teorema de pohlke

El teorema de Pohlke es el teorema fundamental de la axonometría . Fue fundado en 1853 por el pintor y profesor de geometría descriptiva alemán Karl Wilhelm Pohlke . La primera demostración del teorema fue publicada en 1864 por el matemático alemán Hermann Amandus Schwarz , que fue alumno de Pohlke. Por lo tanto, el teorema a veces también se llama teorema de Pohlke y Schwarz .

el teorema

teorema de pohlke

• Tres secciones de línea arbitrarias en un plano que se originan en el punto , que no están contenidas en una línea, pueden considerarse como la proyección paralela de tres aristas de un cubo . ${\displaystyle {\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}}$ ${\displaystyle {\overline {O}}}$ ${\displaystyle OU,OV,OW}$

Para mapear un cubo unitario, se debe aplicar una escala adicional ya sea en el espacio o en el plano. Debido a que una proyección paralela y una escala preservan las proporciones, se puede mapear un punto arbitrario mediante el procedimiento axonométrico siguiente. ${\displaystyle P=(x,y,z)}$

El teorema de Pohlke se puede expresar en términos de álgebra lineal como:

• Cualquier mapeo afín del espacio tridimensional en un plano puede considerarse como la composición de una similitud y una proyección paralela. ^[1]

Aplicación a la axonometría

el principio de proyección axonométrica

El teorema de Pohlke es la justificación del siguiente procedimiento sencillo para construir una proyección paralela escalada de un objeto tridimensional usando coordenadas: ^{[2] [3]}

1. Elija las imágenes de los ejes de coordenadas, no contenidas en una línea.
2. Elija para cualquier eje de coordenadas para acortamientos ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}$
3. La imagen de un punto está determinada por tres pasos, comenzando en el punto : ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ ${\displaystyle {\overline {O}}}$

ir en dirección, entonces ${\displaystyle v_{x}\cdot x}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$

ir en dirección, entonces ${\displaystyle v_{y}\cdot y}$ ${\displaystyle {\overline {y}}}$

ir en dirección y ${\displaystyle v_{z}\cdot z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$

4. marca el punto como . ${\displaystyle {\overline {P}}}$

Para obtener imágenes no distorsionadas, hay que elegir cuidadosamente las imágenes de los ejes y los escorzos (ver Axonometría ). Para obtener una proyección ortográfica sólo se liberan las imágenes de los ejes y se determinan los acortamientos. (ver de:orthogonale Axonometrie).

Comentarios sobre la prueba de Schwarz

Schwarz formuló y demostró la afirmación más general:

• Los vértices de cualquier cuadrilátero pueden considerarse como una proyección paralela oblicua de los vértices de un tetraedro similar a un tetraedro dado. ^[4]

y utilizó un teorema de L'Huilier :

• Todo triángulo puede considerarse como la proyección ortográfica de un triángulo de una forma determinada.

Notas

1. G. Pickert: Vom Satz von Pohlke zur linearen Algebra , Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, págs.
2. Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle y Meyer, Heidelberg 1961, ISBN  3-494-00488-9 , p.144.
3. Roland Stärk: Darstellende Geometrie , Schöningh, 1978, ISBN 3-506-37443-5 , p.156. 
4. Sklenáriková, Zita; Pémová, Marta (2007). "El teorema de Pohlke-Schwarz y su relevancia en la didáctica de las matemáticas" (PDF) . Quaderni di Ricerca en Didattica (17). GRIM (Departamento de Matemáticas, Universidad de Palermo, Italia): 155.

Referencias

• K. Pohlke : Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlín 1876 (Libros de Google).
• Schwarz, HA : Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie , J. reine angew. Matemáticas. 63, 309–314, 1864.
• Arnold Emch: Prueba del teorema de Pohlke y sus generalizaciones por afinidad , American Journal of Mathematics, vol. 40, núm. 4 (octubre de 1918), págs. 366–374

enlaces externos

• F. Klein: El teorema fundamental de Pohlke, en Matemática elemental desde un punto de vista superior: Volumen II: Geometría, p. 97,
• Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 años de geometría: las matemáticas en la historia y la cultura, pag. 398.
• Teorema de Pohlke-Schwarz, Enciclopedia de Matemáticas.