Teorema de Lusin

Teorema de la teoría de la medida

En el campo matemático del análisis matemático , el teorema de Lusin (o teorema de Luzin , llamado así por Nikolai Luzin ) o criterio de Lusin establece que una función finita casi universal es medible si y solo si es una función continua en casi todo su dominio. En la formulación informal de JE Littlewood , "toda función medible es casi continua".

Declaración clásica

Para un intervalo [ a ,  b ], sea

${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$

sea ​​una función medible. Entonces, para cada ε  > 0, existe una E  ⊆ [ a ,  b ] compacta tal que f restringida a E es continua y

${\displaystyle \mu (E)>b-a-\varepsilon .}$

Nótese que E hereda la topología del subespacio de [ a ,  b ]; la continuidad de f restringida a E se define utilizando esta topología.

También para cualquier función f , definida en el intervalo [ a, b ] y casi en todas partes finita, si para cualquier ε > 0 existe una función ϕ , continua en [ a, b ], tal que la medida del conjunto

${\displaystyle \{x\in [a,b]:f(x)\neq \phi (x)\}}$

es menor que ε , entonces f es medible. ^[1]

Forma general

Sea un espacio de medida de Radon y Y un espacio topológico de segundo orden contable equipado con un álgebra de Borel , y sea una función medible. Dado , para cada uno de medida finita existe un conjunto cerrado con tal que restringido a es continuo. Si es localmente compacto y , podemos elegir que sea compacto e incluso encontrar una función continua con soporte compacto que coincida con en y tal que ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (A\setminus E)<\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{\varepsilon }:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|}$.

De manera informal, las funciones mensurables en espacios con base contable pueden aproximarse mediante funciones continuas en una porción arbitrariamente grande de su dominio.

Sobre la prueba

La demostración del teorema de Lusin se puede encontrar en muchos libros clásicos. Intuitivamente, se espera que sea una consecuencia del teorema de Egorov y de la densidad de funciones suaves. El teorema de Egorov establece que la convergencia puntual es casi uniforme y que la convergencia uniforme preserva la continuidad.

Ejemplo

La fuerza del teorema de Lusin puede no ser evidente a primera vista, como se puede demostrar con un ejemplo. Consideremos la función de Dirichlet , que es la función indicadora en el intervalo unitario que toma el valor de uno en los racionales y cero en el resto de los casos. Claramente, la medida de esta función debería ser cero, pero ¿cómo se pueden encontrar regiones que sean continuas, dado que los racionales son densos en los reales? Los requisitos del teorema de Lusin se pueden satisfacer con la siguiente construcción de un conjunto ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle E.}$

Sea cualquier enumeración de . Conjunto ${\displaystyle \{x_{n};n=1,2,\dots \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle G_{n}=(x_{n}-\varepsilon /2^{n},x_{n}+\varepsilon /2^{n})}$

y

${\displaystyle E:=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }G_{n}}$.

Entonces, la secuencia de conjuntos abiertos "elimina" todos los números racionales, dejando atrás un conjunto compacto y cerrado que no contiene ningún número racional y tiene una medida de más de . ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 1-2\varepsilon }$

Referencias

Fuentes

• N. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 154 (1912), 1688-1690.
• G. Folland. Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones , 2.ª ed. Capítulo 7
• W. Zygmunt. Propiedad Scorza-Dragoni (en polaco), UMCS, Lublin, 1990
• MB Feldman, "Una prueba del teorema de Lusin", American Math. Monthly, 88 (1981), 191-2
• Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, "Teoría de la medida y propiedades finas de funciones", CRC Press Taylor & Francis Group, Libros de texto de matemáticas, Teorema 1.14

Citas

1. "Criterio de Luzin - Enciclopedia de Matemáticas".