teorema de takens

Condiciones bajo las cuales un sistema caótico puede reconstruirse mediante observación.

Atractor de Rössler reconstruido mediante el teorema de Taken, utilizando diferentes longitudes de retardo. Las órbitas alrededor del atractor tienen un período entre 5,2 y 6,2.

En el estudio de sistemas dinámicos , un teorema de incorporación de retraso proporciona las condiciones bajo las cuales se puede reconstruir un sistema dinámico caótico a partir de una secuencia de observaciones del estado de ese sistema. La reconstrucción preserva las propiedades del sistema dinámico que no cambian bajo cambios suaves de coordenadas (es decir, difeomorfismos ), pero no preserva la forma geométrica de las estructuras en el espacio de fase .

El teorema de Takens es el teorema de incorporación de retraso de 1981 de Floris Takens . Proporciona las condiciones bajo las cuales se puede reconstruir un atractor suave a partir de las observaciones realizadas con una función genérica . Los resultados posteriores reemplazaron el atractor suave con un conjunto de dimensiones de conteo de cajas arbitrarias y la clase de funciones genéricas con otras clases de funciones.

Es el método más utilizado para la reconstrucción de atractores . ^[1]

Los teoremas de incrustación de retardo son más sencillos de enunciar para sistemas dinámicos de tiempo discreto . El espacio de estados del sistema dinámico es una variedad de dimensión ν M. La dinámica viene dada por un mapa suave.

${\displaystyle f:M\to M.}$

Supongamos que la dinámica f tiene un atractor extraño con dimensión de conteo de cajas d _A . Usando ideas del teorema de incrustación de Whitney , A puede incrustarse en un espacio euclidiano de k dimensiones con ${\displaystyle A\subset M}$

${\displaystyle k>2d_{A}.}$

Es decir, existe un difeomorfismo φ que asigna A de tal manera que la derivada de φ tiene rango completo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Un teorema de incrustación de retraso utiliza una función de observación para construir la función de incrustación. Una función de observación debe ser dos veces diferenciable y asociar un número real a cualquier punto del atractor A. También debe ser típico , por lo que su derivada es de rango completo y no tiene simetrías especiales en sus componentes. El teorema de incorporación del retraso establece que la función ${\displaystyle \alpha :M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi _{T}(x)={\bigl (}\alpha (x),\,\alpha (f(x)),\,\dots ,\,\alpha (f^{k-1}(x))\,{\bigr )}}$

es una incrustación del atractor extraño A en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$

Versión simplificada

Supongamos que el vector de estado dimensional evoluciona según una dinámica desconocida pero continua y (crucialmente) determinista. Supongamos también que el observable unidimensional es una función uniforme de y está "acoplado" a todos los componentes de . Ahora, en cualquier momento podemos observar no sólo la medición actual , sino también las observaciones realizadas en ocasiones alejadas de nosotros por múltiplos de algún retraso , etc. Si usamos retrasos, tenemos un vector de dimensiones. Se podría esperar que, a medida que aumenta el número de rezagos, el movimiento en el espacio rezagado se vuelva cada vez más predecible, y tal vez en el límite se vuelva determinista. De hecho, la dinámica de los vectores rezagados se vuelve determinista en una dimensión finita; no sólo eso, sino que las dinámicas deterministas son completamente equivalentes a las del espacio de estados original (precisamente, están relacionadas por un cambio suave e invertible de coordenadas, o difeomorfismo). De hecho, el teorema dice que el determinismo aparece una vez que se alcanza la dimensión , y la dimensión mínima de incrustación suele ser menor. ^{[2] [3]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle \tau :y_{t+\tau },y_{t+2\tau }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle 2d+1}$

Elección del retraso

El teorema de Takens se suele utilizar para reconstruir atractores extraños a partir de datos experimentales, en los que existe contaminación por ruido. Como tal, la elección del tiempo de retraso adquiere importancia. Mientras que para datos sin ruido cualquier elección de retardo es válida, para datos ruidosos el atractor sería destruido por el ruido si los retardos se eligen mal.

El retraso óptimo suele ser entre una décima parte y la mitad del período orbital medio alrededor del atractor. ^{[4] [5]}

Ver también

• Teorema de incrustación de Whitney
• Reducción de dimensionalidad no lineal.

