Representación algebraica

En álgebra abstracta , una representación de un álgebra asociativa es un módulo para esa álgebra. Aquí, un álgebra asociativa es un anillo (no necesariamente unital ) . Si el álgebra no es unital, se puede convertir en un anillo unital de una manera estándar (consulte la página de funtores adjuntos ); no hay una diferencia esencial entre los módulos para el anillo unital resultante, en el que la identidad actúa mediante la función identidad, y las representaciones del álgebra.

Ejemplos

Estructura compleja lineal

Uno de los ejemplos no triviales más simples es una estructura compleja lineal , que es una representación de los números complejos C , pensada como un álgebra asociativa sobre los números reales R. Esta álgebra se realiza concretamente como que corresponde a i ² = −1 . Entonces, una representación de C es un espacio vectorial real V , junto con una acción de C sobre V (una función ). Concretamente, esta es solo una acción de i , ya que  esto genera el álgebra, y el operador que representa a i (la imagen de i en End( V )) se denota J para evitar confusiones con la matriz identidad I. ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathrm {End} (V)}$

Álgebras polinómicas

Otra clase básica importante de ejemplos son las representaciones de álgebras polinómicas , las álgebras conmutativas libres, que forman un objeto central de estudio en el álgebra conmutativa y su contraparte geométrica, la geometría algebraica . Una representación de un álgebra polinómica en k variables sobre el cuerpo K es concretamente un espacio vectorial K con k operadores conmutativos, y a menudo se denota como la representación del álgebra abstracta donde ${\displaystyle K[T_{1},\dots ,T_{k}],}$ ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{k}]}$ ${\displaystyle x_{i}\mapsto T_{i}.}$

Un resultado básico sobre tales representaciones es que, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , las matrices que las representan son simultáneamente triangularizables .

Incluso el caso de representaciones del álgebra polinómica en una sola variable es de interés – esto se denota por y se utiliza para entender la estructura de un solo operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita . Específicamente, la aplicación del teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal a esta álgebra produce como corolarios las diversas formas canónicas de matrices, como la forma canónica de Jordan . ${\displaystyle K[T]}$

En algunos enfoques de la geometría no conmutativa , el álgebra no conmutativa libre (polinomios en variables no conmutativas) desempeña un papel similar, pero el análisis es mucho más difícil.

Pesos

Los valores propios y los vectores propios pueden generalizarse a representaciones algebraicas.

La generalización de un valor propio de una representación algebraica es, en lugar de un único escalar, una representación unidimensional (es decir, un homomorfismo algebraico del álgebra a su anillo subyacente: un funcional lineal que también es multiplicativo). ^{[nota 1]} Esto se conoce como un peso , y el análogo de un vector propio y un espacio propio se denominan vector de peso y espacio de peso . ${\displaystyle \lambda \colon A\to R}$

El caso del valor propio de un solo operador corresponde al álgebra y un mapa de álgebras se determina por el escalar al que asigna el generador T. Un vector de peso para una representación algebraica es un vector tal que cualquier elemento del álgebra asigna este vector a un múltiplo de sí mismo: un submódulo unidimensional (subrepresentación). Como el emparejamiento es bilineal , "qué múltiplo" es un funcional A -lineal de A (un mapa algebraico A → R ), es decir, el peso. En símbolos, un vector de peso es un vector tal que para todos los elementos para algún funcional lineal : observe que a la izquierda, la multiplicación es la acción algebraica, mientras que a la derecha, la multiplicación es la multiplicación escalar. ${\displaystyle R[T],}$ ${\displaystyle R[T]\to R}$ ${\displaystyle A\times M\to M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle am=\lambda (a)m}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \lambda }$

Como un peso es una función de un anillo conmutativo , la función se factoriza mediante la abelianización del álgebra – equivalentemente, se desvanece en el álgebra derivada – en términos de matrices, si es un vector propio común de los operadores y , entonces (porque en ambos casos es solo una multiplicación por escalares), los vectores propios comunes de un álgebra deben estar en el conjunto sobre el que el álgebra actúa conmutativamente (que es aniquilado por el álgebra derivada). Por lo tanto, son de interés central las álgebras conmutativas libres, es decir, las álgebras polinómicas . En este caso particularmente simple e importante del álgebra polinómica en un conjunto de matrices conmutativas, un vector de peso de esta álgebra es un vector propio simultáneo de las matrices, mientras que un peso de esta álgebra es simplemente una -tupla de escalares que corresponden al valor propio de cada matriz y, por lo tanto, geométricamente a un punto en el -espacio. Estos pesos, en particular su geometría, son de importancia central para comprender la teoría de representación de las álgebras de Lie , específicamente las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie semisimples . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle TUv=UTv}$ ${\displaystyle \mathbf {F} [T_{1},\dots ,T_{k}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$ ${\displaystyle k}$

Como aplicación de esta geometría, dada una álgebra que es un cociente de un álgebra polinómica sobre generadores, corresponde geométricamente a una variedad algebraica en un espacio de dimensión 1 y el peso debe recaer en la variedad, es decir, satisface las ecuaciones definitorias de la variedad. Esto generaliza el hecho de que los valores propios satisfacen el polinomio característico de una matriz en una variable. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Véase también

• Teoría de la representación
• Entrelazador
• Teoría de la representación de las álgebras de Hopf
• Representación del álgebra de Lie
• Lema de Schur
• Teorema de densidad de Jacobson
• Teorema del doble conmutante

Notas

1. Nótese que para un cuerpo, el álgebra de endomorfismos de un espacio vectorial unidimensional (una línea) es canónicamente igual al cuerpo subyacente: End( L ) =  K , ya que todos los endomorfismos son multiplicación escalar; por lo tanto, no hay pérdida en restringirse a funciones concretas del cuerpo base, en lugar de a representaciones unidimensionales abstractas . Para los anillos también hay funciones con anillos cocientes , que no necesitan factorizarse a través de funciones con el anillo mismo, pero nuevamente no se necesitan módulos unidimensionales abstractos.

Referencias

• Richard S. Pierce. Álgebras asociativas . Textos de posgrado en matemáticas, vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN  978-0-387-90693-5