teorema de budán

Límite superior y paridad del número de raíces reales de un polinomio en un intervalo

En matemáticas, el teorema de Budan es un teorema para acotar el número de raíces reales de un polinomio en un intervalo y calcular la paridad de este número. Fue publicado en 1807 por François Budan de Boislaurent .

Joseph Fourier publicó de forma independiente un teorema similar en 1820. Cada uno de estos teoremas es un corolario del otro. La afirmación de Fourier aparece con mayor frecuencia en la literatura del siglo XIX y se la conoce como teorema de Fourier , Budan-Fourier , Fourier-Budan e incluso teorema de Budan.

La formulación original de Budan se utiliza en algoritmos modernos y rápidos para el aislamiento de polinomios en raíces reales .

Variación de signos

Sea una secuencia finita de números reales. Una variación de signo o cambio de signo en la secuencia es un par de índices i < j tal que y j = i + 1 o para todo k tal que i < k < j . ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},\ldots c_{k}}$ ${\displaystyle c_{i}c_{j}<0,}$ ${\displaystyle c_{k}=0}$

En otras palabras, se produce una variación de signo en la secuencia en cada lugar donde cambian los signos, al ignorar los ceros.

Para estudiar las raíces reales de un polinomio, se puede utilizar el número de variaciones de signo de varias secuencias. Para el teorema de Budan, es la secuencia de los coeficientes. Para el teorema de Fourier, es la secuencia de valores de las derivadas sucesivas en un punto. Para el teorema de Sturm es la secuencia de valores en un punto de la secuencia de Sturm .

La regla de los signos de Descartes

Todos los resultados descritos en este artículo se basan en la regla de los signos de Descartes.

Si p ( x ) es un polinomio univariado con coeficientes reales, denotaremos por # ₊ ( p ) el número de sus raíces reales positivas, contadas con su multiplicidad, ^[1] y por v ( p ) el número de variaciones de signo en la secuencia de sus coeficientes. La regla de los signos de Descartes afirma que

v ( p ) – # ₊ ( p ) es un número entero par no negativo.

En particular, si v ( p ) ≤ 1 , entonces se tiene # ₊ ( p ) = v ( p ) .

La declaración de Budan

Dado un polinomio univariado p ( x ) con coeficientes reales, denotamos por # _{( ℓ , r ]} ( p ) el número de raíces reales, contadas con sus multiplicidades, ^[1] de p en un intervalo semiabierto ( ℓ , r ] (con ℓ < r números reales). Denotemos también por v _h ( p ) el número de variaciones de signo en la secuencia de los coeficientes del polinomio p _h ( x ) = p ( x + h ) . , se tiene v ( p ) = v ₀ ( p ) con la notación de la sección anterior.

El teorema de Budan es el siguiente:

${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)-\#_{(\ell ,r]}}$es un número entero par no negativo.

Como no es negativo, esto implica ${\displaystyle \#_{(\ell ,r]}}$ ${\displaystyle v_{\ell }(p)\geq v_{r}(p).}$

Esta es una generalización de la regla de signos de Descartes, ya que, si se elige r suficientemente grande, es mayor que todas las raíces reales de p , y todos los coeficientes de son positivos, es decir, Así , y lo que hace que la regla de signos de Descartes sea una Caso especial del teorema de Budan. ${\displaystyle p_{r}(x)}$ ${\displaystyle v_{r}(p)=0.}$ ${\displaystyle v_{0}(p)=v_{0}(p)-v_{r}(p),}$ ${\displaystyle \#_{+}=\#_{(0,r)},}$

En cuanto a la regla de signos de Descartes, si se tiene Esto significa que si se tiene una "prueba de raíz cero" y una "prueba de raíz única". ${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)\leq 1,}$ ${\displaystyle \#_{(\ell ,r]}=v_{\ell }(p)-v_{r}(p).}$ ${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)\leq 1}$

Ejemplos

1. Dado el polinomio y el intervalo abierto , se tiene ${\displaystyle p(x)=x^{3}-7x+7,}$ ${\displaystyle (0,2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x+0)&=p(x)=x^{3}-7x+7\\p(x+2)&=(x+2)^{3}-7(x+2)+7=x^{3}+6x^{2}+5x+1\end{aligned}}.}$

Por tanto, el teorema de Budan afirma que el polinomio tiene dos o cero raíces reales en el intervalo abierto. ${\displaystyle v_{0}(p)-v_{2}(p)=2-0=2,}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle (0,2).}$

