Teorema de Green-Tao

Teorema sobre los números primos

En teoría de números , el teorema de Green-Tao , demostrado por Ben Green y Terence Tao en 2004, establece que la secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas . En otras palabras, para cada número natural k , existen progresiones aritméticas de números primos con k términos. La prueba es una extensión del teorema de Szemerédi . El problema se remonta a las investigaciones de Lagrange y Waring de alrededor de 1770. ^[1]

Declaración

Denotemos el número de números primos menores o iguales a . Si es un subconjunto de los números primos tal que ${\displaystyle \pi (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \limsup _{N\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}}>0,}$

entonces, para todos los números enteros positivos , el conjunto contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud . En particular, todo el conjunto de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

En su trabajo posterior sobre la conjetura generalizada de Hardy-Littlewood , Green y Tao establecieron y demostraron condicionalmente la fórmula asintótica.

${\displaystyle ({\mathfrak {S}}_{k}+o(1)){\frac {N^{2}}{(\log N)^{k}}}}$

para el número de k tuplas de números primos en progresión aritmética. ^[2] Aquí está la constante ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dotsb <p_{k}\leq N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}:={\frac {1}{2(k-1)}}\left(\prod _{p\leq k}{\frac {1}{p}}\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!\left(\prod _{p>k}\left(1-{\frac {k-1}{p}}\right)\!\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!.}$

El resultado fue hecho incondicional por Green-Tao ^[3] y Green-Tao-Ziegler. ^[4]

Resumen de la prueba

La prueba de Green y Tao tiene tres componentes principales:

1. El teorema de Szemerédi , que afirma que los subconjuntos de números enteros con densidad superior positiva tienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. A priori no se aplica a los números primos porque los números primos tienen densidad cero en los números enteros.
2. Un principio de transferencia que extiende el teorema de Szemerédi a subconjuntos de números enteros que son pseudoaleatorios en un sentido adecuado. Este resultado ahora se denomina teorema relativo de Szemerédi.
3. Un subconjunto pseudoaleatorio de números enteros que contienen los números primos como un subconjunto denso. Para construir este conjunto, Green y Tao utilizaron ideas del trabajo de Goldston, Pintz y Yıldırım sobre brechas primarias . ^[5] Una vez establecida la pseudoaleatoriedad del conjunto, se podrá aplicar el principio de transferencia, completando la prueba.

Se han encontrado numerosas simplificaciones del argumento del artículo original ^[1] . Conlon, Fox y Zhao (2014) ofrecen una exposición moderna de la prueba.

trabajo numérico

La prueba del teorema de Green-Tao no muestra cómo encontrar las progresiones aritméticas de números primos; simplemente prueba que existen . Se han realizado trabajos computacionales separados para encontrar grandes progresiones aritméticas en los números primos.

El artículo de Green-Tao afirma: 'En el momento de escribir este artículo, la progresión aritmética de números primos más larga conocida tiene una longitud de 23 y fue encontrada en 2004 por Markus Frind, Paul Underwood y Paul Jobling: 56211383760397 + 44546738095860 ·  k ; k = 0, 1, . . ., 22.'.

El 18 de enero de 2007, Jarosław Wróblewski encontró el primer caso conocido de 24 números primos en progresión aritmética : ^[6]

468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n , para n = 0 a 23.

La constante 223.092.870 aquí es el producto de los números primos hasta 23, escrito de forma más compacta 23# en notación primorial .

El 17 de mayo de 2008, Wróblewski y Raanan Chermoni encontraron el primer caso conocido de 25 números primos:

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 23# · n , para n = 0 a 24.

El 12 de abril de 2010, Benoît Perichon con el software de Wróblewski y Geoff Reynolds en un proyecto PrimeGrid distribuido encontró el primer caso conocido de 26 números primos (secuencia A204189 en el OEIS ):

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 23# · n , para n = 0 a 25.

En septiembre de 2019, Rob Gahan y PrimeGrid encontraron el primer caso conocido de 27 números primos (secuencia A327760 en el OEIS ):

224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 23# · n , para n = 0 a 26.

Extensiones y generalizaciones

Muchas de las extensiones del teorema de Szemerédi también son válidas para los números primos.

De forma independiente, Tao y Ziegler ^[7] y Cook, Magyar y Titichetrakun ^{[8] [9]} derivaron una generalización multidimensional del teorema de Green-Tao. Fox y Zhao también simplificaron la prueba de Tao-Ziegler. ^[10]

En 2006, Tao y Ziegler ampliaron el teorema de Green-Tao para cubrir las progresiones polinómicas. ^{[11] [12]} Más precisamente, dados polinomios con valores enteros P ₁ , ..., P _k en una m desconocida , todos con término constante 0, hay infinitos números enteros x , m tales que x  +  P ₁ ( m ), ..., x  +  P _k ( m ) son simultáneamente primos. El caso especial cuando los polinomios son m , 2 m , ..., km implica el resultado anterior de que existen progresiones aritméticas de números primos de longitud k .

