Teoría de medidas difusas

En matemáticas , la teoría de medidas difusas considera medidas generalizadas en las que la propiedad aditiva se reemplaza por la propiedad más débil de monotonía. El concepto central de la teoría de medidas difusas es la medida difusa (también capacidad , ver ^[1] ), que fue introducida por Choquet en 1953 y definida independientemente por Sugeno en 1974 en el contexto de las integrales difusas . Existe una serie de diferentes clases de medidas difusas, incluidas las medidas de plausibilidad/creencia , las medidas de posibilidad/necesidad y las medidas de probabilidad , que son un subconjunto de las medidas clásicas .

Definiciones

Sea un universo de discurso , sea una clase de subconjuntos de , y . Una función donde ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {C}}\Rightarrow g(\emptyset )=0}$
2. ${\displaystyle E\subseteq F\Rightarrow g(E)\leq g(F)}$

Se denomina medida difusa . Una medida difusa se denomina normalizada o regular si . ${\displaystyle g(\mathbf {X} )=1}$

Propiedades de las medidas difusas

Una medida difusa es:

• aditivo si para cualquier tal que , tenemos ; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$ ${\displaystyle g(E\cup F)=g(E)+g(F).}$
• supermodular si para cualquiera , tenemos ; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\geq g(E)+g(F)}$
• submodular si para cualquiera, tenemos; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\leq g(E)+g(F)}$
• superaditivo si para cualquier tal que , tenemos ; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$ ${\displaystyle g(E\cup F)\geq g(E)+g(F)}$
• subaditivo si para cualquier tal que , tenemos ; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$ ${\displaystyle g(E\cup F)\leq g(E)+g(F)}$
• simétrico si para cualquier , tenemos implica ; ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle |E|=|F|}$ ${\displaystyle g(E)=g(F)}$
• Booleano si para cualquier , tenemos o . ${\displaystyle E\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g(E)=0}$ ${\displaystyle g(E)=1}$

Comprender las propiedades de las medidas difusas es útil en la aplicación. Cuando se utiliza una medida difusa para definir una función como la integral de Sugeno o la integral de Choquet , estas propiedades serán cruciales para comprender el comportamiento de la función. Por ejemplo, la integral de Choquet con respecto a una medida difusa aditiva se reduce a la integral de Lebesgue . En casos discretos, una medida difusa simétrica dará como resultado el operador de promedio ponderado ordenado (OWA). Las medidas difusas submodulares dan como resultado funciones convexas, mientras que las medidas difusas supermodulares dan como resultado funciones cóncavas cuando se utilizan para definir una integral de Choquet.

Representación de Möbius

Sea g una medida difusa. La representación de Möbius de g está dada por la función de conjunto M , donde para cada , ${\displaystyle E,F\subseteq X}$

${\displaystyle M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1)^{|E\backslash F|}g(F).}$

Los axiomas equivalentes en la representación de Möbius son:

1. ${\displaystyle M(\emptyset )=0}$.
2. ${\displaystyle \sum _{F\subseteq E|i\in F}M(F)\geq 0}$, para todos y todas ${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$ ${\displaystyle i\in E}$

Una medida difusa en la representación de Möbius M se denomina normalizada si ${\displaystyle \sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M(E)=1.}$

La representación de Möbius se puede utilizar para indicar qué subconjuntos de X interactúan entre sí. Por ejemplo, una medida difusa aditiva tiene valores de Möbius todos iguales a cero, excepto los singletons. La medida difusa g en la representación estándar se puede recuperar de la forma de Möbius utilizando la transformada Zeta:

${\displaystyle g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\forall E\subseteq \mathbf {X} .}$

Supuestos de simplificación para medidas difusas

Las medidas difusas se definen en un semianillo de conjuntos o clase monótona , que puede ser tan granular como el conjunto de potencia de X , e incluso en casos discretos el número de variables puede ser tan grande como 2 ^{| X |} . Por esta razón, en el contexto del análisis de decisiones de criterios múltiples y otras disciplinas, se han introducido supuestos de simplificación sobre la medida difusa para que sea menos costosa computacionalmente determinarla y usarla. Por ejemplo, cuando se supone que la medida difusa es aditiva , se cumplirá que y los valores de la medida difusa se pueden evaluar a partir de los valores en X. De manera similar, una medida difusa simétrica se define únicamente por los valores | X |. Dos medidas difusas importantes que se pueden utilizar son la medida Sugeno- o -difusa y las medidas k -aditivas, introducidas por Sugeno ^[2] y Grabisch ^[3] respectivamente. ${\displaystyle g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})}$ ${\displaystyle \lambda }$