2. Con el mismo polinomio se tiene ${\displaystyle p(x)=x^{3}-7x+7}$

${\displaystyle p(x+1)=(x+1)^{3}-7(x+1)+7=x^{3}+3x^{2}-4x+1.}$

Por tanto, el teorema de Budan afirma que el polinomio no tiene raíz real en el intervalo abierto. Este es un ejemplo del uso del teorema de Budan como prueba de raíz cero. ${\displaystyle v_{0}(p)-v_{1}(p)=2-2=0,}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle (0,1).}$

La declaración de Fourier

El teorema de Fourier sobre raíces reales polinómicas , también llamado teorema de Fourier-Budan o teorema de Budan-Fourier (a veces simplemente teorema de Budan ) es exactamente igual que el teorema de Budan, excepto que, para h = l y r , la secuencia de los coeficientes de p ( x + h ) se reemplaza por la secuencia de las derivadas de p en h .

Cada teorema es corolario del otro. Esto resulta de la expansión de Taylor.

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\deg p}{\frac {p^{(i)}(h)}{i!}}(x-h)^{i}}$

del polinomio p en h , lo que implica que el coeficiente de x ⁱ en p ( x + h ) es el cociente de por i ! , un número positivo. Así, las sucesiones consideradas en el teorema de Fourier y en el teorema de Budan tienen el mismo número de variaciones de signo. ${\displaystyle p^{(i)}(h)}$

Esta fuerte relación entre los dos teoremas puede explicar la controversia de prioridad que ocurrió en el siglo XIX y el uso de varios nombres para el mismo teorema. En el uso moderno, para cálculos por computadora, generalmente se prefiere el teorema de Budan ya que las secuencias tienen coeficientes mucho mayores en el teorema de Fourier que en el de Budan, debido al factor factorial.

Prueba

Como cada teorema es corolario del otro, basta con demostrar el teorema de Fourier.

Prueba:

Sea el grado de , de modo que sean polinomios no constantes, sea una constante distinta de cero y todos sean idénticamente cero. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,f',...,f^{(n-1)}}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle f^{(n+1)},...}$

En función del signo, la variación sólo puede variar en la raíz de al menos uno de ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle v_{t}(f)}$ ${\displaystyle f,f',...,f^{(n-1)}.}$

Si varía en , entonces para algunos , tiene una raíz en y cada uno de ellos no tiene raíz en . ${\displaystyle v_{t}(f)}$ ${\displaystyle t=r}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f,f',...,f^{(k-1)}}$ ${\displaystyle t}$

Si , entonces para algunos y algún polinomio que satisfaga . Calculando explícitamente en y para un pequeño , tenemos ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle f(x)=(x-r)^{s}p(x-r)}$ ${\displaystyle s\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)\neq 0}$ ${\displaystyle f,f',...,f^{(n)}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r-\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle v_{r}(f)=v_{r-\epsilon }(f)-s-2s',\quad \exists s'\geq 0.}$

En esta ecuación, el término se debe a los signos de cambiar de a . El término se debe a que los signos derivados más altos posiblemente se conviertan en cero. ${\displaystyle -s}$ ${\displaystyle f,f',...,f^{(s)}}$ ${\displaystyle (-1)^{s}\operatorname {sign} (p(0)),(-1)^{s-1}\operatorname {sign} (p(0)),...,-\operatorname {sign} (p(0)),\operatorname {sign} (p(0))}$ ${\displaystyle 0,0,...,0,\operatorname {sign} (p(0))}$ ${\displaystyle -2s',\quad \exists s'\geq 0}$

Si , entonces, dado que algunas derivadas se ponen a cero en , pero ambas permanecen distintas de cero, solo perdemos un número par de cambios de signo: ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f^{(k-1)}(x)}$ ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$

$${\displaystyle v_{r}(f)=v_{r-\epsilon }(f)-2s',\quad \exists s'\geq 0}$$

Si varía en , entonces, argumentando de manera similar, encontramos que para ambos casos, podemos tomar un valor pequeño tal que . ${\displaystyle v_{t}(f)}$ ${\displaystyle t=l}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle v_{l+\epsilon }(f)=v_{l}(f)}$

Historia

El problema de contar y localizar las raíces reales de un polinomio comenzó a estudiarse sistemáticamente sólo a principios del siglo XIX.

