Teorema de las cuerdas que se cruzan

Teorema de geometría que relaciona los segmentos de línea creados al intersectar cuerdas en un círculo

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\={}&(r+d)\cdot (r-d)=r^{2}-d^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \triangle ASD\sim \triangle BSC}$

En geometría euclidiana , el teorema de las cuerdas que se intersectan , o simplemente teorema de las cuerdas , es un enunciado que describe una relación entre los cuatro segmentos de línea creados por dos cuerdas que se intersectan dentro de un círculo . Afirma que los productos de las longitudes de los segmentos de línea de cada cuerda son iguales. Es la Proposición 35 del Libro 3 de los Elementos de Euclides .

Más precisamente, para dos cuerdas AC y BD que se intersecan en un punto S se cumple la siguiente ecuación: $${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$$

También es cierto lo inverso. Es decir: si para dos segmentos de recta AC y BD que se cortan en S se cumple la ecuación anterior, entonces sus cuatro extremos A , B , C y D se encuentran en un círculo común. O, en otras palabras, si las diagonales de un cuadrilátero ABCD se cortan en S y cumplen la ecuación anterior, entonces es un cuadrilátero cíclico .

El valor de los dos productos en el teorema de la cuerda depende únicamente de la distancia del punto de intersección S desde el centro del círculo y se llama valor absoluto de la potencia de S ; más precisamente, se puede afirmar que: donde r es el radio del círculo y d es la distancia entre el centro del círculo y el punto de intersección S . Esta propiedad se deduce directamente de la aplicación del teorema de la cuerda a una tercera cuerda que pasa por S y el centro del círculo M (ver dibujo). $${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}}$$

El teorema se puede demostrar utilizando triángulos semejantes (mediante el teorema del ángulo inscrito ). Consideremos los ángulos de los triángulos △ ASD y △ BSC : Esto significa que los triángulos △ ASD y △ BSC son semejantes y, por lo tanto, $${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ADS&=\angle BCS\,({\text{inscribed angles over AB}})\\\angle DAS&=\angle CBS\,({\text{inscribed angles over CD}})\\\angle ASD&=\angle BSC\,({\text{opposing angles}})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$$

Junto con el teorema de la tangente-secante y el teorema de las secantes intersecantes, el teorema de las cuerdas intersecantes representa uno de los tres casos básicos de un teorema más general sobre dos líneas que se intersectan y un círculo: el teorema de la potencia del punto .

Referencias

• Paul Glaister: Teorema de las cuerdas que se cruzan: 30 años después . Matemáticas en la escuela, vol. 36, n.º 1 (enero de 2007), pág. 22 (JSTOR)
• Bruce Shawyer: Exploraciones en geometría . World scientific, 2010, ISBN  9789813100947 , pág. 14
• Hans Schupp: Geometría elemental. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2 , pág. 149 (alemán). 
• Schülerduden-Matemática I. Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1 , págs. 415-417 (alemán) 

Enlaces externos

• Teorema de las cuerdas que se cruzan en cut-the-knot.org
• Teorema de las cuerdas que se cruzan Archivado el 1 de diciembre de 2020 en Wayback Machine en proofwiki.org
• Weisstein, Eric W. "Acorde". MundoMatemático .
• Dos ilustraciones interactivas: [1] y [2]