gran clase de números
En matemáticas , el teorema de Gelfond-Schneider establece la trascendencia de una gran clase de números.
Historia
Fue probado originalmente de forma independiente en 1934 por Aleksandr Gelfond [1] y Theodor Schneider .
Declaración
- Si a y b son números algebraicos complejos y a y b no son racionales , entonces cualquier valor de a b es un número trascendental .
Comentarios
- Los valores de a y b no están restringidos a números reales ; Se permiten números complejos (aquí los números complejos no se consideran racionales cuando tienen una parte imaginaria distinta de 0, incluso si tanto la parte real como la imaginaria son racionales).
- En general, a b = exp( b ln a ) es multivaluado , donde ln representa el logaritmo natural . Esto explica la frase "cualquier valor de" en el enunciado del teorema.
- Una formulación equivalente del teorema es la siguiente: si α y γ son números algebraicos distintos de cero, y tomamos cualquier logaritmo distinto de cero de α , entonces (log γ )/(log α ) es racional o trascendental. Esto puede expresarse diciendo que si log α , log γ son linealmente independientes respecto de los racionales, entonces son linealmente independientes respecto de los números algebraicos. La generalización de esta afirmación a formas lineales más generales en logaritmos de varios números algebraicos está en el dominio de la teoría de números trascendental .
- Si se elimina la restricción de que a y b sean algebraicos, el enunciado no sigue siendo verdadero en general. Por ejemplo,
- Aquí, a es √ 2 √ 2 , lo cual (como lo demuestra el propio teorema) es trascendental en lugar de algebraico. De manera similar, si a = 3 y b = (log 2)/(log 3) , que es trascendental, entonces a b = 2 es algebraico. Se desconoce una caracterización de los valores de a y b que producen un a b trascendental .
- Kurt Mahler demostró el análogo p -ádico del teorema: si a y b están en C p , se completa la clausura algebraica de Q p , y son algebraicos sobre Q , y si y entonces es racional o trascendental, donde log p es la función logaritmo p -ádica .
Corolarios
La trascendencia de los siguientes números se desprende inmediatamente del teorema:
- Constante de Gelfond-Schneider y su raíz cuadrada
- constante de gelfond
Aplicaciones
El teorema de Gelfond-Schneider responde afirmativamente al séptimo problema de Hilbert .
Ver también
Referencias
- ^ Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Boletín de la Academia de Ciencias de la URSS. Classe des sciences mathématiques et na . VII (4): 623–634.
Otras lecturas
- Baker, Alan (1975), Teoría de números trascendental , Cambridge University Press , pág. 10, ISBN 978-0-521-20461-3, Zbl 0297.10013
- Feldman, NI; Nesterenko, Yu. V. (1998), Números trascendentales , Enciclopedia de ciencias matemáticas, vol. 44, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61467-2, señor 1603604
- Gel'fond, AO (1960) [1952], Números trascendentales y algebraicos, ediciones Dover Phoenix, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, señor 0057921
- LeVeque, William J. (2002) [1956]. Temas de teoría de números, volúmenes I y II . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-42539-9.
- Niven, Iván (1956). Numeros irracionales . Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-011-7.
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Gelfond-Schneider". MundoMatemático .
enlaces externos
- Una prueba del teorema de Gelfond-Schneider