En 1807, François Budan de Boislaurent descubrió un método para extender la regla de los signos de Descartes —válida para el intervalo (0, +∞) — a cualquier intervalo. ^[2]

Joseph Fourier publicó un teorema similar en 1820, ^[3] en el que trabajó durante más de veinte años. ^[4]

Debido a la similitud entre los dos teoremas, hubo una controversia prioritaria, ^{[5] [6]} a pesar de que los dos teoremas se descubrieron de forma independiente. ^[4] Fueron generalmente la formulación y la demostración de Fourier las que se utilizaron, durante el siglo XIX, en los libros de texto sobre teoría de ecuaciones .

Uso en el siglo XIX

Los teoremas de Budan y de Fourier pronto fueron considerados de gran importancia, aunque no resuelven completamente el problema de contar el número de raíces reales de un polinomio en un intervalo. Este problema fue resuelto completamente en 1827 por Sturm .

Aunque el teorema de Sturm no se basa en la regla de los signos de Descartes , los teoremas de Sturm y Fourier están relacionados no sólo por el uso del número de variaciones de signos de una secuencia de números, sino también por un enfoque similar del problema. El propio Sturm reconoció haberse inspirado en los métodos de Fourier: ^[7] « C'est en m'appuyant sur les principes qu'il a posés, et en imitant ses démonstrations, que j'ai trouvé les nouveaux théorèmes que je vais énoncer. » que se traduce como « Confiando en los principios que ha establecido e imitando sus demostraciones he encontrado los nuevos teoremas que estoy a punto de presentar. »

Debido a esto, durante el siglo XIX, los teoremas de Fourier y Sturm aparecieron juntos en casi todos los libros sobre teoría de ecuaciones.

Fourier y Budan dejaron abierto el problema de reducir el tamaño de los intervalos en los que se buscan raíces de manera que, eventualmente, la diferencia entre los números de variaciones de signo sea como máximo uno, permitiendo certificar que los intervalos finales contienen como máximo una raíz. cada. Este problema fue resuelto en 1834 por Alexandre Joseph Hidulph Vincent. ^[8] A grandes rasgos, el teorema de Vincent consiste en utilizar fracciones continuas para sustituir las transformaciones lineales de la variable de Budan por transformaciones de Möbius .

Los teoremas de Budan, Fourier y Vincent cayeron en el olvido a finales del siglo XIX. El último autor que menciona estos teoremas antes de la segunda mitad del siglo XX es Joseph Alfred Serret . ^[9] Fueron introducidos nuevamente en 1976 por Collins y Akritas, para proporcionar, en álgebra informática , un algoritmo eficiente para el aislamiento de raíces reales en computadoras. ^[10]

Ver también

• Propiedades de las raíces polinómicas
• Algoritmo de búsqueda de raíces

Referencias

1. Esto significa que una raíz de multiplicidad m se cuenta como m raíces.
2. Budan, François D. (1807). Nuevo método para la resolución de ecuaciones numéricas. París: Courcier.
3. Fourier, Jean Baptiste José (1820). "Sur l'usage du théorème de Descartes dans la recherche des limites des racines". Bulletin des Sciences, par la Société Philomatique de Paris : 156–165.
4. Arago, François (1859), Biografías de científicos distinguidos, Boston: Ticknor and Fields (traducción al inglés), p. 383
5. Akritas, Alkiviadis G. (1981). "Sobre la controversia Budan-Fourier". Boletín ACM SIGSAM . 15 (1): 8–10. doi : 10.1145/1089242.1089243 . S2CID  6086015.
6. Akritas, Alkiviadis G. (1982). "Reflexiones sobre un par de teoremas de Budan y Fourier". Revista Matemáticas . 55 (5): 292–298. doi :10.2307/2690097. JSTOR  2690097.
7. Benis-Sinaceur, Hourya (1988). "Deux momentos dans l'histoire du Théorème d'algèbre de Ch. F. Sturm" (PDF) . Revista de Historia de las Ciencias . 41 (2): 99-132 (pág. 108). doi :10.3406/rhs.1988.4093. S2CID  201270382.
8. Vicente, Alexandre Joseph Hidulph (1834). "Mémoire sur la résolution des équations numériques". Mémoires de la Société Royale des Sciences, de l'Agriculture et des Arts, de Lille : 1–34.
9. Serret, José A. (1877). Cours d'algèbre supérieure. Tomo I. Gauthier-Villars. págs. 363–368.
10. Collins, GE ; Akritas, AG (1976). Aislamiento de raíces reales polinómicas mediante la regla de los signos de Descarte. Actas del simposio ACM de 1976 sobre Computación Simbólica y Algebraica. págs. 272-275. doi : 10.1145/800205.806346 .

enlaces externos

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Budan de Boislaurent", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews