Teorema del jurado de Condorcet

Teorema de la ciencia política

Gráfico de probabilidades acumuladas de éxito (eje y) para unas cuantas distribuciones binomiales con una probabilidad individual de éxito dada (eje x) y un número de “jurados” (color).

El teorema del jurado de Condorcet es un teorema de ciencia política sobre la probabilidad relativa de que un grupo determinado de individuos llegue a una decisión correcta. El teorema fue expresado por primera vez por el Marqués de Condorcet en su obra de 1785 Ensayo sobre la aplicación del análisis a la probabilidad de las decisiones mayoritarias . ^[1]

Los supuestos del teorema son que un grupo desea alcanzar una decisión por mayoría de votos . Uno de los dos resultados de la votación es correcto y cada votante tiene una probabilidad independiente p de votar por la decisión correcta. El teorema pregunta cuántos votantes debemos incluir en el grupo. El resultado depende de si p es mayor o menor que 1/2:

• Si p es mayor que 1/2 (cada votante tiene más probabilidades de votar correctamente), entonces, al agregar más votantes, aumenta la probabilidad de que la decisión mayoritaria sea correcta. En el límite, la probabilidad de que la mayoría vote correctamente se acerca a 1 a medida que aumenta el número de votantes.
• Por otro lado, si p es menor que 1/2 (cada votante tiene más probabilidades de votar incorrectamente), entonces agregar más votantes empeora las cosas: el jurado óptimo está formado por un solo votante.

Desde Condorcet, muchos otros investigadores han demostrado varios otros teoremas del jurado , relajando algunos o todos los supuestos de Condorcet.

Pruebas

Prueba 1: Calcular la probabilidad de que dos votantes adicionales cambien el resultado

Para evitar la necesidad de una regla de desempate, suponemos que n es impar. Básicamente, el mismo argumento funciona para n par si los empates se resuelven añadiendo un solo votante.

Ahora supongamos que empezamos con n votantes y dejamos que m de estos votantes voten correctamente.

Consideremos lo que sucede cuando agregamos dos votantes más (para mantener el número total impar). El voto mayoritario cambia solo en dos casos:

• m era un voto demasiado pequeño para obtener la mayoría de los n votos, pero ambos nuevos votantes votaron correctamente.
• m era igual a la mayoría de los n votos, pero ambos nuevos votantes votaron incorrectamente.

El resto del tiempo, o bien los nuevos votos se anulan, sólo aumentan la brecha o no hacen una diferencia suficiente. Por lo tanto, sólo nos importa lo que sucede cuando un solo voto (entre los primeros n ) separa una mayoría correcta de una incorrecta.

Si nos centramos en este caso, podemos imaginar que los primeros n -1 votos se cancelan y que el voto decisivo lo emite el n -ésimo votante. En este caso, la probabilidad de obtener una mayoría correcta es simplemente p . Ahora supongamos que enviamos a los dos votantes adicionales. La probabilidad de que cambien una mayoría incorrecta por una mayoría correcta es (1- p ) p ² , mientras que la probabilidad de que cambien una mayoría correcta por una mayoría incorrecta es p (1- p ) ² . La primera de estas probabilidades es mayor que la segunda si y solo si p > 1/2, lo que demuestra el teorema.

Prueba 2: Calcular la probabilidad de que la decisión sea correcta

Esta prueba es directa; simplemente suma las probabilidades de las mayorías. Cada término de la suma multiplica el número de combinaciones de una mayoría por la probabilidad de esa mayoría. Cada mayoría se cuenta utilizando una combinación , n elementos tomados k a la vez, donde n es el tamaño del jurado y k es el tamaño de la mayoría. Las probabilidades varían de 0 (= el voto siempre es incorrecto) a 1 (= siempre correcto). Cada persona decide independientemente, por lo que las probabilidades de sus decisiones se multiplican. La probabilidad de cada decisión correcta es p . La probabilidad de una decisión incorrecta, q , es el opuesto de p , es decir, 1 − p . La notación de potencia, ie es una abreviatura de x multiplicaciones de p . ${\displaystyle p^{x}}$

La precisión de los comités o jurados se puede estimar fácilmente utilizando este enfoque en hojas de cálculo o programas de computadora.

Como ejemplo, tomemos el caso más simple de n = 3, p = 0,8. Necesitamos demostrar que 3 personas tienen una probabilidad mayor que 0,8 de estar en lo cierto. En efecto:

0,8 × 0,8 × 0,8 + 0,8 × 0,8 × 0,2 + 0,8 × 0,2 × 0,8 + 0,2 × 0,8 × 0,8 = 0,896.

Asintóticos

La asintótica es el “cálculo de aproximaciones”. Se utiliza para resolver problemas difíciles que no se pueden resolver con exactitud y para proporcionar formas más simples de resultados complicados, desde resultados tempranos como las fórmulas de Taylor y Stirling hasta el teorema de los números primos. Un tema importante en el estudio de la asintótica es la distribución asintótica, que es una distribución de probabilidad que, en cierto sentido, es la distribución “límite” de una secuencia de distribuciones. La probabilidad de una decisión mayoritaria correcta P ( n ,  p ), cuando la probabilidad individual p es cercana a 1/2, crece linealmente en términos de p − 1/2. Para n votantes, cada uno con probabilidad p de decidir correctamente y para n impar (donde no hay posibles empates):

${\displaystyle P(n,p)=1/2+c_{1}(p-1/2)+c_{3}(p-1/2)^{3}+O\left((p-1/2)^{5}\right),}$

dónde

${\displaystyle c_{1}={n \choose {\lfloor n/2\rfloor }}{\frac {\lfloor n/2\rfloor +1}{4^{\lfloor n/2\rfloor }}}={\sqrt {\frac {2n+1}{\pi }}}\left(1+{\frac {1}{16n^{2}}}+O(n^{-3})\right),}$

y la aproximación asintótica en términos de n es muy precisa. La expansión es solo en potencias impares y . En términos simples, esto dice que cuando la decisión es difícil ( p cerca de 1/2), la ganancia por tener n votantes crece proporcionalmente a . ^[2] ${\displaystyle c_{3}<0}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

El teorema en otras disciplinas

El teorema del jurado de Condorcet se ha utilizado recientemente para conceptualizar la integración de puntuaciones cuando varios lectores médicos (radiólogos, endoscopistas, etc.) evalúan independientemente las imágenes en busca de actividad de la enfermedad. Esta tarea surge en la lectura central realizada durante los ensayos clínicos y tiene similitudes con la votación. Según los autores, la aplicación del teorema puede traducir las puntuaciones de los lectores individuales en una puntuación final de una manera que sea matemáticamente sólida (al evitar el promedio de los datos ordinales), matemáticamente manejable para un análisis posterior y de una manera que sea coherente con la tarea de puntuación en cuestión (basada en decisiones sobre la presencia o ausencia de características, una tarea de clasificación subjetiva) ^[3].

El teorema del jurado de Condorcet también se utiliza en el aprendizaje conjunto en el campo del aprendizaje automático . ^[4] Un método conjunto combina las predicciones de muchos clasificadores individuales mediante votación mayoritaria. Suponiendo que cada uno de los clasificadores individuales predice con un poco más del 50% de precisión y sus predicciones son independientes, entonces el conjunto de sus predicciones será mucho mayor que sus puntuaciones predictivas individuales.

Aplicabilidad a los procesos democráticos

Muchos teóricos políticos y filósofos utilizan el Teorema del Jurado de Condorcet (TJC) para defender la democracia, véase Brennan ^[5] y las referencias allí citadas. Sin embargo, es una cuestión empírica si el teorema se cumple en la vida real o no. Obsérvese que el TJC es un arma de doble filo : puede demostrar que la regla de la mayoría es un mecanismo (casi) perfecto para agregar información, cuando , o un desastre (casi) perfecto, cuando . Un desastre significaría que se elige sistemáticamente la opción equivocada. Algunos autores han argumentado que nos encontramos en el último escenario. Por ejemplo, Bryan Caplan ha argumentado extensamente que el conocimiento de los votantes está sistemáticamente sesgado hacia opciones (probablemente) equivocadas. En la configuración del TJC, esto podría interpretarse como evidencia de . ${\displaystyle p>1/2}$ ${\displaystyle p<1/2}$ ${\displaystyle p<1/2}$

Recientemente, se adoptó otro enfoque para estudiar la aplicabilidad del CJT. ^[6] En lugar de considerar el caso homogéneo, se permite que cada votante tenga una probabilidad , posiblemente diferente de otros votantes. Este caso fue estudiado previamente por Daniel Berend y Jacob Paroush ^[7] e incluye el teorema clásico de Condorcet (cuando ) y otros resultados, como el Milagro de la Agregación (cuando para la mayoría de los votantes y para una pequeña proporción de ellos). Luego, siguiendo un enfoque bayesiano, se estima la probabilidad previa (en este caso, a priori ) de la tesis predicha por el teorema. Es decir, si elegimos una secuencia arbitraria de votantes (es decir, una secuencia ), ¿se mantendrá la tesis del CJT? La respuesta es no. Más precisamente, si se toma una secuencia aleatoria de siguiendo una distribución no sesgada que no favorece la competencia, , o la incompetencia, , entonces la tesis predicha por el teorema no se mantendrá casi con seguridad . Con este nuevo enfoque, los defensores de la TJC deben presentar pruebas sólidas de competencia, para superar la baja probabilidad previa. Es decir, no sólo es cierto que hay pruebas en contra de la competencia (probabilidad posterior), sino que además no podemos esperar que la TJC se sostenga en ausencia de cualquier prueba (probabilidad previa). ${\displaystyle p_{i}\in [0,1]}$ ${\displaystyle p_{i}=p~~\forall ~i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p_{i}=1/2}$ ${\displaystyle p_{i}=1}$ ${\displaystyle (p_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}>1/2}$ ${\displaystyle p_{i}<1/2}$

Lectura adicional

• Método Condorcet
• Paradoja de Condorcet
• Teorema del jurado
• Ley de los grandes números
• Sabiduría de la multitud

Notas

1. Marqués de Condorcet (1785). Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (PNG) (en francés) . Consultado el 10 de marzo de 2008 .
2. McLennan, Andrew (1998). "Consecuencias del teorema del jurado de Condorcet para la agregación de información beneficiosa por agentes racionales". The American Political Science Review . 92 (2): 413–418. doi :10.2307/2585673. ISSN  0003-0554. JSTOR  2585673.
3. Gottlieb, Klaus; Hussain, Fez (19 de febrero de 2015). "Votación para la puntuación y evaluación de imágenes (VISA): teoría y aplicación de un algoritmo de lectura 2 + 1 para mejorar la precisión de los criterios de valoración de las imágenes en ensayos clínicos". BMC Medical Imaging . 15 : 6. doi : 10.1186/s12880-015-0049-0 . ISSN  1471-2342. PMC 4349725 . PMID  25880066. 
4. "Bosque aleatorio". mlu-explain.github.io . Consultado el 24 de mayo de 2022 .
5. Brennan, Jason (2011). "El teorema del jurado de Condorcet y el número óptimo de votantes". Política . 31 (2): 55–62. doi :10.1111/j.1467-9256.2011.01403.x. ISSN  0263-3957. S2CID  152938266.
6. Romaniega Sancho, Álvaro (2022). "Sobre la probabilidad del teorema del jurado de Condorcet o el milagro de la agregación". Ciencias Sociales Matemáticas . 119 : 41–55. arXiv : 2108.00733 . doi :10.1016/j.mathsocsci.2022.06.002. S2CID  249921504.
7. Berend, Daniel; Paroush, Jacob (1998). "¿Cuándo es válido el teorema del jurado de Condorcet?". Elección social y bienestar . 15 (4): 481–488. doi :10.1007/s003550050118. ISSN  0176-1714. JSTOR  41106274. S2CID  120012958.