Teorema de extensión de Kolmogorov

Un conjunto consistente de distribuciones de dimensión finita definirá un proceso estocástico

En matemáticas , el teorema de extensión de Kolmogorov (también conocido como teorema de existencia de Kolmogorov , teorema de consistencia de Kolmogorov o teorema de Daniell-Kolmogorov ) es un teorema que garantiza que una colección adecuadamente "consistente" de distribuciones de dimensión finita definirá un proceso estocástico . Se le atribuye al matemático inglés Percy John Daniell y al matemático ruso Andrey Nikolaevich Kolmogorov . ^[1]

Enunciado del teorema

Sea un intervalo (considerado como " tiempo ") y sea . Para cada una de las secuencias finitas de tiempos distintos , sea una medida de probabilidad en Supongamos que estas medidas satisfacen dos condiciones de consistencia: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}\in T}$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{k}.}$

1. para todas las permutaciones de y conjuntos mensurables , ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nu _{t_{\pi (1)}\dots t_{\pi (k)}}\left(F_{\pi (1)}\times \dots \times F_{\pi (k)}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right);}$

2. para todos los conjuntos mensurables , ${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k},t_{k+1},\dots ,t_{k+m}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{n}\times \dots \times \mathbb {R} ^{n}} _{m}\right).}$

Entonces existe un espacio de probabilidad y un proceso estocástico tal que ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\mathbb {P} \left(X_{t_{1}}\in F_{1},\dots ,X_{t_{k}}\in F_{k}\right)}$

para todos , y conjuntos mensurables , es decir, tiene como distribuciones de dimensión finita relativas a tiempos . ${\displaystyle t_{i}\in T}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$

De hecho, siempre es posible tomar como espacio de probabilidad subyacente y tomar como proceso canónico . Por lo tanto, una forma alternativa de enunciar el teorema de extensión de Kolmogorov es que, siempre que se cumplan las condiciones de consistencia anteriores, existe una medida (única) en con marginales para cualquier colección finita de tiempos . El teorema de extensión de Kolmogorov se aplica cuando es incontable, pero el precio a pagar por este nivel de generalidad es que la medida solo se define en el producto σ-álgebra de , que no es muy rico. ${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\colon (t,Y)\mapsto Y_{t}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{T}}$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{T}}$

Explicación de las condiciones

Las dos condiciones requeridas por el teorema se satisfacen trivialmente por cualquier proceso estocástico. Por ejemplo, considere un proceso estocástico de tiempo discreto de valor real . Entonces la probabilidad se puede calcular como o como . Por lo tanto, para que las distribuciones de dimensión finita sean consistentes, debe cumplirse que . La primera condición generaliza esta afirmación para que se cumpla para cualquier número de puntos de tiempo , y cualquier conjunto de control . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}<0)}$ ${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})}$ ${\displaystyle \nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})=\nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$

Continuando con el ejemplo, la segunda condición implica que . También se trata de una condición trivial que será satisfecha por cualquier familia consistente de distribuciones de dimensión finita. ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0)=\mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}\in \mathbb {R} )}$

Implicaciones del teorema

Dado que las dos condiciones se satisfacen trivialmente para cualquier proceso estocástico, el poder del teorema es que no se requieren otras condiciones: para cualquier familia razonable (es decir, consistente) de distribuciones de dimensión finita, existe un proceso estocástico con estas distribuciones.

El enfoque teórico de la medida para los procesos estocásticos comienza con un espacio de probabilidad y define un proceso estocástico como una familia de funciones en este espacio de probabilidad. Sin embargo, en muchas aplicaciones el punto de partida son realmente las distribuciones de dimensión finita del proceso estocástico. El teorema dice que siempre que las distribuciones de dimensión finita satisfagan los requisitos obvios de consistencia, uno siempre puede identificar un espacio de probabilidad que se ajuste al propósito. En muchas situaciones, esto significa que uno no tiene que ser explícito acerca de qué es el espacio de probabilidad. Muchos textos sobre procesos estocásticos, de hecho, suponen un espacio de probabilidad pero nunca lo establecen explícitamente.

El teorema se utiliza en una de las pruebas estándar de existencia de un movimiento browniano , al especificar que las distribuciones de dimensión finita son variables aleatorias gaussianas, que satisfacen las condiciones de consistencia anteriores. Como en la mayoría de las definiciones de movimiento browniano, se requiere que las trayectorias de muestra sean continuas casi con seguridad, y luego se utiliza el teorema de continuidad de Kolmogorov para construir una modificación continua del proceso construido por el teorema de extensión de Kolmogorov.