Referencias

1. Sauer, Timothy D. (24 de octubre de 2006). "Reconstrucción del atractor". Scholarpedia . 1 (10): 1727. Código bibliográfico : 2006SchpJ...1.1727S. doi : 10.4249/scholarpedia.1727 . ISSN  1941-6016.
2. Shalizi, Cosma R. (2006). "Métodos y técnicas de la ciencia de sistemas complejos: una descripción general". En Deisboeck, ThomasS; Kresh, J. Yasha (eds.). Ciencia de Sistemas Complejos en Biomedicina . Serie internacional de libros sobre temas de ingeniería biomédica. Springer Estados Unidos. págs. 33-114. arXiv : nlin/0307015 . doi :10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN 978-0-387-30241-6. S2CID  11972113.
3. Baranski, Krzysztof; Gutman, Yonatan; Śpiewak, Adam (1 de septiembre de 2020). "Un teorema probabilístico de Takens". No linealidad . 33 (9): 4940–4966. arXiv : 1811.05959 . Código Bib : 2020Nonli..33.4940B. doi :10.1088/1361-6544/ab8fb8. ISSN  0951-7715. S2CID  119137065.
4. Strogatz, Steven (2015). "12.4 Caos químico y reconstrucción de atractores". Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería (Segunda ed.). Boulder, CO. ISBN 978-0-8133-4910-7. OCLC  842877119.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Fraser, Andrew M.; Swinney, Harry L. (1 de febrero de 1986). "Coordenadas independientes para atractores extraños a partir de información mutua" . Revisión física A. 33 (2): 1134-1140. Código bibliográfico : 1986PhRvA..33.1134F. doi :10.1103/PhysRevA.33.1134. PMID  9896728.

Lectura adicional

• N. Packard , J. Crutchfield , D. Farmer y R. Shaw (1980). "Geometría de una serie temporal". Cartas de revisión física . 45 (9): 712–716. Código bibliográfico : 1980PhRvL..45..712P. doi :10.1103/PhysRevLett.45.712.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• F. Tomadas (1981). "Detección de atractores extraños en turbulencias". En DA Rand y L.-S. Joven (ed.). Sistemas dinámicos y turbulencia, Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 898 . Springer-Verlag. págs. 366–381.
• R. Mañé (1981). "Sobre la dimensión de los conjuntos compactos invariantes de ciertos mapas no lineales". En DA Rand y L.-S. Joven (ed.). Sistemas dinámicos y turbulencia, Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 898 . Springer-Verlag. págs. 230–242.
• G. Sugihara y RM May (1990). "La previsión no lineal como forma de distinguir el caos del error de medición en series de tiempo". Naturaleza . 344 (6268): 734–741. Código Bib :1990Natur.344..734S. doi :10.1038/344734a0. PMID  2330029. S2CID  4370167.
• Tim Sauer, James A. Yorke y Martin Casdagli (1991). "Embedología". Revista de Física Estadística . 65 (3–4): 579–616. Código Bib : 1991JSP....65..579S. doi :10.1007/BF01053745.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• G. Sugihara (1994). "Predicción no lineal para la clasificación de series temporales naturales". Fil. Trans. R. Soc. Londres. A . 348 (1688): 477–495. Código Bib : 1994RSPTA.348..477S. doi :10.1098/rsta.1994.0106. S2CID  121604829.
• PA Dixon, MJ Milicich y G. Sugihara (1999). "Fluctuaciones episódicas en el suministro de larvas". Ciencia . 283 (5407): 1528-1530. Código Bib : 1999 Ciencia... 283.1528D. doi : 10.1126/ciencia.283.5407.1528. PMID  10066174.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• G. Sugihara , M. Casdagli, E. Habjan, D. Hess, P. Dixon y G. Holland (1999). "Los mapas de retraso residual revelan patrones globales de no linealidad atmosférica y producen pronósticos locales mejorados". PNAS . 96 (25): 210–215. Código bibliográfico : 1999PNAS...9614210S. doi : 10.1073/pnas.96.25.14210 . PMC  24416 . PMID  10588685.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• C. Hsieh; Glaser, SM; Lucas, AJ; Sugihara, G (2005). "Distinguir fluctuaciones ambientales aleatorias de catástrofes ecológicas en el Océano Pacífico Norte". Naturaleza . 435 (7040): 336–340. Código Bib :2005Natur.435..336H. doi : 10.1038/naturaleza03553. PMID  15902256. S2CID  2446456.
• RA Ríos, L. Parrott, H. Lange y RF de Mello (2015). "Estimación de tasas de determinismo para detectar patrones en conjuntos de datos geoespaciales". Teledetección del Medio Ambiente . 156 : 11-20. Código Bib : 2015RSEnv.156...11R. doi :10.1016/j.rse.2014.09.019.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Enlaces externos

• [1] El producto ChaosKit de Scientio utiliza la incrustación para crear análisis y predicciones. El acceso se proporciona en línea a través de un servicio web y una interfaz gráfica.
• [2] Las herramientas empíricas de modelado dinámico pyEDM y rEDM utilizan la incrustación para análisis, predicción e inferencia causal.