Teorema de Egorov

Teorema sobre la convergencia uniforme

En la teoría de la medida , un área de las matemáticas , el teorema de Egorov establece una condición para la convergencia uniforme de una secuencia convergente puntual de funciones mensurables . También se lo denomina teorema de Severini-Egoroff o teorema de Severini-Egorov , en honor a Carlo Severini , un matemático italiano , y Dmitri Egorov , un físico y geómetra ruso , quienes publicaron demostraciones independientes en 1910 y 1911 respectivamente.

El teorema de Egorov se puede utilizar junto con funciones continuas con soporte compacto para demostrar el teorema de Lusin para funciones integrables .

Nota histórica

La primera demostración del teorema fue dada por Carlo Severini en 1910: ^{[1] [2]} utilizó el resultado como una herramienta en su investigación sobre series de funciones ortogonales . Su trabajo aparentemente pasó desapercibido fuera de Italia , probablemente debido al hecho de que está escrito en italiano , apareció en una revista científica con difusión limitada y fue considerado solo como un medio para obtener otros teoremas. Un año después, Dmitri Egorov publicó sus resultados demostrados de forma independiente, ^[3] y el teorema se hizo ampliamente conocido bajo su nombre: sin embargo, no es raro encontrar referencias a este teorema como el teorema de Severini-Egoroff. Los primeros matemáticos en demostrar independientemente el teorema en el entorno del espacio de medida abstracto común hoy en día fueron Frigyes Riesz  (1922, 1928), y Wacław Sierpiński  (1928): ^[4] una generalización anterior se debe a Nikolai Luzin , quien logró relajar ligeramente el requisito de finitud de medida del dominio de convergencia de las funciones convergentes puntuales en el amplio artículo ^{[ se necesita más explicación ]} (Luzin 1916). ^{[5] Mucho más tarde,} Pavel Korovkin dio otras generalizaciones en el artículo (Korovkin 1947), y Gabriel Mokobodzki en el artículo (Mokobodzki 1970).

Declaración formal y prueba

Declaración

Sea ( f _n ) una secuencia de funciones medibles de valor M , donde M es un espacio métrico separable, en algún espacio de medida ( X ,Σ,μ), y supongamos que existe un subconjunto medible A ⊆ X , con μ-medida finita, tal que ( f _n ) converge μ- casi en todas partes en A a una función límite f . Se cumple el siguiente resultado: para cada ε > 0, existe un subconjunto medible B de A tal que μ( B ) < ε, y ( f _n ) converge a f uniformemente en A  \  B .

Aquí, μ( B ) denota la μ-medida de B . En palabras, el teorema dice que la convergencia puntual casi en todas partes en A implica la convergencia uniforme aparentemente mucho más fuerte en todas partes excepto en algún subconjunto B de medida arbitrariamente pequeña. Este tipo de convergencia también se llama convergencia casi uniforme .

Discusión de supuestos y un contraejemplo

• La hipótesis μ( A ) < ∞ es necesaria. Para ver esto, es simple construir un contraejemplo cuando μ es la medida de Lebesgue : considere la secuencia de funciones indicadoras de valor real definidas en la línea real . Esta secuencia converge puntualmente a la función cero en todas partes pero no converge uniformemente en para cualquier conjunto B de medida finita: un contraejemplo en el espacio vectorial real general -dimensional puede construirse como lo mostró Cafiero (1959, p. 302). $${\displaystyle f_{n}(x)=1_{[n,n+1]}(x),\qquad n\in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {R} ,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• La separabilidad del espacio métrico es necesaria para garantizar que, para funciones mensurables de valor M f y g , la distancia d ( f ( x ),  g ( x )) sea nuevamente una función medible de valor real de x .

