Teorema de Poincaré-Hopf

Cuenta los ceros de un campo vectorial en una variedad diferenciable utilizando su característica de Euler

En matemáticas , el teorema de Poincaré-Hopf (también conocido como fórmula del índice de Poincaré-Hopf , teorema del índice de Poincaré-Hopf o teorema del índice de Hopf ) es un teorema importante que se utiliza en topología diferencial . Recibe su nombre en honor a Henri Poincaré y Heinz Hopf .

El teorema de Poincaré-Hopf se ilustra a menudo con el caso especial del teorema de la bola peluda , que simplemente establece que no existe un campo vectorial suave en una n-esfera de dimensión par que no tenga fuentes ni sumideros.

Según el teorema de Poincaré-Hopf, las trayectorias cerradas pueden rodear dos centros y una silla o un centro, pero nunca sólo la silla. (Aquí para el caso de un sistema hamiltoniano )

Declaración formal

Sea una variedad diferenciable, de dimensión , y un campo vectorial en . Supóngase que es un cero aislado de , y fija unas coordenadas locales cerca de . Escojamos una bola cerrada centrada en , de modo que sea el único cero de en . Entonces el índice de en , , puede definirse como el grado de la función desde el límite de hasta la -esfera dada por . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {index} _{x}(v)}$ ${\displaystyle u:\partial D\to \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle u(z)=v(z)/\|v(z)\|}$

Teorema. Sea una variedad diferenciable compacta . Sea un campo vectorial en con ceros aislados. Si tiene frontera , entonces insistimos en que apunte en la dirección normal hacia afuera a lo largo de la frontera. Entonces tenemos la fórmula ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,}$

donde la suma de los índices es sobre todos los ceros aislados de y es la característica de Euler de . Un corolario particularmente útil es cuando hay un campo vectorial no nulo que implica una característica de Euler 0. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \chi (M)}$ ${\displaystyle M}$

El teorema fue demostrado para dos dimensiones por Henri Poincaré ^[1] y luego generalizado a dimensiones superiores por Heinz Hopf . ^[2]

Significado

La característica de Euler de una superficie cerrada es un concepto puramente topológico , mientras que el índice de un campo vectorial es puramente analítico . Por lo tanto, este teorema establece un vínculo profundo entre dos áreas aparentemente no relacionadas de las matemáticas. Tal vez sea tan interesante que la prueba de este teorema se base en gran medida en la integración y, en particular, en el teorema de Stokes , que establece que la integral de la derivada exterior de una forma diferencial es igual a la integral de esa forma sobre el límite. En el caso especial de una variedad sin límite, esto equivale a decir que la integral es 0. Pero al examinar los campos vectoriales en un entorno suficientemente pequeño de una fuente o un sumidero, vemos que las fuentes y los sumideros contribuyen con cantidades enteras (conocidas como el índice) al total, y todas deben sumar 0. Este resultado puede ser considerado ^{[ ¿ por quién? ]} uno de los primeros teoremas de una serie de ellos (por ejemplo , el teorema del índice de Atiyah-Singer , el teorema de De Rham y el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch ) que establecen relaciones profundas entre conceptos geométricos y analíticos o físicos . Desempeñan un papel importante en el estudio moderno de ambos campos.

Bosquejo de la prueba

1. Incruste M en algún espacio euclidiano de alta dimensión. (Use el teorema de incrustación de Whitney ).
2. Tome un pequeño entorno de M en ese espacio euclidiano, N _ε . Extienda el campo vectorial a este entorno de modo que aún tenga los mismos ceros y los ceros tengan los mismos índices. Además, asegúrese de que el campo vectorial extendido en el límite de N _ε esté dirigido hacia afuera.
3. La suma de los índices de los ceros del campo vectorial antiguo (y del nuevo) es igual al grado de la función de Gauss desde el límite de N _ε hasta la esfera de dimensión ( n –1) . Por lo tanto, la suma de los índices es independiente del campo vectorial real y depende únicamente de la variedad M .
   Técnica: eliminar todos los ceros del campo vectorial con vecindarios pequeños. Luego utilizar el hecho de que el grado de una función desde el límite de una variedad n-dimensional hasta una esfera ( n –1)-dimensional , que puede extenderse a toda la variedad n-dimensional, es cero. ^{[ cita requerida ]}
4. Finalmente, identifique esta suma de índices como la característica de Euler de M. Para ello, construya un campo vectorial muy específico en M utilizando una triangulación de M para la que esté claro que la suma de índices es igual a la característica de Euler.

Generalización

Aún es posible definir el índice para un campo vectorial con ceros no aislados. En la Sección 1.1.2 de (Brasselet, Seade y Suwa 2009) se describe una construcción de este índice y la extensión del teorema de Poincaré-Hopf para campos vectoriales con ceros no aislados.

Véase también

• La fórmula característica de Eisenbud-Levine-Khimshiashvili
• Teorema de Hopf

Referencias

1. Henri Poincaré, Sobre curvas definidas por ecuaciones diferenciales (1881-1882)
2. H. Hopf, Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Matemáticas. Ana. 96 (1926), págs. 209-221.

• "Teorema de Poincaré-Hopf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). Campos vectoriales sobre variedades singulares . Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-05205-7.