En geometría discreta , el teorema de Tverberg , establecido por primera vez por Helge Tverberg en 1966, [1] es el resultado de que un número suficiente de puntos en el espacio euclidiano d -dimensional pueden dividirse en subconjuntos con cascos convexos que se cruzan . Específicamente, para cualquier número entero positivo d , r y cualquier conjunto de
puntos existe una partición de los puntos dados en r subconjuntos cuyos cascos convexos tienen todos un punto común; en otras palabras, existe un punto x (no necesariamente uno de los puntos dados) tal que x pertenece al casco convexo de todos los subconjuntos. La partición resultante de este teorema se conoce como partición de Tverberg .
El caso especial r = 2 fue demostrado anteriormente por Radon y se conoce como teorema de Radon .
El caso d = 1 establece que 2 r −1 puntos cualesquiera en la línea real se pueden dividir en r subconjuntos con cascos convexos que se cruzan. De hecho, si los puntos son x 1 < x 2 < ... < x 2r < x 2r-1 , entonces la partición en A i = {x i , x 2 r - i } para i en 1,..., r satisface esta condición (y es única).
Para r = 2, el teorema de Tverberg establece que cualquier d + 2 puntos puede dividirse en dos subconjuntos con cascos convexos que se cruzan. Esto se conoce como teorema del radón . En este caso, para puntos en posición general, la partición es única.
El caso r = 3 y d = 2 establece que siete puntos cualesquiera en el plano pueden dividirse en tres subconjuntos con cascos convexos que se cruzan. La ilustración muestra un ejemplo en el que los siete puntos son los vértices de un heptágono regular . Como muestra el ejemplo, puede haber muchas particiones de Tverberg diferentes del mismo conjunto de puntos; Estos siete puntos pueden dividirse de siete maneras diferentes que se diferencian por las rotaciones de unos de otros.
Una formulación equivalente del teorema de Tverberg es:
Sean d , r números enteros positivos y sea N := ( d +1)( r -1). Si ƒ es cualquier función afín de un simplex N -dimensional Δ N a R d , entonces hay r caras separadas por pares de Δ N cuyas imágenes bajo ƒ se cruzan. Es decir: existen caras F 1 ,...,F r de Δ N tales que y .
Son equivalentes porque cualquier función afín en un simplex está determinada únicamente por las imágenes de sus vértices. Formalmente, sea ƒ una función afín de Δ N a R d . Sean los vértices de Δ N y sus imágenes bajo ƒ . Según la formulación original, se puede dividir en r subconjuntos disjuntos, por ejemplo (( x i ) i en Aj ) j en [r] con casco convexo superpuesto. Debido a que f es afín, el casco convexo de ( xi) i en Aj es la imagen de la cara abarcada por los vértices ( vi ) i en Aj para todo j en [ r ]. Estas caras están separadas por pares y sus imágenes bajo f se cruzan, como afirma la nueva formulación. El teorema topológico de Tverberg generaliza esta formulación. Permite que f sea cualquier función continua, no necesariamente afín. Pero actualmente está demostrado sólo para el caso en el que r es una potencia prima:
Sea d un número entero positivo y sea r una potencia de un número primo. Sea N := ( d +1)( r -1). Si ƒ es cualquier función continua de un simplex N -dimensional Δ N a R d , entonces hay r caras disjuntas por pares de Δ N cuyas imágenes bajo ƒ se cruzan. Es decir: existen caras F 1 ,...,F r de Δ N tales que y .
Barany, Shlosman y Szucs demostraron que el teorema topológico de Tverberg es primo . [2] Matousek [3] presenta una prueba utilizando uniones eliminadas .
El teorema fue demostrado para una potencia prima por Ozaydin [4] y más tarde por Volovikov [5] y Sarkaria. [6]
Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3, págs. 162-163
![{\displaystyle \forall i,j\in [r]:F_{i}\cap F_{j}=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ded595a88c70896939c512cca599ef26434905)