Prueba

Solución . Para los números naturales n y k , definamos el conjunto E _n,k mediante la unión ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle E_{n,k}=\bigcup _{m\geq n}\left\{x\in A\,{\Big |}\,|f_{m}(x)-f(x)|\geq {\frac {1}{k}}\right\}.}$

Estos conjuntos se hacen más pequeños a medida que n aumenta, lo que significa que E _{n +1, k} es siempre un subconjunto de E _n,k , porque la primera unión involucra menos conjuntos. Un punto x , para el cual la secuencia ( f _m ( x )) converge a f ( x ), no puede estar en cada E _n,k para un k fijo , porque f _m ( x ) tiene que permanecer más cerca de f ( x ) que 1/ k eventualmente. Por lo tanto, por el supuesto de μ-casi en todas partes convergencia puntual en A ,

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n,k}\right)=0}$

para cada k . Como A es de medida finita, tenemos continuidad desde arriba ; por lo tanto, existe, para cada k , algún número natural n _k tal que

${\displaystyle \mu (E_{n_{k},k})<{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}.}$

Para x en este conjunto , consideramos que la velocidad de aproximación a la vecindad 1/ k de f ( x ) es demasiado lenta. Definir

${\displaystyle B=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }E_{n_{k},k}}$

como el conjunto de todos aquellos puntos x en A , para los cuales la velocidad de aproximación a al menos uno de estos 1/ k -vecindarios de f ( x ) es demasiado lenta. En la diferencia de conjuntos tenemos, por lo tanto, convergencia uniforme. Explícitamente, para cualquier , sea , entonces para cualquier , tenemos en todos los . ${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\frac {1}{k}}<\epsilon }$ ${\displaystyle n>n_{k}}$ ${\displaystyle |f_{n}-f|<\epsilon }$ ${\displaystyle A\setminus B}$

Apelando a la aditividad sigma de μ y utilizando la serie geométrica , obtenemos

${\displaystyle \mu (B)\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\mu (E_{n_{k},k})<\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\varepsilon .}$

Generalizaciones

La versión de Luzin

Se presenta aquí la generalización de Nikolai Luzin del teorema de Severini-Egorov según Saks (1937, p. 19).

Declaración

Bajo la misma hipótesis del teorema abstracto de Severini-Egorov, supongamos que A es la unión de una secuencia de conjuntos medibles de medida μ finita, y ( f _n ) es una secuencia dada de funciones medibles de valor M en algún espacio de medida ( X ,Σ,μ), tal que ( f _n ) converge μ- casi en todas partes en A a una función límite f , entonces A puede expresarse como la unión de una secuencia de conjuntos medibles H , A ₁ , A ₂ ,... tales que μ( H ) = 0 y ( f _n ) converge a f uniformemente en cada conjunto A _k .

Prueba

Es suficiente considerar el caso en el que el conjunto A es en sí mismo de medida μ finita: utilizando esta hipótesis y el teorema estándar de Severini-Egorov, es posible definir por inducción matemática una secuencia de conjuntos { A _k } _k=1,2,... tales que

${\displaystyle \mu \left(A\setminus \bigcup _{k=1}^{N}A_{k}\right)\leq {\frac {1}{N}}}$

y tal que ( f _n ) converge a f uniformemente en cada conjunto A _k para cada k . Eligiendo

${\displaystyle H=A\setminus \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}}$

entonces obviamente μ( H ) = 0 y el teorema queda demostrado.

La versión de Korovkin

La prueba de la versión de Korovkin sigue de cerca la versión de Kharazishvili (2000, pp. 183-184), que sin embargo la generaliza hasta cierto punto al considerar funcionales admisibles en lugar de medidas y desigualdades no negativas y respectivamente en las condiciones 1 y 2. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \geq }$

Declaración

Sea ( M , d ) un espacio métrico separable y ( X , Σ ) un espacio medible : considérese un conjunto medible A y una clase que contiene A y sus subconjuntos mesurables tales que sus numerables en uniones e intersecciones pertenecen a la misma clase. Supóngase que existe una medida no negativa μ tal que μ( A ) existe y ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

1. ${\displaystyle \mu (\cap A_{n})=\lim \mu (A_{n})}$si con para todo n ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots }$ ${\displaystyle A_{n}\in {\mathfrak {A}}}$
2. ${\displaystyle \mu (\cup A_{n})=\lim \mu (A_{n})}$si con . ${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots }$ ${\displaystyle \cup A_{n}\in {\mathfrak {A}}}$

