Teoría de Ghirardi-Rimini-Weber

Objective collapse theory in quantum mechanics

La teoría de Ghirardi-Rimini-Weber ( GRW ) es una teoría del colapso espontáneo en mecánica cuántica , propuesta en 1986 por Giancarlo Ghirardi , Alberto Rimini y Tullio Weber. ^[1]

Problema de medición y colapsos espontáneos

La mecánica cuántica tiene dos principios dinámicos fundamentalmente diferentes: la ecuación de Schrödinger, lineal y determinista , y el postulado de reducción de paquetes de ondas, no lineal y estocástico. La interpretación ortodoxa, o interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, postula un colapso de la función de onda cada vez que un observador realiza una medición. Por lo tanto, uno se enfrenta al problema de definir qué son un "observador" y una "medición". Otro problema de la mecánica cuántica es que predice superposiciones de objetos macroscópicos, que no se observan en la naturaleza (véase la paradoja del gato de Schrödinger ). La teoría no dice dónde está el umbral entre los mundos microscópico y macroscópico, es decir, cuándo la mecánica cuántica debería dejar espacio a la mecánica clásica . Las cuestiones mencionadas anteriormente constituyen el problema de la medición en la mecánica cuántica.

Las teorías de colapso evitan el problema de la medición fusionando los dos principios dinámicos de la mecánica cuántica en una única descripción dinámica. La idea física que subyace a las teorías de colapso es que las partículas sufren colapsos espontáneos de la función de onda, que ocurren aleatoriamente tanto en el tiempo (a una tasa media dada) como en el espacio (según la regla de Born ). De este modo se evitan los conceptos imprecisos de “observador” y “medición” que plagan la interpretación ortodoxa, porque la función de onda colapsa espontáneamente. Además, gracias a un denominado “mecanismo de amplificación” (que se analizará más adelante), las teorías de colapso recuperan tanto la mecánica cuántica para los objetos microscópicos como la mecánica clásica para los macroscópicos.

La GRW es la primera teoría del colapso espontáneo que se ideó. En los años siguientes se propusieron varios modelos diferentes. Entre ellos se encuentran:

• el modelo CSL , ^[2] que está formulado en términos de partículas idénticas;
• el modelo de Diósi-Penrose , ^{[3] [4]} que relaciona el colapso espontáneo con la gravedad;
• el modelo QMUPL, ^{[3] [5]} que demuestra importantes resultados matemáticos sobre las teorías del colapso; y
• el modelo QMUPL coloreado, ^{[6] [7] [8] [9]} que es el único modelo de colapso que involucra procesos estocásticos coloreados para los cuales se conoce la solución exacta.

Descripción

El primer supuesto de la teoría GRW es que la función de onda (o vector de estado) representa la especificación más precisa posible del estado de un sistema físico. Esta es una característica que la teoría GRW comparte con las interpretaciones estándar de la mecánica cuántica , y la distingue de las teorías de variables ocultas , como la teoría de De Broglie-Bohm , según la cual la función de onda no da una descripción completa de un sistema físico. La teoría GRW difiere de la mecánica cuántica estándar por los principios dinámicos según los cuales evoluciona la función de onda. ^{[10] [11]} Ghirardi y Bassi han discutido cuestiones más filosóficas relacionadas con la teoría GRW y con las teorías de colapso en general. ^[12]

Principios de funcionamiento

• Cada partícula de un sistema descrito por la función de onda multipartícula experimenta independientemente un proceso de localización espontáneo (o salto): ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow {\frac {|\psi _{x}^{i}\rangle }{\sqrt {\langle \psi _{x}^{i}|\psi _{x}^{i}\rangle }}}}$,

¿Dónde está el estado después de que el operador ha localizado la partícula -ésima alrededor de la posición ? ${\displaystyle |\psi _{x}^{i}\rangle ={\hat {L}}_{x}^{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$

