Teorema de Poincaré-Hopf

Cuenta 0 de un campo vectorial en una variedad diferenciable usando su característica de Euler

En matemáticas , el teorema de Poincaré-Hopf (también conocido como fórmula del índice de Poincaré-Hopf , teorema del índice de Poincaré-Hopf o teorema del índice de Hopf ) es un teorema importante que se utiliza en topología diferencial . Lleva el nombre de Henri Poincaré y Heinz Hopf .

El teorema de Poincaré-Hopf a menudo se ilustra con el caso especial del teorema de la bola peluda , que simplemente establece que no existe un campo vectorial suave en una n-esfera de dimensión uniforme que no tenga fuentes ni sumideros.

Según el teorema de Poincaré-Hopf, las trayectorias cerradas pueden rodear dos centros y una silla o un centro, pero nunca sólo la silla. (Aquí para el caso de un sistema hamiltoniano )

Declaración formal

Sea una variedad diferenciable, de dimensión , y un campo vectorial en . Supongamos que es un cero aislado de y fije algunas coordenadas locales cerca de . Elija una bola cerrada centrada en , de modo que sea el único cero de in . Entonces el índice de at , se puede definir como el grado del mapa desde el límite de hasta la esfera dada por . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {index} _{x}(v)}$ ${\displaystyle u:\partial D\to \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle u(z)=v(z)/\|v(z)\|}$

Teorema. Sea una variedad diferenciable compacta . Sea un campo vectorial con ceros aislados. Si tiene límite , entonces insistimos en que apunte en la dirección normal hacia afuera a lo largo del límite. Entonces tenemos la fórmula ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,}$

donde la suma de los índices está sobre todos los ceros aislados de y es la característica de Euler de . Un corolario particularmente útil es cuando hay un campo vectorial que no desaparece, lo que implica la característica de Euler 0. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \chi (M)}$ ${\displaystyle M}$

El teorema fue demostrado para dos dimensiones por Henri Poincaré ^[1] y luego generalizado a dimensiones superiores por Heinz Hopf . ^[2]

Significado

La característica de Euler de una superficie cerrada es un concepto puramente topológico , mientras que el índice de un campo vectorial es puramente analítico . Por tanto, este teorema establece un vínculo profundo entre dos áreas de las matemáticas aparentemente no relacionadas. Quizás sea igualmente interesante que la prueba de este teorema dependa en gran medida de la integración y, en particular, del teorema de Stokes , que establece que la integral de la derivada exterior de una forma diferencial es igual a la integral de esa forma sobre el límite. En el caso especial de una variedad sin límite, esto equivale a decir que la integral es 0. Pero al examinar campos vectoriales en una vecindad suficientemente pequeña de una fuente o un sumidero, vemos que las fuentes y los sumideros contribuyen con cantidades enteras (conocido como índice ) al total, y todos deben sumar 0. Este resultado puede ser considerado ^{[ ¿por quién? ]} uno de los primeros de toda una serie de teoremas (p. ej., teorema del índice de Atiyah-Singer , teorema de De Rham , teorema de Grothendieck-Riemann-Roch ) que establecen relaciones profundas entre conceptos geométricos y analíticos o físicos . Desempeñan un papel importante en el estudio moderno de ambos campos.

Bosquejo de prueba

1. Incruste M en algún espacio euclidiano de alta dimensión. (Utilice el teorema de incrustación de Whitney ).
2. Tome una pequeña vecindad de M en ese espacio euclidiano, N _ε . Extienda el campo vectorial a esta vecindad para que todavía tenga los mismos ceros y los ceros tengan los mismos índices. Además, asegúrese de que el campo vectorial extendido en el límite de N _ε esté dirigido hacia afuera.
3. La suma de los índices de los ceros del antiguo (y nuevo) campo vectorial es igual al grado del mapa de Gauss desde el límite de N _ε hasta la esfera dimensional ( n –1) . Por tanto, la suma de los índices es independiente del campo vectorial real y depende únicamente de la variedad M.
   Técnica: elimine todos los ceros del campo vectorial con vecindades pequeñas. Luego use el hecho de que el grado de un mapa desde el límite de una variedad n-dimensional hasta una esfera ( n –1)-dimensional , que puede extenderse a toda la variedad n-dimensional, es cero. ^{[ cita necesaria ]}
4. Finalmente, identifique esta suma de índices como la característica de Euler de M. Para hacer eso, construya un campo vectorial muy específico en M usando una triangulación de M para la cual esté claro que la suma de índices es igual a la característica de Euler.

Generalización

Todavía es posible definir el índice para un campo vectorial con ceros no aislados. En la Sección 1.1.2 de (Brasselet, Seade & Suwa 2009) se describe una construcción de este índice y la extensión del teorema de Poincaré-Hopf para campos vectoriales con ceros no aislados.

Ver también

• Fórmula distintiva de Eisenbud-Levine-Khimshiashvili
• teorema de hopf

Referencias

1. Henri Poincaré, Sobre curvas definidas por ecuaciones diferenciales (1881-1882)
2. H. Hopf, Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Matemáticas. Ana. 96 (1926), págs. 209-221.

• "Teorema de Poincaré-Hopf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). Campos vectoriales sobre variedades singulares . Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-05205-7.