Si ( f _n ) es una secuencia de funciones mensurables de valor M que convergen μ- casi en todas partes hacia una función límite f , entonces existe un subconjunto A′ de A tal que 0 < μ( A ) − μ( A′ ) < ε y donde la convergencia también es uniforme. ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$

Prueba

Considérese la familia indexada de conjuntos cuyo conjunto índice es el conjunto de números naturales definidos de la siguiente manera: ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle A_{0,m}=\left\{x\in A|d(f_{n}(x),f(x))\leq 1\ \forall n\geq m\right\}}$

Obviamente

${\displaystyle A_{0,1}\subseteq A_{0,2}\subseteq A_{0,3}\subseteq \dots }$

y

${\displaystyle A=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{0,m}}$

por lo tanto existe un numero natural m ₀ tal que poniendo A _{0,m 0} = A ₀ se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{0})\leq \varepsilon }$

Utilizando A ₀ es posible definir la siguiente familia indexada

${\displaystyle A_{1,m}=\left\{x\in A_{0}\left|d(f_{m}(x),f(x))\leq {\frac {1}{2}}\ \forall n\geq m\right.\right\}}$

satisfaciendo las dos relaciones siguientes, análogas a las encontradas anteriormente, es decir

${\displaystyle A_{1,1}\subseteq A_{1,2}\subseteq A_{1,3}\subseteq \dots }$

y

${\displaystyle A_{0}=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{1,m}}$

Este hecho nos permite definir el conjunto A _{1,m 1} = A ₁ , donde m ₁ es un número natural seguramente existente tal que

${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{1})\leq \varepsilon }$

Al iterar la construcción mostrada, se define otra familia indexada del conjunto { A _n } tal que tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \cdots }$
• ${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{m})\leq \varepsilon }$a pesar de ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
• para cada uno existe k _m tal que para todos entonces para todos ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq k_{m}}$ ${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))\leq 2^{-m}}$ ${\displaystyle x\in A_{m}}$

y finalmente poniendo

${\displaystyle A'=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

La tesis se demuestra fácilmente.

Notas

1. Publicado en (Severini 1910).
2. Según Straneo (1952, p. 101), Severini, aunque reconocía su propia prioridad en la publicación del resultado, no estaba dispuesto a revelarlo públicamente: fue Leonida Tonelli quien, en la nota (Tonelli 1924), le atribuyó la prioridad por primera vez.
3. En la nota (Egoroff 1911)
4. Según Cafiero (1959, p. 315) y Saks (1937, p. 17).
5. Según Saks (1937, pág. 19).

Referencias

Referencias históricas

• Egoroff, D. Th. (1911), "Sur les suites des fonctions mesurables" [Sobre secuencias de funciones mensurables], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés), 152 : 244–246, JFM  42.0423.01, disponible en Gallica .
• Riesz, F. (1922), "Sur le théorème de M. Egoroff et sur les opérations fonctionnelles linéaires" [Sobre el teorema de Egorov y las operaciones funcionales lineales], Acta Litt. AC Sient. Univ. Colgado. Francisco-Josephinae, Sec. Ciencia. Matemáticas. (Szeged) (en francés), 1 (1): 18–26, JFM  48.1202.01.
• Riesz, F. (1928), "Elementarer Beweis des Egoroffschen Satzes" [Prueba elemental del teorema de Egorov], Monatshefte für Mathematik und Physik (en alemán), 35 (1): 243–248, doi :10.1007/BF01707444, JFM  54.0271 .04, S2CID  121337393.
• Severini, C. (1910), "Sulle Successioni di funzioni ortogonali" [Sobre secuencias de funciones ortogonales], Atti dell'Accademia Gioenia , serie 5a (en italiano), 3 (5): Memoria XIII, 1−7, JFM  41.0475 .04. Publicado por la Accademia Gioenia de Catania .
• Sierpiński, W. (1928), "Remarque sur le théorème de M. Egoroff" [Observaciones sobre el teorema de Egorov], Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie (en francés), 21 : 84–87, JFM  57.1391.03.
• Straneo, Paolo (1952), "Carlo Severini", Bollettino della Unione Matematica Italiana , Serie 3 (en italiano), 7 (3): 98–101, SEÑOR  0050531, disponible en la Biblioteca Digitale Italiana di Matematica. El obituario de Carlo Severini.
• Tonelli, Leonida (1924), "Su una proposizione fondamentale dell'analisi" [Una proposición fundamental de análisis], Bollettino della Unione Matematica Italiana , Serie 2 (en italiano), 3 : 103–104, JFM  50.0192.01Una breve nota en la que Leonida Tonelli atribuye a Severini la primera demostración del teorema de Severini-Egorov.