Sugenola-medida

La medida de Sugeno es un caso especial de medidas difusas definidas iterativamente. Tiene la siguiente definición: ${\displaystyle \lambda }$

Definición

Sea un conjunto finito y sea . Una Sugeno -medida es una función tal que ${\displaystyle \mathbf {X} =\left\lbrace x_{1},\dots ,x_{n}\right\rbrace }$ ${\displaystyle \lambda \in (-1,+\infty )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g:2^{X}\to [0,1]}$

1. ${\displaystyle g(X)=1}$.
2. si (alternativamente ) con entonces . ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbf {X} }$ ${\displaystyle A,B\in 2^{\mathbf {X} }}$ ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ ${\displaystyle g(A\cup B)=g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)}$

Por convención, el valor de g en un conjunto singleton se denomina densidad y se denota por . Además, tenemos que satisface la propiedad ${\displaystyle \left\lbrace x_{i}\right\rbrace }$ ${\displaystyle g_{i}=g(\left\lbrace x_{i}\right\rbrace )}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda +1=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda g_{i})}$.

Tahani y Keller ^[4] así como Wang y Klir han demostrado que una vez conocidas las densidades, es posible utilizar el polinomio anterior para obtener los valores de forma única. ${\displaystyle \lambda }$

a-medida difusa aditiva

La medida difusa aditiva k limita la interacción entre los subconjuntos a tamaño . Esto reduce drásticamente la cantidad de variables necesarias para definir la medida difusa y, como k puede ser cualquier valor entre 1 (en cuyo caso la medida difusa es aditiva) y X , permite un compromiso entre la capacidad de modelado y la simplicidad. ${\displaystyle E\subseteq X}$ ${\displaystyle |E|=k}$

Definición

Una medida difusa discreta g en un conjunto X se denomina k-aditiva ( ) si su representación de Möbius verifica , siempre que para cualquier , y existe un subconjunto F con k elementos tales que . ${\displaystyle 1\leq k\leq |\mathbf {X} |}$ ${\displaystyle M(E)=0}$ ${\displaystyle |E|>k}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$ ${\displaystyle M(F)\neq 0}$

Índices de interacción y Shapley

En teoría de juegos , el valor de Shapley o índice de Shapley se utiliza para indicar el peso de un juego. Los valores de Shapley se pueden calcular para medidas difusas con el fin de dar una indicación de la importancia de cada singleton. En el caso de medidas difusas aditivas, el valor de Shapley será el mismo que el de cada singleton.

Para una medida difusa dada g , y , el índice de Shapley para cada es: ${\displaystyle |\mathbf {X} |=n}$ ${\displaystyle i,\dots ,n\in X}$

${\displaystyle \phi (i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \backslash \{i\}}{\frac {(n-|E|-1)!|E|!}{n!}}[g(E\cup \{i\})-g(E)].}$

El valor de Shapley es el vector ${\displaystyle \mathbf {\phi } (g)=(\psi (1),\dots ,\psi (n)).}$

Véase también

• Teoría de la probabilidad
• Teoría de la posibilidad

Referencias

1. Gustave Choquet (1953). "Teoría de las Capacidades". Anales del Instituto Fourier . 5 : 131–295.
2. M. Sugeno (1974). "Teoría de integrales difusas y sus aplicaciones. Tesis doctoral". Instituto Tecnológico de Tokio , Tokio, Japón .
3. M. Grabisch (1997). " Medidas difusas discretas aditivas de orden k y su representación". Conjuntos y sistemas difusos . 92 (2): 167–189. doi :10.1016/S0165-0114(97)00168-1.
4. H. Tahani y J. Keller (1990). "Fusión de información en visión artificial mediante la integral difusa". IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics . 20 (3): 733–741. doi :10.1109/21.57289.

Lectura adicional

• Beliakov, Pradera y Calvo, Funciones de agregación: una guía para profesionales , Springer, Nueva York 2007.
• Wang, Zhenyuan y George J. Klir , Teoría de medidas difusas , Plenum Press, Nueva York, 1991.

Enlaces externos

• Teoría de medidas difusas en el procesamiento de imágenes difusas Archivado el 30 de junio de 2019 en Wayback Machine