teorema de lusin

Teorema en la teoría de la medida

En el campo matemático del análisis matemático , el teorema de Lusin (o teorema de Luzin , llamado así por Nikolai Luzin ) o el criterio de Lusin establece que una función finita en casi todas partes es mensurable si y sólo si es una función continua en casi todo su dominio. En la formulación informal de JE Littlewood , "toda función mensurable es casi continua".

Declaración clásica

Para un intervalo [ a ,  b ], sea

${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$

ser una función medible. Entonces, para todo ε  > 0, existe un compacto E  ⊆ [ a ,  b ] tal que f restringida a E es continua y

${\displaystyle \mu (E)>b-a-\varepsilon .}$

Tenga en cuenta que E hereda la topología subespacial de [ a ,  b ]; La continuidad de f restringida a E se define utilizando esta topología.

También para cualquier función f , definida en el intervalo [ a, b ] y casi siempre finita, si para cualquier ε > 0 existe una función ϕ , continua en [ a, b ], tal que la medida del conjunto

${\displaystyle \{x\in [a,b]:f(x)\neq \phi (x)\}}$

es menor que ε , entonces f es medible. ^[1]

forma general

Sea un espacio de medida de radón e Y sea un espacio topológico contable en segundo lugar equipado con un álgebra de Borel , y sea una función medible. Dado , para cada medida finita existe un conjunto cerrado con tal que restringido a es continuo. Si es localmente compacto , podemos elegir ser compacto e incluso encontrar una función continua con soporte compacto que coincida con on y tal que ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (A\setminus E)<\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{\varepsilon }:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|}$.

De manera informal, las funciones medibles en espacios con base contable pueden aproximarse mediante funciones continuas en una porción arbitrariamente grande de su dominio.

en la prueba

La demostración del teorema de Lusin se puede encontrar en muchos libros clásicos. Intuitivamente, uno espera que sea una consecuencia del teorema de Egorov y de la densidad de funciones suaves. El teorema de Egorov establece que la convergencia puntual es casi uniforme y la convergencia uniforme preserva la continuidad.

Ejemplo

La solidez del teorema de Lusin puede no ser evidente, como se puede demostrar con el ejemplo. Considere la función de Dirichlet , es decir, la función indicadora en el intervalo unitario que toma el valor de uno en los racionales y cero en el caso contrario. Claramente la medida de esta función debería ser cero, pero ¿cómo se pueden encontrar regiones que sean continuas, dado que los racionales son densos en los reales? Los requisitos del teorema de Lusin se pueden satisfacer con la siguiente construcción de un conjunto ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle E.}$

Sea cualquier enumeración de . Colocar ${\displaystyle \{x_{n};n=1,2,\dots \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle G_{n}=(x_{n}-\varepsilon /2^{n},x_{n}+\varepsilon /2^{n})}$

y

${\displaystyle E:=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }G_{n}}$.

Luego, la secuencia de conjuntos abiertos "elimina" a todos los racionales, dejando atrás un conjunto compacto y cerrado que no contiene racionales y tiene una medida mayor que . ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 1-2\varepsilon }$

Referencias

Fuentes

• N. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 154 (1912), 1688-1690.
• G. Folland. Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones , 2ª ed. Capítulo 7
• W. Zygmunt. Propiedad Scorza-Dragoni (en polaco), UMCS, Lublin, 1990
• MB Feldman, "Una prueba del teorema de Lusin", American Math. Mensual, 88 (1981), 191-2
• Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, "Teoría de la medida y propiedades finas de las funciones", CRC Press Taylor & Francis Group, Libros de texto de matemáticas, Teorema 1.14

Citas

1. "Criterio de Luzin - Enciclopedia de Matemáticas".