Teorema de compleción de Atiyah-Segal

Resultado matemático sobre la teoría K equivariante en la teoría de la homotopía

El teorema de completitud de Atiyah-Segal es un teorema matemático sobre la teoría K equivariante en la teoría de homotopía . Sea G un grupo de Lie compacto y sea X un complejo G - CW . El teorema establece que la función de proyección

${\displaystyle \pi \colon X\times EG\to X}$

induce un isomorfismo de prorings

${\displaystyle \pi ^{*}\colon K_{G}^{*}(X)_{\widehat {I\,}}\to K^{*}((X\times EG)/G).}$

Aquí, el mapa inducido tiene como dominio la compleción de la K-teoría G -equivariante de X con respecto a I , donde I denota el ideal de aumento del anillo de representación de G.

En el caso especial de que X sea un punto, el teorema se especializa para dar un isomorfismo entre la K-teoría del espacio clasificador de G y la completitud del anillo de representación. ${\displaystyle K^{*}(BG)\cong R(G)_{\widehat {I\,}}}$

El teorema puede interpretarse como una comparación entre el proceso geométrico de tomar el cociente de homotopía de un G -espacio, haciendo libre la acción antes de pasar al cociente, y el proceso algebraico de completar con respecto a un ideal. ^[1]

El teorema fue demostrado por primera vez para grupos finitos por Michael Atiyah en 1961, ^[2] y una prueba del caso general fue publicada por Atiyah junto con Graeme Segal en 1969. ^[3] Desde entonces han aparecido diferentes pruebas que generalizan el teorema hasta su finalización con respecto a familias de subgrupos. ^{[4] [5]} El enunciado correspondiente para la K-teoría algebraica fue demostrado por Alexander Merkurjev , sosteniendo en el caso de que el grupo sea algebraico sobre los números complejos.

Véase también

• Conjetura de Segal

Referencias

1. Greenlees, JPC (1996). "Una introducción a la teoría K equivariante". Serie de conferencias regionales del CBMS . Teoría de homotopía y cohomología equivariante. Vol. 91. Publicado para el Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC. págs. 143-152.
2. Atiyah, MF (1961). "Caracteres y cohomología de grupos finitos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 9 (1): 23–64. doi :10.1007/BF02698718. S2CID  54764252.
3. Atiyah, MF ; Segal, GB (1969). "Equivariant K-theory and completement" (PDF) . Journal of Differential Geometry . 3 (1–2): 1–18. doi : 10.4310/jdg/1214428815 . Consultado el 19 de junio de 2008 .
4. Jackowski, S. (1985). "Familias de subgrupos y completitud". J. Pure Appl. Algebra . 37 (2): 167–179. doi : 10.1016/0022-4049(85)90094-5 .
5. Adams, JF; Haeberly, JP; Jackowski, S.; May, JP (1988). "Una generalización del teorema de completitud de Atiyah-Segal". Topología . 27 (1): 1–6. doi : 10.1016/0040-9383(88)90002-X .