En la teoría de números aditivos , el teorema del número poligonal de Fermat establece que cada entero positivo es una suma de como máximo n números n -gonales . Es decir, todo número entero positivo se puede escribir como la suma de tres o menos números triangulares , y como la suma de cuatro o menos números cuadrados , y como la suma de cinco o menos números pentagonales , y así sucesivamente. Es decir, los números n -gonales forman una base aditiva de orden n .
A continuación se muestran tres de estas representaciones del número 17, por ejemplo:
El teorema lleva el nombre de Pierre de Fermat , quien lo afirmó, en 1638, sin pruebas, prometiendo escribirlo en una obra separada que nunca apareció. [1] Joseph Louis Lagrange demostró el caso del cuadrado en 1770, que establece que todo número positivo se puede representar como una suma de cuatro cuadrados, por ejemplo, 7 = 4 + 1 + 1 + 1 . [1] Gauss demostró el caso triangular en 1796, conmemorando la ocasión escribiendo en su diario la línea " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ", [2] y publicó una prueba en su libro Disquisitiones Arithmeticae . Por esta razón, el resultado de Gauss se conoce a veces como teorema de Eureka . [3] El teorema completo del número poligonal no se resolvió hasta que Cauchy lo demostró finalmente en 1813. [1] La demostración de Nathanson (1987) se basa en el siguiente lema debido a Cauchy:
Para enteros positivos impares a y b tales que b 2 < 4 a y 3 a < b 2 + 2 b + 4 podemos encontrar enteros no negativos s , t , u y v tales que a = s 2 + t 2 + u 2 + v 2 y b = s + t + u + v .