Forma general del teorema

El teorema de extensión de Kolmogorov nos da las condiciones para que una colección de medidas en espacios euclidianos sean las distribuciones de dimensión finita de algún proceso estocástico de valor , pero la suposición de que el espacio de estados sea es innecesaria. De hecho, cualquier colección de espacios medibles junto con una colección de medidas regulares internas definidas en los productos finitos de estos espacios sería suficiente, siempre que estas medidas satisfagan una cierta relación de compatibilidad. El enunciado formal del teorema general es el siguiente. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Sea cualquier conjunto. Sea alguna colección de espacios mensurables, y para cada , sea una topología de Hausdorff en . Para cada subconjunto finito , defina ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{(\Omega _{t},{\mathcal {F}}_{t})\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle \tau _{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle J\subset T}$

${\displaystyle \Omega _{J}:=\prod _{t\in J}\Omega _{t}}$.

Para los subconjuntos , denotemos el mapa de proyección canónica . ${\displaystyle I\subset J\subset T}$ ${\displaystyle \pi _{I}^{J}:\Omega _{J}\to \Omega _{I}}$ ${\displaystyle \omega \mapsto \omega |_{I}}$

Para cada subconjunto finito , supongamos que tenemos una medida de probabilidad en la que es regular internamente con respecto a la topología del producto (inducida por ) en . Supongamos también que esta colección de medidas satisface la siguiente relación de compatibilidad: para subconjuntos finitos , tenemos que ${\displaystyle F\subset T}$ ${\displaystyle \mu _{F}}$ ${\displaystyle \Omega _{F}}$ ${\displaystyle \tau _{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{F}}$ ${\displaystyle \{\mu _{F}\}}$ ${\displaystyle F\subset G\subset T}$

${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}$

donde denota la medida de empuje hacia adelante inducida por el mapa de proyección canónica . ${\displaystyle (\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}$ ${\displaystyle \mu _{G}}$ ${\displaystyle \pi _{F}^{G}}$

Entonces existe una medida de probabilidad única en tal que para cada subconjunto finito . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{T})_{*}\mu }$ ${\displaystyle F\subset T}$

Como observación, todas las medidas se definen en el álgebra sigma del producto en sus respectivos espacios, lo que (como se mencionó anteriormente) es bastante burdo. La medida a veces se puede extender apropiadamente a un álgebra sigma más grande, si hay una estructura adicional involucrada. ${\displaystyle \mu _{F},\mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Nótese que el enunciado original del teorema es solo un caso especial de este teorema con para todos , y para . El proceso estocástico sería simplemente el proceso canónico , definido en con medida de probabilidad . La razón por la que el enunciado original del teorema no menciona la regularidad interna de las medidas es que esto se seguiría automáticamente, ya que las medidas de probabilidad de Borel en espacios polacos son automáticamente Radon . ${\displaystyle \Omega _{t}=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle \mu _{\{t_{1},...,t_{k}\}}=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in T}$ ${\displaystyle (\pi _{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}}$ ${\displaystyle P=\mu }$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$

Este teorema tiene muchas consecuencias de largo alcance; por ejemplo, puede utilizarse para demostrar la existencia de los siguientes, entre otros:

• Movimiento browniano, es decir, el proceso de Wiener ,
• una cadena de Markov que toma valores en un espacio de estados dado con una matriz de transición dada,
• productos infinitos de espacios de probabilidad (internamente regulares).

Historia

Según John Aldrich, el teorema fue descubierto independientemente por el matemático británico Percy John Daniell en el contexto ligeramente diferente de la teoría de la integración. ^[3]

Referencias

1. Øksendal, Bernt (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (sexta edición). Berlín: Springer. p. 11. ISBN 3-540-04758-1.
2. Tao, T. (2011). Introducción a la teoría de la medida. Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 126. Providence: American Mathematical Society. pág. 195. ISBN. 978-0-8218-6919-2.
3. J. Aldrich, Pero hay que recordar a PJ Daniell de Sheffield, Revista electrónica de historia de la probabilidad y la estadística, vol. 3, número 2, 2007

Enlaces externos

• Aldrich, J. (2007) "Pero hay que recordar a P. J. Daniell de Sheffield" Revista electrónica de historia de probabilidad y estadística, diciembre de 2007.