• El proceso de localización es aleatorio tanto en el espacio como en el tiempo. Los saltos se distribuyen según Poisson en el tiempo, con una tasa media ; la densidad de probabilidad de que se produzca un salto en la posición es . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{i}(x)=\langle \psi _{x}^{i}|\psi _{x}^{i}\rangle }$
• El operador de localización tiene una forma gaussiana :

${\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{i}=\left({\frac {1}{\pi r_{C}^{2}}}\right)^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {({\hat {q}}_{i}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}}$,

donde es el operador de posición de la partícula -ésima, y ​​es la distancia de localización. ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{C}}$

• Entre dos procesos de localización, la función de onda evoluciona según la ecuación de Schrödinger .

Estos principios pueden expresarse de forma más compacta con el formalismo de operadores estadísticos . Como el proceso de localización es poissoniano, en un intervalo de tiempo existe la probabilidad de que se produzca un colapso, es decir, que el estado puro se transforme en la mezcla estadística. ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \lambda dt}$ ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{i}[\rho ]\equiv \int dx\,{\hat {L}}_{x}^{i}|\psi \rangle \langle \psi |{\hat {L}}_{x}^{i}}$.

En el mismo intervalo de tiempo, existe la probabilidad de que el sistema siga evolucionando según la ecuación de Schrödinger. En consecuencia, la ecuación maestra GRW para partículas dice: ${\displaystyle 1-\lambda dt}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho (t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},\rho (t)]-\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\left(\rho (t)-{\hat {T}}_{i}[\rho ]\right)}$,

donde es el hamiltoniano del sistema, y ​​los corchetes denotan un conmutador . ${\displaystyle {\hat {H}}}$

La teoría GRW introduce dos nuevos parámetros, a saber, la tasa de colapso y la distancia de localización . Se trata de parámetros fenomenológicos, cuyos valores no están fijados por ningún principio y deben entenderse como nuevas constantes de la Naturaleza. La comparación de las predicciones del modelo con los datos experimentales permite acotar los valores de los parámetros (véase el modelo CSL). La tasa de colapso debería ser tal que los objetos microscópicos casi nunca se localicen, recuperando así de manera efectiva la mecánica cuántica estándar. El valor propuesto originalmente fue , ^[1] mientras que más recientemente Stephen L. Adler propuso que el valor (con una incertidumbre de dos órdenes de magnitud) es más adecuado. ^[13] Existe un consenso general sobre el valor de la distancia de localización. Se trata de una distancia mesoscópica, de modo que las superposiciones microscópicas se dejan inalteradas, mientras que las macroscópicas se colapsan. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle r_{C}}$ ${\displaystyle \lambda =10^{-16}\mathrm {s} ^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda =10^{-8}\mathrm {s} ^{-1}}$ ${\displaystyle r_{C}=10^{-7}\mathrm {m} }$

Ejemplos

Cuando la función de onda sufre un salto repentino, la acción del operador de localización resulta esencialmente en la multiplicación de la función de onda por el colapso gaussiano.

Consideremos una función de onda gaussiana con dispersión , centrada en , y supongamos que ésta sufre un proceso de localización en la posición . Por lo tanto, se tiene (en una dimensión) ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{(\pi \sigma )^{\frac {1}{4}}}}\,e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\quad \longrightarrow \quad \psi _{a}(x)={\hat {L}}_{x=a}\,\psi (x)={\cal {N}}e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$,

donde es un factor de normalización. Supongamos además que el estado inicial está deslocalizado, es decir que . En este caso se tiene ${\displaystyle {\cal {N}}}$ ${\displaystyle \sigma \gg r_{C}}$

${\displaystyle \psi _{a}(x)\simeq {\cal {N}}'e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}}$,

donde es otro factor de normalización. De esta forma, se descubre que, después de que se ha producido el salto repentino, la función de onda inicialmente deslocalizada se ha vuelto localizada. ${\displaystyle {\cal {N}}'}$

Otro caso interesante es cuando el estado inicial es la superposición de dos estados gaussianos, centrados en y respectivamente: . Si la localización ocurre, por ejemplo, alrededor de uno tiene ${\displaystyle x=-a}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{2(\pi \sigma )^{\frac {1}{4}}}}\,\left[e^{-{\frac {(x+a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]}$ ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle \psi _{a}(x)={\cal {N}}e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\left[e^{-{\frac {(x+a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]={\cal {N}}\left[e^{-{\frac {\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}{2\sigma ^{2}r_{C}^{2}}}\,\left(x+{\frac {\sigma ^{2}-r_{C}^{2}}{\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}}a\right)^{2}-{\frac {2a^{2}}{\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}}}+e^{-{\frac {\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}{2\sigma ^{2}r_{C}^{2}}}\,(x-a)^{2}}\right]}$.

Si se supone que cada gaussiana está localizada ( ) y que la superposición general está deslocalizada ( ), se encuentra ${\displaystyle \sigma \ll r_{C}}$ ${\displaystyle 2a\gg r_{C}}$

${\displaystyle \psi _{a}(x)\simeq {\cal {N}}'\left[e^{-{\frac {\left(x+a\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}-{\frac {2a^{2}}{r_{C}^{2}}}}+e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]}$.

Vemos entonces que la gaussiana que es afectada por la localización no cambia, mientras que la otra es suprimida exponencialmente.

Mecanismo de amplificación

Esta es una de las características más importantes de la teoría GRW, porque nos permite recuperar la mecánica clásica para objetos macroscópicos. Consideremos un cuerpo rígido de partículas cuyo operador estadístico evoluciona de acuerdo con la ecuación maestra descrita anteriormente. Introducimos los operadores de posición del centro de masas ( ) y relativo ( ), que nos permiten reescribir el operador de posición de cada partícula de la siguiente manera: . Se puede demostrar que, cuando el hamiltoniano del sistema se puede dividir en un hamiltoniano del centro de masas y un hamiltoniano relativo , el operador estadístico del centro de masas evoluciona de acuerdo con la siguiente ecuación maestra: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}={\hat {Q}}+{\hat {r}}_{i}}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {CM} }}$ ${\displaystyle H_{r}}$ ${\displaystyle \rho _{\mathrm {CM} }}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho _{\mathrm {CM} }(t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{\mathrm {CM} },\rho _{\mathrm {CM} }(t)]-\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\left(\rho _{\mathrm {CM} }(t)-{\hat {T}}_{\mathrm {CM} }[\rho _{\mathrm {CM} }(t)]\right)}$,

dónde

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathrm {CM} }[\rho _{\mathrm {CM} }(t)]=\left({\frac {1}{\pi r_{C}^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{\infty }^{\infty }d^{3}x\,e^{-{\frac {({\hat {Q}}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\,\rho _{\mathrm {CM} }(t)\,e^{-{\frac {({\hat {Q}}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}}$.

Se ve, pues, que el centro de masas colapsa a una velocidad que es la suma de las velocidades de sus constituyentes: éste es el mecanismo de amplificación. Si, para simplificar, suponemos que todas las partículas colapsan a la misma velocidad , obtenemos simplemente . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Lambda =N\,\lambda }$

Un objeto que consta de un número de nucleones del orden del número de Avogadro ( ) colapsa casi instantáneamente: los valores de GRW y Adler de dan respectivamente y . De este modo, se garantiza una rápida reducción de las superposiciones de objetos macroscópicos y la teoría de GRW recupera de manera efectiva la mecánica clásica para objetos macroscópicos. ${\displaystyle N\simeq 10^{23}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Lambda =10^{7}\,\mathrm {s} ^{-1}}$ ${\displaystyle \Lambda =10^{15}\,\mathrm {s} ^{-1}}$

Otras características

• La teoría GRW hace predicciones diferentes a las de la mecánica cuántica estándar ^[14] y , como tal, puede probarse en comparación con ella (ver el modelo CSL). ^[15]
• El ruido de colapso golpea repetidamente las partículas, induciendo así un proceso de difusión ( movimiento browniano ). Esto introduce una cantidad constante de energía en el sistema, lo que conduce a una violación del principio de conservación de la energía . Para el modelo GRW, se puede demostrar que la energía crece linealmente en el tiempo con una tasa , que para un objeto macroscópico equivale a . Aunque tal aumento de energía es insignificante, esta característica del modelo no es atractiva. Por esta razón, se ha investigado una extensión disipativa de la teoría GRW. ^[16] ${\displaystyle \lambda \hbar ^{2}/4mr_{C}^{2}}$ ${\displaystyle \simeq 10^{-14}\mathrm {erg\,\,s} ^{-1}}$
• La teoría GRW no admite partículas idénticas. Tumulka propuso una extensión de la teoría con partículas idénticas. ^[17]
• GRW es una teoría no relativista, su extensión relativista para partículas no interactuantes ha sido investigada por Tumulka, ^[18] mientras que los modelos interactuantes aún están bajo investigación.
• La ecuación maestra de la teoría GRW describe un proceso de decoherencia según el cual los elementos fuera de la diagonal del operador estadístico se suprimen exponencialmente. Esta es una característica que la teoría GRW comparte con otras teorías de colapso: las que involucran ruidos blancos están asociadas a ecuaciones maestras de Lindblad , ^[19] mientras que el modelo QMUPL coloreado sigue una ecuación maestra gaussiana no markoviana. ^{[20] [21]}

Véase también

• Decoherencia cuántica
• Interpretación de Penrose
• Interpretaciones de la mecánica cuántica

Referencias

1. Ghirardi, GC, Rimini, A., y Weber, T. (1986). "Dinámica unificada para sistemas microscópicos y macroscópicos". Physical Review D . 34 (2): 470–491. Bibcode :1986PhRvD..34..470G. doi :10.1103/PhysRevD.34.470. PMID  9957165.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Ghirardi, Gian Carlo; Pearle, Philip; Rimini, Alberto (1990-07-01). "Procesos de Markov en el espacio de Hilbert y localización espontánea continua de sistemas de partículas idénticas". Physical Review A . 42 (1): 78–89. Bibcode :1990PhRvA..42...78G. doi :10.1103/PhysRevA.42.78. PMID  9903779.
3. Diósi, L. (1989-08-01). "Modelos para la reducción universal de fluctuaciones cuánticas macroscópicas". Physical Review A . 40 (3): 1165–1174. Bibcode :1989PhRvA..40.1165D. doi :10.1103/PhysRevA.40.1165. ISSN  0556-2791. PMID  9902248.
4. Penrose, Roger (mayo de 1996). "Sobre el papel de la gravedad en la reducción cuántica de estados". Relatividad general y gravitación . 28 (5): 581–600. Bibcode :1996GReGr..28..581P. doi :10.1007/BF02105068. ISSN  0001-7701. S2CID  44038399.
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13. Adler, Stephen L (7 de marzo de 2007). "Límites inferiores y superiores de los parámetros CSL a partir de la formación de imágenes latentes y el calentamiento de IGM". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 40 (12): 2935–2957. arXiv : quant-ph/0605072 . Bibcode :2007JPhA...40.2935A. doi :10.1088/1751-8113/40/12/s03. ISSN  1751-8113.
14. Tiene como "efecto prácticamente único el de inducir una supresión muy rápida de la coherencia entre estados macroscópicamente distinguibles ", ver ^[2]
15. Romero-Isart, Oriol (2011). "Superposición cuántica de objetos masivos y modelos de colapso". Phys. Rev. A . 84 (5): 052121. arXiv : 1110.4495 . Código Bibliográfico :2011PhRvA..84e2121R. doi :10.1103/PhysRevA.84.052121. S2CID  118401637.
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