Teorema de Ehrenfest

Teorema de la mecánica cuántica

El teorema de Ehrenfest , que lleva el nombre del físico teórico austriaco Paul Ehrenfest , relaciona la derivada temporal de los valores esperados de los operadores de posición y momento x y p con el valor esperado de la fuerza sobre una partícula masiva que se mueve en un potencial escalar , ^[1] ${\displaystyle F=-V'(x)}$ ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\;\;{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(x)\right\rangle ~.}$

El teorema de Ehrenfest es un caso especial de una relación más general entre la expectativa de cualquier operador mecánico cuántico y la expectativa del conmutador de ese operador con el hamiltoniano del sistema ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,}$

donde A es algún operador de mecánica cuántica y ⟨ A ⟩ es su valor esperado .

Es más evidente en la visión de Heisenberg de la mecánica cuántica, donde equivale simplemente al valor esperado de la ecuación de movimiento de Heisenberg. Proporciona apoyo matemático al principio de correspondencia .

La razón es que el teorema de Ehrenfest está estrechamente relacionado con el teorema de la mecánica hamiltoniana de Liouville , que involucra el soporte de Poisson en lugar de un conmutador. La regla general de Dirac sugiere que los enunciados en mecánica cuántica que contienen un conmutador corresponden a enunciados en mecánica clásica donde el conmutador es reemplazado por un soporte de Poisson multiplicado por iħ . Esto hace que los valores esperados del operador obedezcan las ecuaciones de movimiento clásicas correspondientes, siempre que el hamiltoniano sea, como máximo, cuadrático en las coordenadas y los momentos. De lo contrario, las ecuaciones de evolución aún pueden cumplir aproximadamente , siempre que las fluctuaciones sean pequeñas.

Relación con la física clásica

Aunque, a primera vista, podría parecer que el teorema de Ehrenfest dice que los valores esperados de la mecánica cuántica obedecen a las ecuaciones de movimiento clásicas de Newton, en realidad no es así. ^[4] Si el par satisficiera la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación tendría que ser ${\displaystyle (\langle x\rangle ,\langle p\rangle )}$

$${\displaystyle -V'\left(\left\langle x\right\rangle \right),}$$

$${\displaystyle -\left\langle V'(x)\right\rangle .}$$

${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle \langle x\rangle ^{2}}$ ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$ ${\displaystyle x}$

Una excepción ocurre cuando las ecuaciones de movimiento clásicas son lineales, es decir, cuando son cuadráticas y lineales. En ese caso especial, y estoy de acuerdo. Por tanto, para el caso de un oscilador armónico cuántico, la posición esperada y el momento esperado siguen exactamente las trayectorias clásicas. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$

Para sistemas generales, si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto , entonces y será casi igual, ya que ambos serán aproximadamente iguales a . En ese caso, la posición esperada y el impulso esperado seguirán aproximadamente las trayectorias clásicas, al menos mientras la función de onda permanezca localizada en su posición. ^[5] ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'(x_{0})}$

Derivación en el cuadro de Schrödinger

Supongamos que algún sistema se encuentra actualmente en un estado cuántico Φ . Si queremos conocer la derivada instantánea en el tiempo del valor esperado de A , es decir, por definición

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi \,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\end{aligned}}}$$

ecuación de Schrödinger

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi }$$

Tomando el conjugado complejo encontramos ^[6]

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.}$$

Tenga en cuenta H = H  ^∗ , porque el hamiltoniano es hermitiano . Colocando esto en la ecuación anterior tenemos

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .}$$

A menudo (pero no siempre) el operador A es independiente del tiempo, por lo que su derivada es cero y podemos ignorar el último término.

Derivación en el cuadro de Heisenberg

En el cuadro de Heisenberg , la derivación es sencilla. La imagen de Heisenberg traslada la dependencia temporal del sistema a operadores en lugar de vectores de estado. Comenzando con la ecuación de movimiento de Heisenberg,

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],}$$

${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \Psi |}$

$${\displaystyle \left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle ,}$$

Uno puede tirar deld/dtfuera del primer término, ya que los vectores de estado ya no dependen del tiempo en la imagen de Heisenberg. Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle .}$$

ejemplo general

Para el ejemplo muy general de una partícula masiva que se mueve en un potencial , el hamiltoniano es simplemente

$${\displaystyle H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)}$$

x

Supongamos que queremos conocer el cambio instantáneo en la expectativa del impulso p . Usando el teorema de Ehrenfest, tenemos

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,}$$

ya que el operador p viaja consigo mismo y no depende del tiempo. ^[7] Desarrollando el lado derecho, reemplazando p por − iħ ∇ , obtenemos

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.}$$

Después de aplicar la regla del producto al segundo término, tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle .\end{aligned}}}$$

Como se explicó en la introducción, este resultado no dice que el par satisfaga la segunda ley de Newton , porque el lado derecho de la fórmula es en lugar de . Sin embargo, como se explica en la introducción, para estados que están altamente localizados en el espacio, la posición y el impulso esperados seguirán aproximadamente trayectorias clásicas, lo que puede entenderse como un ejemplo del principio de correspondencia . ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$ ${\displaystyle \langle F(x,t)\rangle ,}$ ${\displaystyle F(\langle X\rangle ,t)}$

De manera similar, podemos obtener el cambio instantáneo en el valor esperado de la posición.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}}$$

En realidad, este resultado concuerda exactamente con la ecuación clásica.

Derivación de la ecuación de Schrödinger a partir de los teoremas de Ehrenfest

Anteriormente se estableció que los teoremas de Ehrenfest son consecuencias de la ecuación de Schrödinger . Sin embargo, lo contrario también es cierto: la ecuación de Schrödinger se puede deducir de los teoremas de Ehrenfest. ^[8] Comenzamos desde

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {x}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle ,\\[5pt]{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|-V'({\hat {x}})\left|\Psi (t)\right\rangle .\end{aligned}}}$$

La aplicación de la regla del producto conduce a

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {x}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {x}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi {\Big |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Big |}\Psi \right\rangle ,\\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {p}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {p}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}}$$

el teorema de StoneĤ

$${\displaystyle i\hbar \left|{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ~,}$$

ħĤ :

$${\displaystyle im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar V'({\hat {x}}).}$$

Suponiendo que los observables de la coordenada y el momento obedecen a la relación de conmutación canónica [ x̂ , p̂ ] = iħ . En configuración , las ecuaciones del conmutador se pueden convertir en ecuaciones diferenciales ^{[8] [9]} ${\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})}$

$${\displaystyle m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}=V'(x),}$$

hamiltoniano cuántico

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}).}$$

De donde, la ecuación de Schrödinger se derivó de los teoremas de Ehrenfest asumiendo la relación de conmutación canónica entre la coordenada y el momento. Si se supone que las coordenadas y el momento conmutan, el mismo método computacional conduce a la mecánica clásica de Koopman-von Neumann , que es la formulación espacial de Hilbert de la mecánica clásica . ^[8] Por lo tanto, esta derivación, así como la derivación de la mecánica de Koopman-von Neumann , muestra que la diferencia esencial entre la mecánica cuántica y la clásica se reduce al valor del conmutador [ x̂ , p̂ ] .

Las implicaciones del teorema de Ehrenfest para sistemas con dinámica clásicamente caótica se analizan en el artículo de Scholarpedia Tiempo y caos de Ehrenfest. Debido a la inestabilidad exponencial de las trayectorias clásicas, se demuestra que el tiempo de Ehrenfest, en el que existe una correspondencia completa entre la evolución cuántica y la clásica, es logarítmicamente corto y proporcional a un logaritmo de un número cuántico típico. Para el caso de la dinámica integrable esta escala de tiempo es mucho mayor siendo proporcional a una determinada potencia del número cuántico.

Notas

1. Salón 2013 Sección 3.7.5
2. Ehrenfest, P. (1927). "Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik Innerhalb der Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 45 (7–8): 455–457. Código bibliográfico : 1927ZPhy...45..455E. doi :10.1007/BF01329203. S2CID  123011242.
3. Smith, Henrik (1991). Introducción a la Mecánica Cuántica . World Scientific Pub Co Inc. págs. 108-109. ISBN 978-9810204754.
4. Wheeler, Nicolás. "Observaciones sobre el estado y algunas ramificaciones del teorema de Ehrenfest" (PDF) .
5. Salón 2013 p. 78
6. En notación bra-ket , entonces, ¿dónde está el operador hamiltoniano y H es el hamiltoniano representado en el espacio de coordenadas (como es el caso en la derivación anterior)? En otras palabras, aplicamos la operación adjunta a toda la ecuación de Schrödinger, lo que invirtió el orden de las operaciones para H y Φ . ${\displaystyle \phi ^{*}=\langle \phi ,x\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \phi |x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |{\hat {H}}|x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |x\rangle H={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H,}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$
7. Aunque el valor esperado del impulso ⟨ p ⟩ , que es una función del tiempo valorada en números reales , dependerá del tiempo, el operador de impulso en sí, p , no la tiene, en esta imagen: más bien, el operador de impulso es una constante Operador lineal en el espacio de Hilbert del sistema. La dependencia temporal del valor esperado, en esta imagen, se debe a la evolución temporal de la función de onda para la cual se calcula el valor esperado. Un ejemplo ad hoc de un operador que sí depende del tiempo es ⟨ xt ² ⟩ , donde x es el operador de posición ordinario y t es solo el tiempo (no operador), un parámetro.
8. Bondar, D.; Cabrera, R.; Lompay, R.; Ivanov, M.; Rabitz, H. (2012). "Modelado dinámico operativo que trasciende la mecánica clásica y cuántica". Cartas de revisión física . 109 (19): 190403. arXiv : 1105.4014 . Código bibliográfico : 2012PhRvL.109s0403B. doi :10.1103/PhysRevLett.109.190403. PMID  23215365. S2CID  19605000.
9. Transtrum, MK; Van Huele, JFOS (2005). "Relaciones de conmutación para funciones de operadores". Revista de Física Matemática . 46 (6): 063510. Código bibliográfico : 2005JMP....46f3510T. doi :10.1063/1.1924703.

Referencias

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158