Teoría de la posibilidad

Teoría matemática para el manejo de la incertidumbre

La teoría de la posibilidad es una teoría matemática para tratar ciertos tipos de incertidumbre y es una alternativa a la teoría de la probabilidad . Utiliza medidas de posibilidad y necesidad entre 0 y 1, que van de imposible a posible e innecesario a necesario, respectivamente. El profesor Lotfi Zadeh introdujo por primera vez la teoría de la posibilidad en 1978 como una extensión de su teoría de conjuntos difusos y lógica difusa . Didier Dubois y Henri Prade contribuyeron aún más a su desarrollo. Antes, en la década de 1950, el economista GLS Shackle propuso el álgebra mín/máx para describir los grados de sorpresa potencial.

Formalización de la posibilidad

Para simplificar, supongamos que el universo del discurso Ω es un conjunto finito. Una medida de posibilidad es una función de a [0, 1] tal que: ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle 2^{\Omega }}$

Axioma 1: ${\displaystyle \Pi (\varnothing )=0}$

Axioma 2: ${\displaystyle \Pi (\Omega )=1}$

Axioma 3: para cualesquiera subconjuntos disjuntos y . ^[1] ${\displaystyle \Pi (U\cup V)=\max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

De ello se deduce que, al igual que la probabilidad en espacios de probabilidad finitos , la medida de posibilidad está determinada por su comportamiento en singletons:

${\displaystyle \Pi (U)=\max _{\omega \in U}\Pi (\{\omega \}).}$

El axioma 1 puede interpretarse como la suposición de que Ω es una descripción exhaustiva de los estados futuros del mundo, porque significa que no se da ningún peso de creencia a los elementos fuera de Ω.

El axioma 2 podría interpretarse como la suposición de que la evidencia a partir de la cual se construyó está libre de cualquier contradicción. Técnicamente, implica que existe al menos un elemento en Ω con posibilidad 1. ${\displaystyle \Pi }$

El axioma 3 corresponde al axioma de aditividad en probabilidades. Sin embargo, existe una diferencia práctica importante. La teoría de posibilidades es computacionalmente más conveniente porque los axiomas 1 a 3 implican que:

${\displaystyle \Pi (U\cup V)=\max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)}$para cualquier subconjunto y . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Como se puede conocer la posibilidad de la unión a partir de la posibilidad de cada componente, se puede decir que la posibilidad es compositiva con respecto al operador de unión. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no es compositiva con respecto al operador de intersección. En general:

${\displaystyle \Pi (U\cap V)\leq \min \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)\leq \max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right).}$

Cuando Ω no es finito, el Axioma 3 puede reemplazarse por:

Para todos los conjuntos de índices , si los subconjuntos son disjuntos por pares , ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle U_{i,\,i\in I}}$ ${\displaystyle \Pi \left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}\Pi (U_{i}).}$

Necesidad

Mientras que la teoría de la probabilidad utiliza un solo número, la probabilidad, para describir la probabilidad de que ocurra un evento, la teoría de la posibilidad utiliza dos conceptos, la posibilidad y la necesidad del evento. Para cualquier conjunto , la medida de necesidad se define por ${\displaystyle U}$

${\displaystyle N(U)=1-\Pi ({\overline {U}})}$.

En la fórmula anterior, denota el complemento de , es decir, los elementos de que no pertenecen a . Es fácil demostrar que: ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle N(U)\leq \Pi (U)}$Para cualquiera ${\displaystyle U}$

y que:

${\displaystyle N(U\cap V)=\min(N(U),N(V))}$.

Nótese que, contrariamente a la teoría de la probabilidad, la posibilidad no es autodual. Es decir, para cualquier evento , solo tenemos la desigualdad: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Pi (U)+\Pi ({\overline {U}})\geq 1}$

Sin embargo, se cumple la siguiente regla de dualidad:

Para cualquier evento , ya sea , o ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Pi (U)=1}$ ${\displaystyle N(U)=0}$

En consecuencia, las creencias sobre un acontecimiento pueden representarse mediante un número y un bit.

