En álgebra lineal y teoría matroide , la conjetura de la base de Rota es una conjetura no probada sobre reordenamientos de bases , que lleva el nombre de Gian-Carlo Rota . Afirma que, si X es un espacio vectorial de dimensión n o, más generalmente, una matroide de rango n , con n bases disjuntas B i , entonces es posible organizar los elementos de estas bases en una matriz n × n de tal manera manera que las filas de la matriz son exactamente las bases dadas y las columnas de la matriz también son bases. Es decir, debería ser posible encontrar un segundo conjunto de n bases disjuntas Ci , cada una de las cuales consta de un elemento de cada una de las bases Bi .
La conjetura básica de Rota tiene una formulación simple para puntos en el plano euclidiano : establece que, dados tres triángulos con vértices distintos, con cada triángulo coloreado con uno de tres colores, debe ser posible reagrupar los nueve vértices del triángulo en tres "arco iris". triángulos que tienen un vértice de cada color. Se requiere que todos los triángulos no sean degenerados, lo que significa que no tienen los tres vértices en una línea.
Para ver esto como un ejemplo de la conjetura de la base, se puede usar la independencia lineal de los vectores ( ) en un espacio vectorial real tridimensional (donde ( ) son las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo) o, de manera equivalente, se puede usar una matroide. de rango tres en el que un conjunto S de puntos es independiente si | S | ≤ 2 o S forma los tres vértices de un triángulo no degenerado. Para este álgebra lineal y esta matroide, las bases son exactamente los triángulos no degenerados. Dados los tres triángulos de entrada y los tres triángulos arco iris, es posible organizar los nueve vértices en una matriz de 3 × 3 en la que cada fila contiene los vértices de uno de los triángulos de un solo color y cada columna contiene los vértices de uno de los triángulos arcoiris.
De manera análoga, para puntos en el espacio euclidiano tridimensional, la conjetura establece que los dieciséis vértices de cuatro tetraedros no degenerados de cuatro colores diferentes pueden reagruparse en cuatro tetraedros arcoíris.
La declaración de la conjetura de la base de Rota fue publicada por primera vez por Huang y Rota (1994), acreditándola (sin citar) a Rota en 1989. [1] La conjetura de la base ha sido probada para pavimentar matroides (para todo n ) [2] y para el caso n ≤ 3 (para todos los tipos de matroide). [3] Para matroides arbitrarias, es posible organizar los elementos base en una matriz cuyas primeras columnas Ω( √ n ) son bases. [4] La conjetura básica para álgebras lineales sobre campos de característica cero y para valores pares de n se derivaría de otra conjetura sobre cuadrados latinos de Alon y Tarsi. [1] [5] Con base en esta implicación, se sabe que la conjetura es cierta para álgebras lineales sobre números reales para infinitos valores de n . [6]
En relación con el teorema de Tverberg , Bárány y Larman (1992) conjeturaron que, para cada conjunto de r ( d + 1) puntos en el espacio euclidiano d -dimensional , coloreados con d + 1 colores de tal manera que haya r puntos de cada color, hay una manera de dividir los puntos en arcoíris simples (conjuntos de d + 1 puntos con un punto de cada color) de tal manera que los cascos convexos de estos conjuntos tengan una intersección no vacía. [7] Por ejemplo, el caso bidimensional (probado por Bárány y Larman) con r = 3 establece que, por cada conjunto de nueve puntos en el plano, coloreados con tres colores y tres puntos de cada color, es posible dividir los puntos en tres triángulos arcoíris que se cruzan, una afirmación similar a la conjetura básica de Rota que establece que es posible dividir los puntos en tres triángulos arcoíris no degenerados. La conjetura de Bárány y Larman permite considerar una terna colineal de puntos como un triángulo arcoíris, mientras que la conjetura básica de Rota no lo permite; por otro lado, la conjetura básica de Rota no requiere que los triángulos tengan una intersección común. Blagojević, Matschke y Ziegler (2009) lograron avances sustanciales en la conjetura de Bárány y Larman. [8]