Tao demostró ser un análogo del teorema de Green-Tao para los números primos de Gauss . ^[13]

Ver también

• Conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas
• Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas
• Combinatoria aritmética

Referencias

1. Verde, Ben ; Tao, Terence (2008). "Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas". Anales de Matemáticas . 167 (2): 481–547. arXiv : math.NT/0404188 . doi : 10.4007/annals.2008.167.481. SEÑOR  2415379. S2CID  1883951..
2. Verde, Ben; Tao, Terence (2010). "Ecuaciones lineales en números primos". Anales de Matemáticas . 171 (3): 1753–1850. arXiv : matemáticas/0606088 . doi : 10.4007/annals.2010.171.1753. SEÑOR  2680398. S2CID  119596965.
3. Verde, Ben; Tao, Terence (2012). "La función de Möbius es fuertemente ortogonal a nilsecuencias". Anales de Matemáticas . 175 (2): 541–566. arXiv : 0807.1736 . doi : 10.4007/annals.2012.175.2.3. SEÑOR  2877066.
4. Verde, Ben; Tao, Terencia; Ziegler, Tamar (2012). "Un teorema inverso para la norma de Gowers". Anales de Matemáticas . 172 (2): 1231-1372. arXiv : 1009.3998 . doi : 10.4007/annals.2012.176.2.11. SEÑOR  2950773. ${\displaystyle U^{s+1}[N]}$
5. Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. (2009). "Primos en tuplas. I". Anales de Matemáticas . 170 (2): 819–862. arXiv : matemáticas/0508185 . doi : 10.4007/annals.2009.170.819. SEÑOR  2552109. S2CID  1994756.
6. Andersen, Jens Kruse. "Primos en registros de progresión aritmética" . Consultado el 27 de junio de 2015 .
7. Tao, Terencia; Ziegler, Tamar (2015). "Un teorema de Szemerédi multidimensional para los números primos mediante un principio de correspondencia". Revista Israelí de Matemáticas . 207 (1): 203–228. arXiv : 1306.2886 . doi : 10.1007/s11856-015-1157-9 . SEÑOR  3358045. S2CID  119685169.
8. Cocinero, Brian; Magyar, Ákos (2012). "Constelaciones en ". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 2012 (12): 2794–2816. doi :10.1093/imrn/rnr127. SEÑOR  2942710. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$
9. Cocinero, Brian; magiar, Ákos; Titichetrakun, Tatchai (2018). "Un teorema multidimensional de Szemerédi en los números primos mediante combinatoria". Anales de combinatoria . 22 (4): 711–768. arXiv : 1306.3025 . doi :10.1007/s00026-018-0402-4. S2CID  126417608.
10. Zorro, Jacob; Zhao, Yufei (2015). "Una breve prueba del teorema multidimensional de Szemerédi en los números primos". Revista Estadounidense de Matemáticas . 137 (4): 1139-1145. arXiv : 1307.4679 . doi :10.1353/ajm.2015.0028. SEÑOR  3372317. S2CID  17336496.
11. Tao, Terencia ; Ziegler, Tamar (2008). "Los números primos contienen progresiones polinomiales arbitrariamente largas". Acta Matemática . 201 (2): 213–305. arXiv : matemáticas/0610050 . doi : 10.1007/s11511-008-0032-5 . SEÑOR  2461509. S2CID  119138411.
12. Tao, Terencia ; Ziegler, Tamar (2013). "Errata de" Los números primos contienen progresiones polinómicas arbitrariamente largas"". Acta Matemática . 210 (2): 403–404. doi : 10.1007/s11511-013-0097-7 . SEÑOR  3070570.
13. Tao, Terence (2006). "Los números primos de Gauss contienen constelaciones de formas arbitrarias". Revista de Análisis Matemático . 99 (1): 109-176. arXiv : matemáticas/0501314 . doi : 10.1007/BF02789444 . SEÑOR  2279549. S2CID  119664036.

Otras lecturas

• Conlón, David ; Zorro, Jacob ; Zhao, Yufei (2014). "El teorema de Green-Tao: una exposición". Encuestas EMS en Ciencias Matemáticas . 1 (2): 249–282. arXiv : 1403.2957 . doi :10.4171/EMSS/6. SEÑOR  3285854. S2CID  119301206.
• Gowers, Timoteo (2010). "Descomposiciones, estructura aproximada, transferencia y teorema de Hahn-Banach". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 42 (4): 573–606. arXiv : 0811.3103 . doi :10.1112/blms/bdq018. SEÑOR  2669681. S2CID  17216784.
• Verde, Ben (2007). "Largas progresiones aritméticas de números primos". En Duque, William; Tschinkel, Yuri (eds.). Teoría analítica de números . Procedimiento de Matemáticas de Arcilla. vol. 7. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 149-167. ISBN 978-0-8218-4307-9. SEÑOR  2362199.
• Anfitrión, Bernard (2006). "Progressions arithmétiques dans les nombres premiers (d'après B. Green et T. Tao)" [Progresiones aritméticas en los números primos (según B. Green y T. Tao)] (PDF) . Astérisque (en francés) (307): 229–246. arXiv : matemáticas/0609795 . Código Bib : 2006 matemáticas ...... 9795H. SEÑOR  2296420.
• Kra, Bryna (2006). "El teorema de Green-Tao sobre progresiones aritméticas en los números primos: un punto de vista ergódico". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 43 (1): 3–23. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01086-4 . SEÑOR  2188173.
• Tao, Terence (2006). "Progresiones aritméticas y los números primos". Collectanea Mathematica . Más: 37–88. SEÑOR  2264205. Archivado desde el original el 5 de agosto de 2015 . Consultado el 5 de junio de 2015 .
• Tao, Terence (2006). "Obstáculos a la uniformidad y patrones aritméticos en los números primos". Matemática Pura y Aplicada Trimestral . 2 (2): 395–433. arXiv : matemáticas/0505402 . doi :10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a2. SEÑOR  2251475. S2CID  6939076.
• Tao, Terence (7 de enero de 2008). "Conferencia AMS: Estructura y aleatoriedad en los números primos".