Interpretación

Hay cuatro casos que pueden interpretarse de la siguiente manera:

${\displaystyle N(U)=1}$significa que es necesario. es ciertamente cierto. Implica que . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Pi (U)=1}$

${\displaystyle \Pi (U)=0}$significa que es imposible. es ciertamente falso. Implica que . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(U)=0}$

${\displaystyle \Pi (U)=1}$Significa que es posible. No me sorprendería en absoluto que ocurriera. No tiene restricciones. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(U)}$

${\displaystyle N(U)=0}$significa que es innecesario. No me sorprendería en absoluto si no ocurriera. Deja sin restricciones. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Pi (U)}$

La intersección de los dos últimos casos es un significado en el que no creo absolutamente nada . Como permite una indeterminación como esta, la teoría de la posibilidad se relaciona con la graduación de una lógica de múltiples valores , como la lógica intuicionista , en lugar de la lógica clásica de dos valores . ${\displaystyle N(U)=0}$ ${\displaystyle \Pi (U)=1}$ ${\displaystyle U}$

Nótese que, a diferencia de la posibilidad, la lógica difusa es compositiva con respecto tanto al operador de unión como al de intersección. La relación con la teoría difusa se puede explicar con el siguiente ejemplo clásico.

• Lógica difusa: cuando una botella está medio llena, se puede decir que el nivel de verdad de la proposición “la botella está llena” es 0,5. La palabra “llena” se considera un predicado difuso que describe la cantidad de líquido que hay en la botella.
• Teoría de la posibilidad: hay una botella, ya sea completamente llena o totalmente vacía. La proposición "el nivel de probabilidad de que la botella esté llena es 0,5" describe un grado de creencia. Una forma de interpretar el 0,5 en esa proposición es definir su significado como: estoy dispuesto a apostar a que está vacía siempre que las probabilidades sean iguales (1:1) o mejores, y no apostaría en ningún caso a que esté llena.

La teoría de la posibilidad como teoría de probabilidad imprecisa

Existe una extensa correspondencia formal entre las teorías de probabilidad y posibilidad, donde el operador de adición corresponde al operador máximo.

Una medida de posibilidad puede verse como una medida de plausibilidad consonante en la teoría de la evidencia de Dempster-Shafer . Los operadores de la teoría de la posibilidad pueden verse como una versión hipercautelosa de los operadores del modelo de creencia transferible , un desarrollo moderno de la teoría de la evidencia.

La posibilidad puede verse como una probabilidad superior : cualquier distribución de posibilidad define un conjunto único de distribuciones de probabilidad admisibles por

${\displaystyle K=\{\,P\mid \forall S\ P(S)\leq \Pi (S)\,\}.}$

Esto permite estudiar la teoría de posibilidades utilizando las herramientas de probabilidades imprecisas .

Lógica de necesidad

Llamamos posibilidad generalizada a toda función que satisface el Axioma 1 y el Axioma 3. Llamamos necesidad generalizada al dual de una posibilidad generalizada. Las necesidades generalizadas están relacionadas con una lógica difusa muy simple e interesante llamada lógica de la necesidad . En el aparato de deducción de la lógica de la necesidad, los axiomas lógicos son las tautologías clásicas habituales . Además, solo hay una regla de inferencia difusa que extiende el modus ponens habitual . Tal regla dice que si α y α → β se prueban en el grado λ y μ , respectivamente, entonces podemos afirmar β en el grado min{ λ , μ }. Es fácil ver que las teorías de tal lógica son las necesidades generalizadas y que las teorías completamente consistentes coinciden con las necesidades (véase por ejemplo Gerla 2001).

Véase también

• Teoría de medidas difusas
• Posibilidad lógica
• Lógica modal
• Lógica probabilística
• Variable aleatoria difusa
• Modelo de creencias transferibles
• Probabilidades superiores e inferiores

Referencias

Citas

1. Dubois, D.; Prade, H.: Teoría de la posibilidad: un enfoque para el procesamiento computarizado de la incertidumbre. Plenum Press, 1988

Fuentes

• Dubois, Didier y Prade, Henri, "Teoría de la posibilidad, teoría de la probabilidad y lógicas de múltiples valores: una aclaración", Anales de Matemáticas e Inteligencia Artificial 32:35–66, 2002.
• Gerla Giangiacomo, Lógica difusa: herramientas matemáticas para el razonamiento aproximado, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.
• Ladislav J. Kohout, "Teorías de posibilidad: meta-axiomática y semántica", Fuzzy Sets and Systems 25:357-367, 1988.
• Zadeh, Lotfi , "Conjuntos difusos como base para una teoría de posibilidad", Fuzzy Sets and Systems 1:3–28, 1978. (Reimpreso en Fuzzy Sets and Systems 100 (Suplemento): 9–34, 1999.)
• Brian R. Gaines y Ladislav J. Kohout, "Posibles autómatas", en Actas del Simposio Internacional sobre Lógica de Valores Múltiples, págs. 183-192, Bloomington, Indiana, 13-16 de mayo de 1975.