Referencias científicas

• Beals, Richard (2004), Análisis: una introducción, Cambridge : Cambridge University Press , pp. x+261, ISBN 0-521-60047-2, MR  2098699, Zbl  1067.26001
• Cafiero, Federico (1959), Misura e integrazione [ Medida e integración ], Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (en italiano), vol. 5, Roma : Edizioni Cremonese, págs. VII+451, MR  0215954, Zbl  0171.01503. Una monografía definitiva sobre la integración y la teoría de la medida: el tratamiento del comportamiento límite de la integral de varios tipos de secuencias de estructuras relacionadas con la medida (funciones medibles, conjuntos medibles , medidas y sus combinaciones) es algo concluyente.
• Kharazishvili, AB (2000), Funciones extrañas en el análisis real, Matemáticas puras y aplicadas: una serie de monografías y libros de texto, vol. 229 (1.ª ed.), Nueva York: Marcel Dekker , pp. viii+297, ISBN 0-8247-0320-0, MR  1748782, Zbl  0942.26001. Contiene una sección denominada Teoremas de tipo Egorov , donde se da el teorema básico de Severini-Egorov en una forma que generaliza ligeramente el de Korovkin (1947).
• Korovkin, PP (1947), "Generalización de un teorema de DF Egorov", Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 58 : 1265–1267, MR  0023322, Zbl  0038.03803
• Luzin, N. (1916), "Интегралъ и тригонометрическій рядъ" [Series integrales y trigonométricas], Matematicheskii Sbornik (en ruso), 30 (1): 1–242, JFM  48.1368.01
• Mokobodzki, Gabriel (22 de junio de 1970), "Noyaux absolument mesurables et opérateurs nucléaires" [Núcleos y operadores nucleares absolutamente mensurables], Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (en francés), 270 : 1673–1675, MR  0270182 , Zbl  0211.44803
• Picone, Mauro ; Viola, Tullio (1952), Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione [ Conferencias sobre la teoría moderna de la integración ], Manuali Einaudi. Serie di matematica (en italiano), Torino : Edizioni Scientifiche Einaudi , p. 404, señor  0049983, Zbl  0046.28102, revisado por Cimmino, Gianfranco (1952), "M. Picone – T. Viola, Lezioni sulla teoria Moderna dell'Integrazione", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie 3 (en italiano), 7 (4): 452–454y por Halmos, Paul R. (enero de 1953), "Review: M. Picone and T. Viola, Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione", Bulletin of the American Mathematical Society , 59 (1): 94, doi : 10.1090/ S0002-9904-1953-09666-5.
• Saks, Stanisław (1937), Teoría de la integral, Monografie Matematyczne, vol. 7, traducido por Young, LC , con dos notas adicionales de Stefan Banach (2ª ed.), Varsovia - Lwów : GE Stechert & Co., págs. VI+347, JFM  63.0183.05, Zbl  0017.30004(disponible en la Biblioteca Virtual de Ciencias de Polonia).

Enlaces externos

• Teorema de Egorov en PlanetMath .
• Humpreys, Alexis. "Teorema de Egorov". MathWorld .
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Teorema de Egorov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press